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1、3.2 二维 r.v.的条件分布,设二维离散型 r.v. ( X ,Y )的分布,若,则称,为在 X = xi 的条件下, Y 的条件分布律,3.2离散条件分布,若,则称,为在 Y = yj 的条件下X 的条件分布律,类似乘法公式,类似于全概率公式,例1 把三个球等可能地放入编号为 1, 2, 3 的三个盒子中, 每盒可容球数无 限. 记 X 为落入 1 号盒的球数, Y 为 落入 2 号盒的球数，求,例1,(1) 在Y = 0 的条件下，X 的分布律；,(2) 在 X = 2 的条件下，Y 的分布律.,解 先求联合分布，,其联合分布与边缘分布如下表所示,0 1 2 3,0 1 2 3,0,p
2、i,1,p j,X,0 1 2 3,将表中第一行数据代入得条件分布,(1),Y,0 1,(2) 当 X = 2 时，Y 只可能取 0 与 1.,将表中第三列数据代入下式,得Y 的条件分布,解,例2,例2 已知一射手每次击中目标概率为p ( 0 p 0, 则称,为Y = y 时，X 的条件分布函数, 记作,定义,类似地, 称,为X = x 的条件下Y 的条件分布函数;,为 X = x 的条件下Y 的条件 p.d.f.,称,为 Y = y 的条件下 X 的条件 p.d.f.,称,注意,y是常数, 对每一 fY (y) 0 的 y 处, 只要,相仿论述.,仅是 x 的函数,符合定义的条件, 都能定义
3、相应的函数.,类似于全概率公式,类似于Bayes公式,例3 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀 分布,求,r,解,x,-r,例3,同理，,边缘分布不是均匀分布！,当 r y r 时，,y, 这里 y 是常数，当Y = y 时，,当 r x r 时，, 这里 x 是常数，当X = x 时，,x,事实上,正态性质3,正态分布的条件分布仍为正态分布,正态分布性质3,同理，,例5 设,求,解,例5,当0 y 1 时，,y,当0 x 0 时，即 0 x 1 时，,当f X(x) = 0 时，f (x,y) = 0,故,x + y =1,0.5,0.5,0.5,设(X,Y )为二维
4、r.v. 若对任何,则称 r.v. X 和Y 相互独立,实数 x, y 都有,3.3,定义,由定义知,二维 r.v. ( X, Y ) 相互独立,X与Y 独立,即,连续型,二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立, 则边缘分布完全确定联合分布,对一切 i , j 有,离散型,X与Y 独立,对任何 x ,y 有,二维连续 r.v. ( X,Y ) 相互独立,设离散 r.v. X ,Y 相互独立, 且服,问题,从同一分布, 是否有 X = Y ？,为简单计不妨假设,-11,-1 1,0.25 0.25,0.25 0.25,0.5 0.5,0.5,0.5,由X ,Y 独立性,问题,故不能说 X =
5、Y .,由上表易得:,（即使概率为1的事,件未必是必然事件）,证,对任何 x, y 有,取,X与Y 相互独立,正态分布性质4,(必要性),正态性质4,故,充分性 将,代入,即得,例1 已知 ( X, Y ) 的联合 d. f.为,(1),(2),讨论X ,Y 是否独立？,例1,解,(1) 由图知边缘 d.f. 为,显然，,故 X ,Y 相互独立,(2) 由图知边缘 d. f. 为,显然，,故 X ,Y 不独立,判独立的一个重要命题,设 X ,Y 为相互独立的 r.v. u(x),v(y) 为连续函数, 则 U=u ( X ) , V=v (Y ) 也 相互独立.,即,独立 r.v.的连续函数仍
6、独立.,若 X ,Y 为相互独立的 r.v.,则a X + b, cY + d 也相互独立；,X 2, Y 2 也相互独立；,随机变量相互独立的概念 可以推广到 n 维随机变量,若,则称 r.v. X 1, X 2 , , X n 相互独立,由命题知,算出罪犯的身高. 这个公式是,公安人员根据收集到的 罪犯脚印，通过公式,由脚印估计罪犯身高,如何推导出来的?,估身高,显然，两者之间是有统计关系的，故,设一个人身高为 ,脚印长度为 .,由于影响人类身高与脚印的随机因素是大量的、相互独立的，且各因素的影响又是微小的,可以叠加的. 故,应作为二维随机变量 来研究.,由中心极限定理知 可以近似看,成服从二维正态分布,其中参数 因区域、,民族、生活习惯的不同而有所变化 ，,但它们都能通过统计方法而获得.,密度为,现已知罪犯的脚印长度为 , 要,估计其身高就需计算条件期望 , 条件,的密度函数, 因此,这正是正态分布,如果按中国人的相应参数代入上式，即可得出以脚印长度作自变量的身高近似公式.,题8,设随机变量 Z 服从参数为 1的指数分布，引入随机变量：,求 ( X , Y ) 的联合分布律和联合,问 题,分布函数.,
