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1、第二章 数列极限,数列极限概念 收敛数列的性质 数列极限存在的条件,1使学生初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延； 2使学生学会用定义证明极限的基本方法 3通过知识学习，加深对数学的抽象性特点的认识；体验数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学“符号化”的意义及“数形结合”方法； 4了解我国古代数学家关于极限思想的论述，增强爱国主义观念。,第二章数列极限,教学目标：,第二章 数列极限,一 数列极限概念,我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去,研究运动，即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方，那我,们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的，我们就,事实上还没,有脱离初
2、等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数,y,f,(,x,),所确定的两个变量之间的变化关系时，我们才算真正开始进入高等数,学的研究领域。极限是进入高等数学的钥匙和工具。我们从最简单的,也是最基本的数列极限开始研究。,1.,数列极限的概念,课题引入,1,预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。,数列,如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项.,数列举例:,2, 4, 8, , 2n , ;,1, -1, 1, , (-1)n+1, .,数列
3、xn可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .,数列与函数,数列,如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为xn, 其中第n项xn叫做数列的一般项.,2,数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。我们的祖先很早就对数,列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念,例,1,战国时代哲学家庄周所著的庄子。,天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，,万世不竭,。”也就是说一根一尺,长的木棒，每,天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行,下去。将每天截后的木棒排成一,列,如图所示,其长
4、度组成的数列为,n,2,1,截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,分析：,1,、,n,2,1,随,n,增大而,减,小，且无限接近于常数,0,；,2,数,轴,上描点，将其,形象,表示：,1,0,1/2,1,/4,-,1,例,2,三国时期，我国科学家,刘徽,就提出了“割圆求周”的思想,:,用,直径为,1,的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长,再平分各弧,量出内接正十二边形的周长，这样无限制的分割下去，,就得到一个(,内,接多边形,的周长组成的）,数列,.,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,那么这一串圆的内接正多边形与该圆有什么关系呢？刘徽说:“割之弥细,所失弥少,割之又
5、割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.”很明显,当圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时,这一串圆的内接正多边形将无限地趋近该圆周.从内接正多边形的面积来说,当边数n无限增大时,这一串圆的内接正多边形的面积数列将渐趋稳定于某个数a.换句话说,“割之弥细”,用圆的内接正多边形的面积近似代替圆的面积,而圆的面积“所失弥少”,当“割之又割,以至于不可割,”这一串圆的内接正多边形的极限位置“则与圆合体”.此时,这一串圆的内接正多边形的面积数列稳定于某个数a,a就应该是该圆的面积.只有在无限的过程中,才能真正做到“无所失矣”.,圆是曲边形,它的内接正多边形是直边形,二者有本质的区别.但是这个区别又不是绝
6、对的,在一定条件下,圆的内接正多边形的面积能够转化成该圆面积.这个条件就是“当圆的内接正多边形的边数无限增加时”,注意其中“无限”二字。因此在无限过程中,直边形才能转化为曲边形,即在无限的过程中,由直边形的面积数列Pn得到了曲边形的面积, 如果仅停留在有限过程或没完没了的变化下去,人们永远也认识不了圆的面积,但是飞跃式的思维方法,不仅使人们看到数列Pn的变化是没完没了,永无终结的.同时它又使人们看到了无限变化过程中飞跃式的“终结”,从而人们也就认识了圆的面积。这就是极限的思想和方法在计算圆的面积上的应用。,根据以上的分析，圆的面积可以这样定义：若圆的内接正多边形的面积数列 Pn 稳定于某个数a
7、（当n无限增大时），则称a是该圆的面积。一般地,若数列xn,当n无限增大时,稳定于某个常数a,称数列xn收敛, a为数列xn的极限.,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则常数a称为数列xn的极限, 或称数列xn收敛a, 记为,数列极限的通俗定义,下面我们对数列极限定义作几点说明：,(1),将上述,实例,一般化可得：,我们在以前的学习生活中,很少遇到无限的数学模型,也很少无限变化过程的实践.可是在数列极限的定义中,恰巧有两个“无限”:一个是“自然数n无限增大”;另一个是“xn无限趋近于a”.而这两个“无限”又是数列极限定义的核心.从字面来说,这两个“无限”似乎并不难理
8、解,但要追究其实质又觉得茫然.我们通过一些实例,逐步对无限有个全面正确的认识,这是深刻理解数列极限定义的前提.,思考1、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.01?2、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.001？3、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.0001？4、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于任意小的正数?,这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述。,当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小
9、于事先给定的任意小的正数.,分析,因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近于常数a.,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则数列xn收敛a. a为它的极限.,(3),“抽象化”得“数列,极限,”的,定义,定义,：,设,n,x,是一个数列，,a,是一个确定的常数,若,对,任给的正数,，,总存在某一正整数,N,，使得当,n,N,时,，都有,a,|x,n,-,|,则称数列,n,x,收敛,于,a,，,a,为它的,极限,。记作,a,x,n,n,=,lim,(,或,x,n,a,n,),若数列,n,x,没有
10、,极限,，,则,称该数列,为,发散数列。,数列极限定义的“符号化”记法：, 0, NN 当nN时 有|xna| .,注,(i)此定义习惯上称为极限的N定义，它用两个动态指标和N刻画了极限的实质，用|xna|定量地刻画了xn与a之间的距离任意小,即任给0标志着“要多小”的要求，用nN表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数，20，正数N，30，不等式|xna|（n N）, 0, NN 当nN时 有|xna| .,(ii)定义中的具有二重性：一是的任意性，二是的相对固定性。的二重性体现了xn 逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每
11、一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过的相对固定性来实现）。, 0, NN 当nN时 有|xna| .,(iii)定义中的N是一个特定的项数，与给定的有关。重要的是它的存在性，它是在相对固定后才能确定的，且由|xna|来选定，一般说来，越小，N越大，但须注意，对于一个固定的，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的，求出一个相应的N，使当n N时，不等式|xna|成立。, 0, NN 当nN时 有|xna| .,(iv)定义中的不等式|xna| （n N）是指下面 一串不等式,都成立，,而对,则不要求它们一定成立,(v)数列极限的几何意义,都落在a点的
12、邻域,因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点,这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn 中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。,注意：,数列极限的定义未给出求极限的方法.,使得 N 项以后的所有项,以下几种叙述与极限 的定义是否等价?并说明理由., 0, NN 当nN时 有|xna| ., 0, NN 当nN时 有|xna| .,分析:,例1,证明, 0, NN 当nN时 有|xna| .,三、用极限定义证明极限的例题,例2 证明,要使,（为简化,限定,),只要,证,取,当nN时
13、,有,由定义,分析:,例3 证明,(k为正实数）,由于,当nN时,便有,分析:,证：,取,例,4,证,明,n,n,q,lim,=0,，,这,里,1,|,|,1,q,证,若,q = 0,结,果,显,然成立,若,0,q,1,，令,q,=,h,h,(,1,1,+,0,),由于,(贝努利不等式),n,n,n,h,q,q,),1,(,1,+,=,=,nh,nh,1,1,1,当,1,e,，有,0,-,n,q,1 1,注：,1,特,别,地当,q=,2,1,时,，此即,为,上述,实,例中的,0,),2,(,lim,=,n,n,贝,努利不等式,nh,h,n,+,+,1,),1,(,1,分析:,例4 设|q|1,
14、 证明等比数列 1, q , q2, , qn-1, 的极限是0.,对于 0, 要使 |xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1log|q|e +1就可以了.,|qn-1-0|=|q|n-1e ,当nN时, 有,因为 0,证明,N= log|q|e +1N,由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤,在证明极限时，n，N之间的逻辑关系如下图所示,|xna| ,n N,0,2,4,6,8,0,0.5,1,1.5,2,2.5,a,1,/n,1+a/n,可以看出，,且有,n,a,a,n,+,1,即,n,a,a,n,-,|,1,|,随着,n,的无限增大，,n,a,无限的接近,1,，,1,lim,=,n,n,a,.,例6,分析:,证明, 0, NN 当nN时 有|xna| .,数列极限的几何意义,存在 NN 当nN时 点an全都落在邻域(a-e, a+e)内:,
