《2018年高中数学人教a版选修2-3第1章计数原理 1.3.2习题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学人教a版选修2-3第1章计数原理 1.3.2习题含解析（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-3 习题11.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质课时过关能力提升基础巩固基础巩固1.已知(a+b)n展开式中只有第 5 项的二项式系数最大,则 n 等于( )A.11B.10C.9D.8解析:只有第 5 项的二项式系数最大,+1=5.n=8. 2答案:D2.(a+b)n二项展开式中与第(r-1)项系数相等的项是( )A.第(n-r)项B.第(n-r+1)项C.第(n-r+2)项D.第(n-r+3)项解析:因为第(r-1)项的系数为,所以第(n-r+3)项与第(r-1)项的系数相等. - 2= - + 2答案:D3.若展开式的二项式系数
2、之和为 64,则展开式的常数项为( )( +1 )A.10B.20C.30D.120解析:由 2n=64,得 n=6,则 Tk+1=x6-kx6-2k(0k6,kN).由 6-2k=0,得 k=3.则 T4=20.6(1 )= 636答案:B4.若(x+3y)n的展开式的系数和等于(7a+b)10展开式中的二项式系数之和,则 n 的值为( )A.5B.8C.10D.15解析:(7a+b)10展开式的二项式系数之和为 210,令 x=1,y=1,则由题意知,4n=210,解得 n=5.答案:A5.若的二项式系数之和为 128,则展开式中含 的项是( )(3 -132)13ABCD.73.- 73
3、.213.- 213解析:由的二项式系数之和为 128 可得 2n=128,n=7.其通项 Tk+1=(3x)7-k=(-1)(3 -132) 7(-132)k37-k,令 7-=-3,解得 k=6,此时 T7=77 -5 35 3213.答案:C人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-3 习题26.已知+2+22+2n=729,则的值等于( )0121+ 3 + 5 A.64B.32C.63D.31解析:由已知(1+2)n=3n=729,解得 n=6.则=32.1+ 3 + 5 = 1 6+ 3 6+ 5 6答案:B7.如图是一个类似杨辉三角的递推式,则第 n 行的首尾两个数
4、均为 . 解析:由于每行第 1 个数 1,3,5,7,9成等差数列,由等差数列的知识可知,an=2n-1.答案:2n-18.设(2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a10(x-1)10,则 a0+a1+a2+a3+a10= . 解析:令 x=2,则(22-3)10=a0+a1+a2+a10,所以 a0+a1+a10=1.答案:19.如图,在杨辉三角中,虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列an,则数列的第 10 项为 .解析:由题图可知 a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,从第三项开始每一项为前两项之和,a10=a9+a8=2a8+a7=3a7+2a6=5a6+3a5
5、=8a5+5a4=13a4+8a3=21a3+13a2=42+13=55.答案:5510.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.(1)求 a0+a1+a2+a3+a4+a5;(2)求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;(3)求 a1+a3+a5.解:(1)令 x=1,得(21-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,a0+a1+a2+a3+a4+a5=1.(2)(2x-1)5的展开式中偶数项的系数为负值,|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.令 x=-1,得2(-1)-15
6、=-a0+a1-a2+a3-a4+a5,即 a0-a1+a2-a3+a4-a5=-(-3)5=35.则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=35=243.(3)由两式联立,得0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5= 1,0- 1+ 2- 3+ 4- 5= 243,?人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-3 习题3则 a1+a3+a5=(1-243)=-121.1 211.若(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+a10y10,求:(1)各项系数之和;(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解:(1)各项系数之和即为 a0+a1+a2+a10,可
7、用“赋值法”求解.令 x=y=1,得 a0+a1+a2+a10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇数项系数的和为 a0+a2+a4+a10,偶数项系数的和为 a1+a3+a5+a9.由(1)知 a0+a1+a2+a10=1,令 x=1,y=-1,得 a0-a1+a2-a3+a10=510,+得,2(a0+a2+a10)=1+510,则奇数项系数的和为;1 + 510 2-得,2(a1+a3+a9)=1-510,则偶数项系数的和为1 - 510 2.能力提升能力提升1.已知(1+x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A.212B.211C.
8、210D.29解析:由条件知,n=10.3= 7 (1+x)10中二项式系数和为 210,其中奇数项的二项式系数和为 210-1=29.答案:D2.(1+x)n(3-x)的展开式中各项系数的和为 1 024,则 n 的值为( )A.8B.9C.10D.11解析:由题意知(1+1)n(3-1)=1 024,即 2n+1=1 024,故 n=9.答案:B3.若(1-2x)2 016=a0+a1x+a2 016x2 016(xR),则+的值为( )12+2222 01622 016A.2B.0C.-1D.-2解析:令 x=0,则 a0=1,令 x= ,则 a0+=0,故+=-1.1 212+2222
9、 01622 01612+2222 01622 016答案:C4.(x+1)9按 x 的升幂排列二项式系数最大的项是( )A.第 4 项和第 5 项B.第 5 项C.第 5 项和第 6 项D.第 6 项解析:展开式中共有 10 项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第 5 项和第 6 项的二项式系数最大.人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-3 习题4答案:C5.在(a-b)10的二项展开式中,系数最小的项是 . 解析:在(a-b)10的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数,因为展开式中第 6 项的
10、二项式系数最大,所以系数最小的项为 T6=a5(-b)5=-252a5b5.5 10答案:-252a5b56.设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+a21x21,则 a10+a11= . 解析:(x-1)21的展开式的通项为 Tk+1=x21-k(-1)k,a10+a11=(-1)11+(-1)10=-=- 21112110211121+ 10 21=0.1021+ 10 21答案:07.如图数表满足:(1)第 n 行首尾两数均为 n;(2)图中的递推关系类似杨辉三角,则第 n(n2)行的第 2个数是 . 解析:由题图可知,第 n(n2)行的第 2 个数是第(n-1)行第 1 个数跟第 2
11、 个数的和,即a2=2,a3=a2+2=2+2=4,a4=a3+3=4+3=7,.则 an=2+2+3+4+5+n-1=1+( - 1)(1 + - 1) 2=2- + 2 2.答案:2- + 2 28.若(2x+)4=a0+a1x+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为 . 3解析:令 x=1,得 a0+a1+a2+a3+a4=(2+)4,令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+a4=(-2+)4,(a0+a2+a4)2-(a1+a3)332=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+)4(-2+)4=1.33答案:19.已知(+3x2)n
12、的展开式中各项系数和比它的二项式系数和大 992.32(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.解:令 x=1 得展开式各项系数和为(1+3)n=4n.展开式二项式系数和为+=2n,0+ 1 由题意有 4n-2n=992.即(2n)2-2n-992=0,(2n-32)(2n+31)=0,解得 n=5.(1)因为 n=5,所以展开式共 6 项,其中二项式系数最大的项为第 3 项、第 4 项,人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-3 习题5它们是 T3=)3(3x2)2=90x6,25(32T4=)2(3x2)3=27035(3222 3.(2)设展开式中
13、第 k+1 项的系数最大.由 Tk+1=)5-k(3x2)k=3k,5(32510 + 4 3得53 - 153 - 1,53 + 153 + 1?k3 1 6 - , 1 5 - 3 + 1?72 9 2.因为 kZ,所以 k=4,所以展开式中第 5 项系数最大.T5=34=4054526 326 3.10.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个 11 阶杨辉三角:(1)求第 20 行中从左到右的第 4 个数;(2)在第 2 斜列中,前 5 个数依次为 1,3,6,10,15;第 3 斜列中,第 5 个数为 35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般有这样的结论:第 m 斜列中(从右上到左下)前 k 个数之和,一定等于第 m+1 斜列中第 k 个数.试用含有 m,k(m,kN*)的数字公式表示上述结论,并给予证明.解:(1)=1 140.3 20(2)+,证明如下:左边=+ - 1 - 1+ - 1 - 1 + - 2= + - 1+ - 1 +=右边. - 1 + - 2= + 1+ - 1 + 1 - 1 + - 2 + - 2+ - 1 + - 2= + - 1
