第四讲第四讲 整数的拆分整数的拆分 笔记总结笔记总结整数的拆分：整数的拆分：把自然数分成为若干个自然数之和，每一种表示方法就是一种拆分 【【要求要求】】 1.拆成的数的和必须等于这个数 n 2.不允许重复（排列顺序不一样的重复也不可以）：例如：3=2+1.3=1+2 只能算一种拆分 【要点要点】1.被拆的数 2.拆成多少个数 3.特殊要求一、一、整数分拆中的计数问题（几种、多少个这样的问题称为计数问题）整数分拆中的计数问题（几种、多少个这样的问题称为计数问题） 例例 1 有多少种方法可以把 6 表示为若干个自然数之和？（（不加限制条件的分拆，称为无限制分拆） 分类分类(枚举枚举)法法：只能拆成 2 个至 6 个数的和 2 个数：6=5+1=4+2=3+3 3 个数： 6=4+1+1=3+2+1=2+2+2 4 个数： 6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1； 5 个数：6=2+1+1＋1＋1 6 个数：6＝1+1+1+1+1+1 因此，把 6 分拆成若干个自然数之和共有 1+3+3＋2+1+1=11 种不同的方法。
例例 2 有多少种方法可以把有多少种方法可以把 1994 表示为两个自然数之和？表示为两个自然数之和？解法：采用枚举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1992+2=…=998＋996=997+997因此，一共有 997 种方法可以把 1994 写成两个自然数之和. 【【拆成拆成 2 个数规律个数规律】】：：n 是双数，有是双数，有 n÷÷2 种拆分；种拆分；n 是单数，有（是单数，有（n-1））÷÷2 种拆分种拆分.二、二、整数分拆中的最值问题（最大和最小的两种极端情况，称为最值问题）整数分拆中的最值问题（最大和最小的两种极端情况，称为最值问题） 例例 3 50 最多能拆成多少个不同的正整数之和？最多能拆成多少个不同的正整数之和？ 拆“50” 没有个数限制，但要求拆成的数个数最多-------也就是尽量拆的最小 50=1+2+3+4+5+6+7+8+9+5 最多拆成 9 个 例例 4 试把试把 14 分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大 14=1＋13，1×13＝13； 14=2+12，2×12=24； 14=3＋11，3×11=33； 14=4＋10，4×10=40； 14=5＋9，5×9=45； 14=6+8，6×8=48； 14=7+7，7×7=49. [结论结论] 拆成两个数，差越小时，乘积越大；差越大时，乘积越大。
拆成两个数，差越小时，乘积越大；差越大时，乘积越大 拆成三个数，差越小时，乘积越大；差越大时，乘积越大拆成三个数，差越小时，乘积越大；差越大时，乘积越大难度问题难度问题】】给定一个自然数 N，把它拆成若干个自然数的和，使它们的积最大注意，分拆数中有 4 时，总可把 4 再分拆成 2 与 2 之和而不改变分拆的乘积.实验结果 4：8 拆分成 2＋3+3 时，其积最大.实验结果 5：9 拆分成 3+3+3 时，其积最大.实验结果 6：10 拆分成 3+3+2＋2 时，其积最大.观察分析实验结果，要使拆分数的乘积最大，拆分数都由 2 与 3 组成，其形式有三种：①自然数=（若干个 3 的和） ；②自然数=（若干个 3 的和）+2；③自然数=（若干个 3 的和）+2＋2.因此，我们得到结论：把一个自然数 N 拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由 2 或 3 组成，其 中 2 最多为 2 个时，这些分拆数的乘积最大.（因为 2+2+2=3+3，2×2×2＜3×3，所以分拆数中 2 的个数不能多于 2 个.）例例 分别拆分分别拆分 1993、、1994、、2001 三个数，使分拆后的积最大三个数，使分拆后的积最大解：∵1993=664×3＋1.∵1994=664×3＋2∴1994 分拆成（664 个 3 的和）＋2 时，其积最大.∵2001=667×3∴2001 分拆成（667 个 3 的和）时，其积最大 [总结总结]拆成若干个数，使得乘积最大拆成若干个数，使得乘积最大 除以除以 3 没有余数，全拆成没有余数，全拆成 3 的和；的和； 除以除以 3 余余 1，拆成，拆成 2 个个 2，其余都拆成，其余都拆成 3 的和；的和； 除以除以 3 余余 2，拆成，拆成 1 个个 2，其余都拆成，其余都拆成 3 的和。