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1、2.2 方 阵,本节将介绍几类特殊方阵，讨论方阵运算，n阶矩阵的行列式及初等矩阵.,1,1.方阵概念,定义2.2.1 由n2个数排成的nn矩阵,2,称为n阶方阵.记作 A=(aij ), i，j=1，2，n 或,方阵的迹,定义2.2.2 由方阵左上角元素到右下角元素表示的位置称为方阵的主对角线，主对角线元素的和称为方阵的迹，记作,3,以上3阶方阵的迹为1+0+9=10 n阶方阵的迹为1+0+1=n.,例1,2.几种常用的特殊方阵,（1）对角阵 （2）数量阵 （3）单位阵和零阵 （4）上（下）三角阵,4,(1)对角矩阵,5,定义 所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵称为 对角矩阵.,是一个四阶对
2、角矩阵.,当对角线元素都相等时有：,6,(2)数量矩阵,定义 如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都相等， 则称此矩阵为n阶数量矩阵,或标量矩阵.,例1,7,(3)单位矩阵与零阵,定义 如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都是1， 则称此矩阵为n阶单位矩阵.,单位矩阵在方阵运算中 起到数字“1”的作用.,当a=0时,n阶零阵在方阵运算中 起到数字“0”的作用.,(4)三角形矩阵,8,定义 如果n阶矩阵主对角线下方的元素都等于零， 则称此矩阵为上三角矩阵.,如果n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零， 则称此矩阵为下三角矩阵.,A为n阶上三角矩阵；B为n阶下三角矩阵.,（4） 线性变换矩阵,例2 (线性变换
3、的系数矩阵),9,称此矩阵为上述线性变换的系数矩阵.,线性变换的系数矩阵,10,称此矩阵为线性变换的系数矩阵.,线性变换与矩阵之间 存在着一一对应关系.,两个简单线性变换,恒等变换,对应一个n阶单位矩阵,11,对角变换,对应一个n阶对角矩阵,4. 方阵的运算,方阵的一般运算 方阵的幂 矩阵多项式,12,返回,（1）方阵的一般运算,方阵作为行数与列数相等的一类矩阵，同样可以进行矩阵的各种运算，并满足相应的运算律.方阵的和，差，数乘，乘积及转置矩阵仍为方阵.,例3,13,对称矩阵和反对称矩阵,14,定义 如果n阶矩阵A满足A=AT，则称A为对称矩阵.,对称矩阵A=（aij）中的元素满足aij=aj
4、i，i，j=1，2，n即A中元素关于主对角线为对称.,性质（i）对称矩阵A与B的和也是对称矩阵; （ii）数乘对称矩阵仍为对称矩阵.,下面证明(ii),15,如,是一个三阶对称矩阵. 它的元素关于A的主对角线对称,注1,证(ii),因为 AT=A,所以 (kA)T=kAT=kA,即kA是对称矩阵.,两个同阶对称矩阵的乘积未必是对称矩阵.,对称阵,对称阵,非对称阵,注2,定义 如果n阶矩阵A满足AT =-A ，则称矩阵A为反对称矩阵.,性质（i）反对称矩阵A与B的和也是反对称矩阵 （ii）数乘反对称矩阵仍为反对称矩阵.,16,对称矩阵A=（aij）中的元素满足aij=-aji，i，j=1，2，,
5、n，A中主对角线元素为零.,注1,因此反对称矩阵的主对角线上的元素一定为零. 如,两个同阶反对称矩阵的乘积不一定仍是反对称矩阵.,17,注2,例4,18,证2.显然.,证 1.,例5,19,解,20,答案,练习1,21,证,练习2,（2）方阵的幂,22,(1) 定义: 设A是一个n阶方阵，k为正整数,称为A的k次幂.,A k 就是k个A连乘.显然只有方阵的幂才有意义. 规定:A0=E.,(i) A k Al=A k+1 (ii) (A k)l=A k l,其中k、l为正整数.,(2)运算律,例如,注意,例6,23,因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个 n 阶方阵A与B，(AB)k 一般不
6、等于A k B k.即,如果Ak=O，不一定有A=O. 例如取,解,推断An =? 由数学归纳法证明 .,例7,解,推断An =? 由数学归纳法证明 .,24,矩阵多项式,定义2.2.4 设 为x 的多项式，A为n 阶矩阵，E为n阶单位阵，称 为关于A的矩阵多项式.,例8,25,解,例9 已知,解 设,26,于是有,27,5. n阶矩阵的行列式,(1)定义 由n阶矩阵A的元素构成的行列式，称为矩阵A的行列式.记作|A|.,28,注 矩阵与行列式是两个不同的概念，n阶矩阵是n2个数 按一定方式排成的数表，而 n 阶行列式则是这些数按一定 的运算法则所确定的一个数.,矩阵A,行列式|A|,(2)性
7、质(A、B为n阶矩阵，k为数),29,例10,n阶矩阵A、B，一般AB不等于BA，但总有,30,例11,例12 设,均为阶方阵且,解,注意 行列式与矩阵的区别.,31,6.初等矩阵,定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵， 称为初等矩阵（初等方阵）.,32,三种初等变换对应着三种初等矩阵，以3阶单位阵为例予以说明.,(i)互换E的i、j两行（或i、j两列),记E（i, j ）,例如,33,(ii)E的第i行（或第i列）乘以不等于零的数k，得,(iii)把E的第j行的k倍加到第i行上（或第i列的k倍加到第j列上）， 得,例如,例如,34,性质,初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵.,矩阵的初等变换与初等矩阵有着非常密切的关系. 有了初等矩阵则可以用等式来描述矩阵化简的过程.,初等矩阵性质和有关定理,例如,初等矩阵,定理2.2.1 设A是m行n列矩阵，则 (1)对A施以一次初等行变换所得到的矩阵，等于用 同种m阶初等矩阵左乘A. (2)对A施以一次初等列变换所得到的矩阵，等于用 同种n阶初等矩阵右乘A.,35,例如,例13,注 化简过程表明，某些矩阵仅经过一系列行变换，即 可化为标准形矩阵； 如果设P7P6P5P4P3P2P1=P，那么PA=E. 若经过一系列行和列变换化为标准形，即 PkP2P1AQ1Q2Qm=E，令Pk P2P1P,Q1Q2 Qm=Q,那么有PAQ=E.,36,解,
