《2018年高中数学人教a版选修2-1第3章空间向量与立体几何 3.2.2习题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学人教a版选修2-1第3章空间向量与立体几何 3.2.2习题含解析（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题1第 2 课时 用向量方法解决垂直问题课时过关能力提升基础巩固基础巩固1 已知 a=(sin ,cos ,),b=,且 ab,则 等于( )2(,2 2)A.-B. 4 4C.2k- (kZ)D.k- (kZ) 2 4解析:ab,ab=sin cos +cos sin +1=0,即 sin 2+1=0,=k- (kZ). 4答案:D2 已知平面 的一个法向量为 n=(2,-1,0),则下列向量中与 垂直的是( )A.(-1,1,1)B.(1,3,3 2)C.D.(4,-2,2)(3, -3 2,0)解析:与平面 垂直的向量与 的法
2、向量平行,只有 C 项符合.答案:C3 下列说法不正确的是( )A.平面 的一个法向量垂直于与平面 共面的所有向量B.一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也互相垂直D.如果 a,b 与平面 共面,且 na,nb,那么 n 就是平面 的一个法向量解析:选项 D 中,若 a,b 共线,则 n 就不是平面 的一个法向量.答案:D4 设直线 l1,l2的方向向量分别为 a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若 l1l2,则 m 等于( )A.-2B.2C.6D.10答案:D5 若平面 , 垂直,则下面可以作为这两个平面的法向量的是( )人教 A 版 2018-
3、2019 学年高中数学选修 2-1 习题2A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)答案:A6 已知直线 l1的方向向量为 a=(2,-2,x),直线 l2的方向向量是 b=(2,y,2),且|a|=3,l1l2,则 y-x 的值为( )A.2B.-4 或-1C.4D.0答案:A7 已知 A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点 P(x,0,z),若,则点 P 的坐标为 . , 解析:由题意得=(-x,1,-z),=(-1,
4、-1,-1),=(2,0,1),由,得=x-1+z=0, 由,得=-2x-z=0, 解得故 P(-1,0,2). = - 1, = 2.?答案:(-1,0,2)8 如图,ABC 和BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120,E,F 分别为AC,DC 的中点.求证:EFBC.证明由题意,以点 B 为坐标原点,在平面 DBC 内过点 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴,在平面 ABC 内过点 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.易得 B(0,0,0),A(0,-1,),D(,-1,0),C(0,2,0).33因
5、为 E,F,(0,1 2,3 2) (3 2,12,0)所以=(0,2,0). =(3 2,0, -3 2),人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题3所以=0.所以.所以 EFBC. 9 如图,四边形 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,PA=AD,M,N 分别为 PC,AB 的中点,求证:MN平面 PCD.分析设=a,=b,=c,则a,b,c为基底,利用 a,b,c 把表示出来,证明,即, , 可证明 MN平面 PCD.证明设=a,=b,=c,则a,b,c为空间的一个基底,则)= b- (a+b+c)=- (a+c). = =1 2 1 2( + 1 21 21
6、2因为 PA矩形 ABCD,所以 PAAB,PAAD,且 ABAD.所以 ab=0,bc=0,ca=0.所以=- (a+c)b=0,1 2=- (a+c)(c-a)1 2=- (|c|2-|a|2)1 2=- (|2-|2)=0.1 2所以 MNDC,MNPD.又 DCPD=D,所以 MN平面 PCD.能力提升能力提升1 四边形 ABCD 是菱形,PA平面 ABCD,则下列等式=0;=0;=0;=0 中成立的等式个数为( )A.1B.2C.3D.4答案:C2 已知平面 内有一个点 A(2,-1,2), 的一个法向量为 n=(3,1,2),则下列点 P 中,在平面 内的是( )人教 A 版 20
7、18-2019 学年高中数学选修 2-1 习题4A.(1,-1,1)B.(1,3,3 2)C.D.(1, - 3,3 2)(- 1,3, -3 2)解析:A,且 A(2,-1,2),n=(3,1,2)为 的法向量,n.选项 B 中,n=3-4+1=0,则n.故选 B. =(1, - 4,12),答案:B3 平面上有四个互异的点 A,B,C,D,已知(-2)()=0,则ABC 的形状是( ) + A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形解析:(-2)()=()()=()()=|2- + + + |2=0,则|=|,故选 B.答案:B4 已知直线 l1的方向向量 a=(2,4,
8、x),直线 l2的方向向量 b=(2,y,2),若|a|=6,且 ab,则 x+y=( )A.-3 或 1B.3 或-1C.-3D.1解析:|a|=6,22+ 42+ 2x2=16,x=4.ab,ab=4+4y+2x=0,当 x=4 时,y=-3;当 x=-4 时,y=1.x+y=1 或 x+y=-3.答案:A5 已知空间向量 a,b 是非零向量,且满足(a-2b)a,(b-2a)b,则 a 与 b 的夹角是 . 解析:由(a-2b)a,得|a|2=2ab,由(b-2a)b,得|b|2=2ab,故|a|2=|b|2=2ab.设向量 a 与 b 的夹角为 ,则 cos =.= .|=|2=1 2
9、 3答案: 36 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:APAB;APAD;是平面 ABCD 的法向量;. 其中正确的是 .(填序号) 人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题5解析:=(-1,2,-1)(2,-1,-4)=-12+2(-1)+(-1)(-4)=0,APAB,即正确.=(-1,2,-1)(4,2,0)=-14+22+(-1)0=0.APAD,即正确.又 ABAD=A,AP平面 ABCD,即是平面 ABCD 的一个法向量,正确.不正确.答案:7 在空间直角坐标系 O
10、xyz 中,已知点 P(2cos x+1,2cos 2x+2,0)和点 Q(cos x,-1,3),其中 x0,若直线 OP 与直线 OQ 垂直,则 x 的值为 . 解析:直线 OP 与直线 OQ 垂直,=cos x(2cos x+1)-2cos 2x-2+30=2cos2x+cos x-2(2cos2x-1)-2=-2cos2x+cos x=0,即 cos x=0 或 cos x= .1 2又 x0,x=. 2或 3答案: 2或 38 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD底面 ABCD,底面 ABCD 是正方形,AB=2,E 是 PB 的中点,cos=.,3 3(1)建立适当的空间直角坐标
11、系,写出点 E 的坐标;(2)在底面 ABCD 内求一点 F,使 EF平面 PCB.解:(1)以 D 为原点,DA,DC,DP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.由已知 ABCD 是边长为2 的正方形,设 DP=t(t0),则 P(0,0,t),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),则 E,(1,1,1 2)=(0,0,t),. =(- 1,1,12)人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题6故 cos =,|=.1 22 2 +1 42=8 + 2由已知,得,解得 t=2,故 E(1,1,1).8 + 2=3 3(2)设 F(m,n,0
12、),则=(m-1,n-1,-1).又=(-2,0,0),=(0,2,-2),则解得 m=1,n=0,- 2( - 1) = 0, 2( - 1) + 2 = 0,?故 F(1,0,0).9 在三棱锥 P-ABC 中,底面 ABC 为正三角形,三条侧棱两两垂直,G 是PAB 的重心,E,F 分别为BC,PB 上的点,且 BEEC=PFFB=12.求证:(1)平面 GEF平面 PBC;(2)EGBC,PGEG.证明(1)方法一:如图,以三棱锥的顶点 P 为原点,以 PA,PB,PC 所在直线分别作为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设 PA=PB=PC=3,则 A(3,0,0),B(0,
13、3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0),于是=(3,0,0),=(1,0,0),则=3,PAFG.由题意知 PA平面 PBC,FG平面 PBC.又 FG平面 EFG,平面 EFG平面 PBC.方法二:同方法一,建立空间直角坐标系,则 E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),=(0,-1,-1),=(1,-1,-1).设平面 EFG 的法向量是 n=(x,y,z),则有 n,n, + = 0, - - = 0.?令 y=1,得 z=-1,x=0,即 n=(0,1,-1).显然=(3,0,0)是平面 PBC 的一个法向量.这样 n=0,人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题7n,即平面 PBC 的法向量与平面 EFG 的法向量互相垂直.平面 EFG平面 PBC.(2)=(1,-1,-1),=(1,1,0),=(0,-3,3),=1-1=0,=3-3=0.EGPG,EGBC.
