《2018年高中数学人教a版选修2-1第2章圆锥曲线与方程 2.4.1习题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学人教a版选修2-1第2章圆锥曲线与方程 2.4.1习题含解析（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题12.4 抛物线抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程课时过关能力提升基础巩固基础巩固1 抛物线 y2=20x 的焦点坐标是( )A.(10,0)B.(5,0)C.(0,10)D.(0,5)答案:B2 抛物线 x=-2y2的准线方程是( )A.y=B.y=C.x=D.x=1 21 81 41 8答案:D3 抛物线 y=x2的准线方程是( )A.2x+1=0B.4x+1=0C.2y+1=0D.4y+1=0解析:抛物线 y=x2的标准形式为 x2=y,则 p= ,且焦点在 y 轴正半轴上,1 2故准线方程为 y=- ,即 4y+1=0.
2、1 4答案:D4 已知抛物线的准线方程是 x=-3,则抛物线的标准方程为( )A.x2=-12yB.y2=12xC.y2=-12xD.x2=12y解析:因为准线方程为 x=-3,所以焦点在 x 轴正半轴上,且 =3,故 2p=12. 2答案:B5 设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( )A.4B.6C.8D.12解析:由题意知点 P 到抛物线准线的距离为 4-(-2)=6,由抛物线的定义知,点 P 到抛物线焦点的距离也是 6.人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题2答案:B6 已知 M 是抛物线 y2=2px(p
3、0)上的点,若 M 到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为 5 和 4,则点 M 的横坐标为( )A.1B.1 或 4C.1 或 5D.4 或 5答案:B7 已知抛物线 y2=2px(p0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为 . 答案:28 已知动点 P 到定点(2,0)的距离和它到定直线 l:x=-2 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为 .答案:y2=8x9 若点 M 到点 F(0,-2)的距离比它到直线 l:y-3=0 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程是 . 解析:由题意,点 M 到点 F(0,-2)的距离与它到直线 l:y-2=0 的距离相等,结合抛物线的定义可知,
4、点 M的轨迹是以点 F(0,-2)为焦点、y=2 为准线的抛物线,即 x2=-8y.答案:x2=-8y10 若抛物线 y2=-2px(p0)上有一点 M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为 10,求抛物线的方程和点M 的坐标.解:由抛物线的定义知,焦点为 F,则准线为 x= .(- 2,0) 2由题意,设点 M 到准线的距离为|MN|,则|MN|=|MF|=10,即 -(-9)=10,解得 p=2. 2故抛物线的方程为 y2=-4x,将 M(-9,y)代入 y2=-4x,解得 y=6,则 M(-9,6)或(-9,-6).能力提升能力提升1 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方
5、程是( )A.y2=-8xB.y2=8xC.y2=-4xD.y2=4x解析:准线方程为 x=-2,结合题意可知抛物线的方程为 y2=2px(p0),且 =2. 2p=4.抛物线的方程为 y2=8x.答案:B人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题32 已知抛物线 y2=2px(p0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( )A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2解析:过焦点 F且斜率为 1 的直线方程为 y=x- ,与抛物线方程联立可得 y2-2py-p2=0,( 2,0) 2则 y1+
6、y2=2p=4.于是 p=2,故准线方程为 x=-1.答案:B3 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a0)的焦点 F,且与 y 轴交于点 A,若OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线的方程为( )A.y2=4xB.y2=8xC.y2=4xD.y2=8x解析:抛物线 y2=ax(a0)的焦点 F 的坐标为,则直线 l 的方程为 y=2,它与 y 轴的交点为 A( 4,0)( - 4),(0, - 2)故OAF 的面积为=4,解得 a=8.1 2| 4| 2|于是抛物线的方程为 y2=8x,故选 B.答案:B4 若双曲线=1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则 m
7、= . 2 2 3解析:抛物线的焦点为(3,0),则=3,且 m0,故 m=6. + 3答案:65 抛物线 y= x2(a0)的焦点坐标为 . 1 解析:抛物线 y= x2的标准形式为 x2=ay,1 故焦点在 y 轴上,坐标为.(0, 4)答案:(0, 4)人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题46 如图是抛物线形拱桥,当水面到直线 l 时,拱顶离水面 2 m,水面宽为 4 m.水位下降 1 m 后,水面宽为 m.解析:建立如图所示的平面直角坐标系.设抛物线的方程为 x2=-2py(p0),由点(2,-2)在抛物线上,可得 p=1,则抛物线方程为 x2=-2y.当
8、y=-3 时,x=,故水面宽为 2 m.66答案:267 已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,设 A,B 是抛物线 C 上的两个动点(AB 不垂直于 x 轴),且|AF|+|BF|=8,线段 AB 的垂直平分线恒经过定点 Q(6,0),求抛物线的方程.解:设抛物线的方程为 y2=2px(p0),则其准线为 x=- . 2设 A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|+|BF|=8,x1+ +x2+ =8,即 x1+x2=8-p. 2 2Q(6,0)在线段 AB 的垂直平分线上,|QA|=|QB|,即.(6 - 1)2+ ( - 1)2=(6 - 2)2+ ( - 2
9、)2又=2px1,=2px2,2122(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.AB 与 x 轴不垂直,x1x2.则 x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即 p=4.故抛物线方程为 y2=8x.8 已知过抛物线 y2=2px(p0)的焦点,斜率为 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且2|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若+,求 的值. = 解:(1)直线 AB 的方程是 y=2,与 y2=2px 联立,从而有 4x2-5px+p2=0,2( - 2)人教 A 版 2018-2019 学年高中数学
10、选修 2-1 习题5故 x1+x2=.5 4由抛物线定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即 p=4.故抛物线的方程为 y2=8x.(2)由(1),得 p=4,代入 4x2-5px+p2=0,得 x2-5x+4=0,解得 x1=1,x2=4,则 y1=-2,y2=4.22故 A(1,-2),B(4,4).22设=(x3,y3)=(1,-2)+(4,4)=(1+4,-2+4),2222又=8x3,即2(2-1)2=8(4+1),232可得(2-1)2=4+1,解得 =0 或 =2.9 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如右图.航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为=1,变轨(
11、即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以 y 轴为2 100+2 25对称轴、M为顶点的抛物线的实线部分,降落点为 D(8,0).观测点 A(4,0),B(6,0)同时跟踪航天器.(0,64 7)(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程.(2)试问:当航天器在 x 轴上方时,观测点 A,B 测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?解:(1)设曲线方程为 y=ax2+(a0),64 7由题意可知 0=a64+,即 a=- .64 71 7故曲线方程为 y=- x2+.1 764 7(2)设变轨点为 C(x,y),根据题意可知2 100+2 25= 1, = -1 72+64 7,?解得 y=4 或 y=- (不合题意,舍去),故 y=4.9 4人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题6当 y=4 时,x=6 或 x=-6(不合题意,舍去),则点 C 的坐标为(6,4),|AC|=2,|BC|=4.5故当观测点 A,B 测得离航天器的距离分别为 2,4 时,应向航天器发出变轨指令.5
