(展示)杨辉三角ppt_高三数学

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1、杨辉三角,研究性课题：,1、介绍杨辉古代数学家的杰出代表,杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有详解九章算法十二卷（1261年）、日用算法二卷、乘除通变本末三卷、田亩比类乘除算法二卷、续古摘奇算法二卷其中后三种合称杨辉算法，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。 “杨辉三角”出现在杨辉编著的详解九章算法一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（B

2、laise Pascal, 1623年1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的,在详解九章算法中载有一张珍贵的图形 “开方作法本源”图(图2-7)根据杨辉自注， 此图“出释锁算书，贾宪用此术”就是说， 这张图是贾宪(11世纪)创造的，原载于 释锁算书(已失传)中，这张图实际上是 一个二项式展开式的系数表，它包括了0次到 6次二项式的全部系数这些展开式用现代数 学符号表示就是： (a+b)0=1 (a+b)2ab (ab)2=a2+2ab+b2,第5行 1 5 5 1,第0行 1,杨辉三角,第1行

3、1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 1,第6行 1 6 15 6 1,第n-1行 1,第n行 1, , ,15,15=5+10,20,20=10+10,10=6+4,10,10=6+4,10,6,6=3+3,4=1+3,4,一.简介:杨辉三角的基本性质,1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是,2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是,3）杨辉三角具有对称性,4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开式的二项式系数即,证明：,2）假设当n=k时等式成立，即,则当n=k+1时，,1)当n=1时，,左边a+b,右边a+

4、b,所以等式成立,利用组合数的重要性质可得,求证：,2观察杨辉三角所蕴含的数量关系，及有趣的数字排列规律,（1） 计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：,第0行 1=1 第1行 112 第2行 121422 第3行 1331823 第4行 146411624 第5行 151010513225 第n行,结论: (1)第n行数字的和为2 n (2) 前n行(含第0行)所有数的和为2 n 1，它恰好比第n行的和2 n小1,（2）斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？,第P列斜线上的前Q个数之和等于第(P+1)列斜线上的第Q个数。,（3）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,1，1，2，3，5，

5、8，13，21，34，,此数列an满足, a1=1,a2=1, 且an=an-1+an-2 (n3) 这就是著名的斐波那契数列,介绍斐波那契“兔子繁殖问题”增强趣味性,中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？,兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，,让我们慢慢地算一下 一月初 兔子刚出生，但是还没成熟，还不能生小兔子 1对小兔子 二月初

6、 但是还没成熟，还不能生小兔子 1对小兔子 三月初 成熟第一代兔子生了一对小兔子 2对小兔子 四月初 成熟第一代兔子生了一对小兔子 3对小兔子 五月初 成熟第一二代兔子各生了一对小兔子 5对小兔子 六月初 成熟三对兔子各生了一对小兔子 8对小兔子 七月初 成熟五对兔子各生了一对小兔子 13对小兔子 八月初 成熟八对兔子各生了一对小兔子 21对小兔子 九月初 成熟13对兔子各生了一对小兔子 34对小兔子 十月初 成熟21对兔子各生了一对小兔子 55对小兔子 11月初 成熟34对兔子各生了一对小兔子 89对小兔子 12月初 成熟55对兔子各生了一对小兔子 144对小兔子,中世纪意大利数学家斐波那契

7、的传世之作算术之法中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？,1. 斐波那契“兔子繁殖问题”:,二.引入:,在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，,2. 杨辉三角与弹子游戏,如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？,“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某

8、城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？,A,B,3.杨辉三角与“纵横路线图”,从某种意义上说, 发现问题更重要.,第5行 1 5 5 1,第0行 1,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 1,第6行 1 6 15 6 1,第n-1行 1,第n行 1, , ,15,15=5+10,20,20=10+10,10=6+4,10,10=6+4,10,6,6=3+3,4=1+3,4,三.新课:杨辉三角蕴含的数字排列规律.,1.研究斜行规律：,第一条斜线上：,第二条斜线上：,第三条斜线上：,第四条斜线

9、上：,猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）上前n个数字的和，等于,1+1+1+1+1+1=6,1+2+3+4+5=15,1+3+6+10=20,1+4+10=15,第m+1条斜线上的第n个数.,111 1 （第1条斜线 ）,1410 （第4条斜线 ）,136 （第3条斜线 ）,123 （第2条斜线 ）,(nr),?,结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上到左下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数,即,根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和，等于第m+1条斜线上第n个数。,1,2,5,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1

10、 6 15 20 15 6 1,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,第1行 1 1,第0行 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,2.如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1,从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;,这就是著名的斐波那契数列 。,中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一

11、对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？,兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，,1.斐波那契“兔子繁殖问题”,四.应用:,规律:从第3条斜线中数字的和起, 其后各斜线中数字的和是前两条 斜线中数字和之和,即:,1，1，2，3，5，8，13，21，34，此数列an满足, a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2 (n3) 这就是著名的 斐波那契数列,兔子繁殖问题与斐波那契 裴波那契（Fibonacci leonardo， 约1170-1250）是意大利著名数学家 他最重要的研究成果是在不定分析 和数论方面，他的“裴波那契数列” 成为世人们热衷

12、研究的问题,保存至今的裴波那契著作有5部，其中影响最大 的是1202年在意大利出版的算盘书， 算盘书中许多有趣的问题中最富成功的问 题是著名的“兔子繁殖问题” 如果每对兔子每 月繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就 有生殖能力，试问一对兔子一年能繁殖多少对 兔子？可以这样思考：第一个月后即第二个月 时，1对兔子变成了两对兔子，其中一对是它本 身，另一对是它生下的幼兔 第三个月时两对 兔子变成了三对，其中一对是最初的一对，另 一对是它刚生下来的幼兔，第三对是幼兔长成 的大兔子 第四个月时，三对兔子变成了,五对，第五个月时，五对兔子变成了八对，这 组数可以用图来表示，这组数从三个数开始， 每个数

13、是两个数的和，按此方法推算，第六个 月是13对兔子，第七个月是21对兔子裴波那契得 到一个数列，人们将这个数列前面加上一项1,成 为“裴波那契数列”，即： 1,1,2，3,5,8,13 数列用 表示有：,在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？,“概率三角形”,照这样计算第n+1层有n+1个通道，弹子通过各通道的概率将是？,与杨辉三角有何关系？,2. 杨辉三角与弹子游戏,如图，在一块倾斜的木板上

14、，钉 上一些正六角形小木块，在它们 中间留下一些通道，从上部的漏 斗直通到下部的长方形框子。把 小弹子倒在漏斗里，它首先会通 过中间的一个通道落到第二层六 角板上面（有几个通道就算第几 层），以后，再落到六角板的左边 或右边的两个竖直通道里去。,以此类推，算一算：落在每个长 方形的框子中的弹子的数目会 是多少？你能用学过的排列、 组合与概率的知识来解释这一 现象吗？ 你能分析与杨辉三角的 关系吗？,莱布尼茨分数三角形：,“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？,A,B,由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系,3.杨辉三角与“纵横路线图”,杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣 的问题图 1 是某城市的部分街道 图，纵横各有五条路，如果从 A 处 走到 B 处 ( 只能由北到南，由西向 东 ) ，那么有多少种不同的走法？,