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1、4.3 空间直角坐标系,第四章 圆与方程,学习目标 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置. 2.掌握空间两点间的距离公式.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 空间直角坐标系,答案 空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直.,思考 空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间有什么关系？,梳理 (1)空间直角坐标系及相关概念 空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直， 且有相同单位长度的数轴： ，这时我们说建立了一个. 相关概念： 叫做坐标原点， 叫做坐标轴，通过_ _的平面叫做坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面. (2)右手直角坐标系
2、在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.,x轴、y轴、z轴,空间直角坐标系Oxyz,点O,x轴、y轴、z轴,每两,个坐标轴,xOy,yOz,zOx,x轴,y轴,z轴,(3)空间一点的坐标 空间一点M的坐标可以用 来表示，_ _叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点M的横坐标， 叫做点M的纵坐标， 叫做点M的竖坐标.,有序实数组(x，y，z),有序实数组,(x，y，z),M(x，y，z),x,y,z,1.空间两点间的距离公式 (1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|_. (2)
3、在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|_. 2.空间中的中点坐标公式 在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中 点坐标是_.,知识点二 空间两点间的距离,1.空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式.( ) 2.空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式. ( ) 3.关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反. ( ),思考辨析 判断正误,题型探究,例1 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|2|MC
4、1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标.,类型一 求空间中点的坐标,解答,解 如图，过点M作MM1BC于点M1，连接DM1，取DM1的中点N1，连接NN1. 由|BM|2|MC1|，,因为M1MDD1，,反思与感悟 1.建立空间直角坐标系时，应遵循的两个原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上. (2)充分利用几何图形的对称性. 2.求某点M的坐标的方法 作MM垂直平面xOy，垂足M，求M的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z). 3.坐标平面上的点的坐标特征 xOy平面上的点的竖坐标
5、为0，即(x，y，0). yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z). xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x，0，z).,4.坐标轴上的点的坐标特征 x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0，0). y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0). z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0，0，z).,跟踪训练1 已知正四棱锥PABCD的底面边长为 侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标.,解答,例2 在空间直角坐标系中，已知点P(2，1，4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标；,解答,解 由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来
6、的相反数，所以对称点坐标为P1(2，1，4).,类型二 空间中点的对称问题,(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；,解答,解 由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(2，1，4).,(3)求点P关于点M(2，1，4)对称的点的坐标.,解答,解 设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x22(2)6， y2(1)13，z2(4)412， 所以P3的坐标为(6，3，12).,反思与感悟 (1)空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解. (2)
7、对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.,跟踪训练2 已知点P(2，3，1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为_.,解析,答案,(2，3，1),解析 点P(2，3，1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，3，1).,命题角度1 求空间两点间的距离 例3 已知ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5). (1)求ABC中最短边的边长；,解答
8、,类型三 空间中两点间的距离问题,(2)求AC边上中线的长度.,解答,反思与感悟 求空间两点间的距离的方法 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立合适的坐标系，确定两点的坐标.确定点的坐标的方法视具体题目而定.一般来说，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定.,跟踪训练3 已知三点A(1，0，1)，B(2，4，3)，C(5，8，5)，则 A.三点构成等腰三角形 B.三点构成直角三角形 C.三点构成等腰直角三角形 D.三点构不成三角形,解析,答案,命题角度2 空间两点间距离公式的应用 例4 (1)已知点A(1t，1t，t)，
9、B(2，t，t)，则|AB|的最小值为_.,解析,答案,(2)已知点A(0，1，0)，B(1，0，1)，C(2，1，1)，若点P(x，0，z)满足PAAB，PAAC，试求点P的坐标.,解答,解 PAAB，PAB为直角三角形， |PB|2|PA|2|AB|2，即(x1)2(z1)2x21z2111， 即xz1， 又PAAC，PAC为直角三角形， |PC|2|PA|2|AC|2，即(x2)21(z1)2x21z2401， 即2xz0， ,点P的坐标为(1，0，2).,反思与感悟 利用空间两点间的距离公式，将空间距离问题转化为二次函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想，此类题目的解题方法是
10、直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将几何问题代数化，分析函数即可.,跟踪训练4 已知点A(4，5，6)，B(5，0，10)，在z轴上有一点P，使|PA|PB|，则点P的坐标为_.,解析,答案,解析 设P(0，0，z)，由|PA|PB|，,(0，0，6),解得z6. 点P的坐标为(0，0，6).,达标检测,1,2,3,4,1.在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)到平面yOz的距离是 A.1 B.2 C.3 D.,答案,5,1,2,3,4,5,2.以棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线的交点
11、坐标为,解析 由题图得A(0，0，0)，B1(1，0，1)， 所以对角线的交点即为AB1的中点，,解析,答案,解得x1. 所以点P的坐标为(1，0，0)或(1，0，0).,1,2,3,4,5,3.设点P在x轴上，它到点P1(0， ，3)的距离为到点P2(0，1，1)的距离的两倍，则点P的坐标为 A.(1，0，0) B.(1，0，0) C.(1，0，0)或(0，1，0) D.(1，0，0)或(1，0，0),解析 因为点P在x轴上， 所以设点P的坐标为(x，0，0). 由题意，知|PP1|2|PP2|，,解析,答案,1,2,3,4,5,4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体 ABCDA
12、BCD，AC的中点E与AB的中点F 的距离为,解析 A(a，0，a)，C(0，a，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，,解析,答案,1,2,3,4,5,5.点A(1，2，1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是 _.,答案,(1，2，1)，(1，2，1),1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力. 2.学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系. 3.在导出空间两点间的距离公式的过程中体会转化与化归思想的应用，突出化空间为平面的解题思想.,规律与方法,
