《2018年高中数学人教a版选修2-3第1章计数原理 1.1习题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学人教a版选修2-3第1章计数原理 1.1习题含解析（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-3 习题1?01?第一章 计数原理?1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原分类加法计数原理与分步乘法计数原 理理课时过关能力提升基础巩固基础巩固1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有 5 名同学只会用综合法证明,有 3 名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选 1 名同学证明这个问题,不同的选法种数为( )A.8B.15C.18D.30解析:共有 5+3=8 种不同的选法.答案:A2.(a1+a2)(b1+b2)(c1+c2+c3)完全展开后的项数为( )A.9B.12C.18D.24解析:由分步乘法计数原理得,完全展开后
2、的项数为 223=12.答案:B3.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有( )A.24 种B.18 种C.12 种D.6 种解析:种植黄瓜有 3 种不同的种法,其余两块地从余下的 3 种蔬菜中选 2 种种植有 32=6 种不同种法.由分步乘法原理知共有 36=18 种不同的种植方法.故选 B.答案:B4.如图,一条电路从 A 处到 B 处接通时,可构成线路的条数为( )A.8B.6C.5D.3解析:从 A 处到 B 处的电路接通可分两步,第一步:前一个并联电路接通有 2 条线路,第二步:后一个并联电路接通有 3
3、 条线路;由分步乘法计数原理知电路从 A 处到 B 处接通时,可构成线路的条数为32=6,故选 B.答案:B人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-3 习题25.已知直线方程 Ax+By=0,若从 0,1,2,3,5,7 这 6 个数字中每次取两个不同的数作为 A,B 的值,则可表示出的不同直线的条数为( )A.19B.20C.21D.22解析:当 A 或 B 中有一个为零时,则可表示出 2 条不同的直线;当 AB0 时,A 有 5 种选法,B 有 4 种选法,则可表示出 54=20 条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出 20+2=22 条不同的直线.答案:D6.将
4、4 位老师分配到 3 个学校去任教,共有分配方案( )A.81 种B.12 种C.7 种D.256 种解析:每位老师都有 3 种分配方案,分四步完成,故共有 3333=81 种.答案:A7.五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有( )A.60 种B.40 种C.20 种D.10 种解析:设五名护士分别为 A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共 10 种情况,假设 A,B 两人拿到自己的外衣,则 C,D,E 三人不能拿到自己的外衣,则只有
5、C 取 D,D 取 E,E 取 C,或 C 取 E,D 取 C,E 取 D 两种情况.故根据分步乘法计数原理,应有 102=20 种情况.答案:C8.若在登录某网站时弹出一个 4 位的验证码:XXXX(如 2a8t),第一位和第三位分别为 0 到 9 这 10 个数字中的一个,第二位和第四位分别为 a 到 z 这 26 个英文字母中的一个,则这样的验证码共有 .解析:要完成这件事可分四步:第一步,确定验证码的第一位,共有 10 种方法;第二步,确定验证码的第二位,共有 26 种方法;第三步,确定验证码的第三位,共有 10 种方法;第四步,确定验证码的第四位,共有26 种方法.由分步乘法计数原理
6、可得,这样的验证码共有 10261026=67 600 个.答案:67 600 个9.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点 A 向结点 B 传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为 . 解析:由题图可知,从 A 到 B 有 4 种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为 3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为 3+4+6+6=19.答案:1910.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过 4 次传递后
7、,毽子又被传给甲,则共有 种不同的传递方法. 人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-3 习题3解析:分两类:第一类,若甲先传给乙,则有:甲乙甲乙甲,甲乙甲丙甲,甲乙丙乙甲 3 种不同的传法;同理,第二类,甲先传给丙,也有 3 种不同的传法.共有 6 种不同的传递方法.答案:611.小张正在玩“开心农场”游戏,他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这 5 种种子中选出 4 种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物),若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒,则不同的种植方案共有 种. 解析:当第一块地种茄子时,有 432=24 种不同的种法;当第一块地种辣椒
8、时,有 432=24 种不同的种法,故共有 48 种不同的种植方案.答案:4812.有一项活动,需从 3 位老师、8 名男同学和 5 名女同学中选人参加.(1)若只需 1 人参加,有多少种不同的选法?(2)若需老师、男同学、女同学各 1 人参加,有多少种不同的选法?(3)若需 1 位老师、1 名同学参加,有多少种不同的选法?解:(1)选 1 人,可分三类:第一类,从老师中选 1 人,有 3 种不同的选法;第二类,从男同学中选 1 人,有 8种不同的选法;第三类,从女同学中选 1 人,有 5 种不同的选法.共有 3+8+5=16 种不同的选法.(2)选老师、男同学、女同学各 1 人,则分 3 步
9、进行:第一步,选老师,有 3 种不同的选法;第二步,选男同学,有 8 种不同的选法;第三步,选女同学,有 5 种不同的选法.共有 385=120 种不同的选法.(3)选 1 位老师、1 名同学,可分两步进行:第一步,选老师,有 3 种不同的选法;第二步,选同学,有8+5=13 种不同的选法.共有 313=39 种不同的选法.13.用 n 种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙),要求在,四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.(1)若 n=6,为甲着色时共有多少种不同方法?(2)若为乙着色时共有 120 种不同方法,求 n.解:完成着色这件事,共分四个步骤,可依次考虑为,着色时各
10、自的方法数,再由分步乘法计数原理确定总的着色方法数.(1)为着色有 6 种方法,为着色有 5 种方法,为着色有 4 种方法,为着色也有 4 种方法.所以共有着色方法 6544=480 种.(2)与(1)的区别在于与相邻的区域由两块变成了三块,同理,不同的着色方法数是 n(n-1)(n-2)(n-3),由 n(n-1)(n-2)(n-3)=120,所以(n2-3n)(n2-3n+2)-120=0.即(n2-3n)2+2(n2-3n)-1210=0.所以 n2-3n-10=0,所以 n=5.能力提升能力提升人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-3 习题41.某校举办了一次教师演讲
11、比赛,参赛的语文老师有 20 人,数学老师有 8 人,英语老师有 4 人,从中评选出一个冠军,则可能的结果种数为( )A.12B.28C.32D.640解析:由分类加法计数原理得,冠军可能的结果种数为 4+8+20=32.答案:C2.某人有 3 个不同的电子邮箱,他要发 5 封电子邮件,不同发送方法的种数为( )A.8B.15C.35D.53解析:每封电子邮件都有 3 种不同的发送方法,共有 35种不同的发送方法.答案:C3.从 6 名志愿者中选 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( )A.280 种B.240 种C.18
12、0 种D.96 种解析:由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的 4 名志愿者中选 1 人,有 4 种选法.后面三项工作的选法有 543 种,因此共有 4543=240 种,故选 B.答案:B4.用 0,1,2,3,4,5 六个数字组成无重复数字的四位数,比 3 542 大的四位数的个数是( )A.360B.240C.120D.60解析:因为 3 542 是能排出的四位数中千位为 3 的最大的数,所以比 3 542 大的四位数的千位只能是4 或 5,所以共有 2543=120 个比 3 542 大的四位数.答案:C5.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”
13、.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )A.60B.48C.36D.24解析:长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”有 66=36 个,另含 4 个顶点的 6 个面(非表面)构成的“平行线面组”有 62=12 个,共 36+12=48 个,故选 B.答案:B6.如图,一环形花坛被分成 A,B,C,D 四个区域,现有 4 种不同的花可供选种,要求在每个区域里种 1 种花,且相邻的 2 个区域种不同的花,则不同种法的种数为( )A.96B.84C.60D.48解析:当 A,C 区域种同样的花时,A,C 区域有 4 种种法,B 区域有 3 种种法
14、,D 区域有 3 种种法;当 A,C区域种不同的花时,A 区域有 4 种种法,C 区域有 3 种种法,B 区域有 2 种种法,D 区域有 2 种种法.故一共有 433+4322=84 种不同的种法.答案:B人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-3 习题57.圆周上有 2n(n 大于 2)个等分点,任取 3 点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数为 . 解析:先在圆周上找一点,因为有 2n 个等分点,所以应有 n 条直径,不经过该点的直径应有(n-1)条,这(n-1)条直径都可以与该点形成直角三角形,一个点可以形成(n-1)个直角三角形,而这样的点有 2n 个,所以一共有 2n
15、(n-1)个符合题意的直角三角形.答案:2n(n-1)8.如图,某学校要用鲜花布置花圃中 A,B,C,D,E 五个不同区域,要求同一区域上用一种颜色的鲜花,相邻区域使用不同颜色的鲜花,现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择.(1)当 A,D 区域同时用红色鲜花时,求布置花圃的不同方法的种数;(2)求恰有两个区域用红色鲜花的概率.解:(1)当 A,D 区域同时用红色鲜花时,其他区域不能用红色,布置花圃的不同方法有 433=36 种.(2)设 M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”,当区域 A,D 同色时,共有 54313=180 种;当区域 A,D 不同色时,共有 54322=24
16、0 种;因此,所有基本事件总数为 180+240=420 种.又当 A,D 为红色时,共有 433=36 种;当 B,E 为红色时,共有 433=36 种;因此,事件 M 包含的基本事件有 36+36=72 种.综上,恰有两个区域用红色鲜花的概率P(M)=72 420=6 35.9.用 0,1,9 这十个数字,可以组成多少个满足下列条件的数?(1)三位整数;(2)无重复数字的三位整数;(3)小于 500 的无重复数字的三位整数;(4)小于 100 的无重复数字的自然数.解:由于 0 不能放到首位,可以单独考虑.(1)百位上有 9 种选择,十位和个位各有 10 种选法.由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是 91010=900.(2)由于数字不可重复,可知百位数字有 9 种选择,十位数字也有 9 种选择,但个位数字仅有 8 种选择,由分
