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1、经济数学,某饮料生产企业现在需要设计一批容积为V的圆 柱形饮料包装盒,问应怎样设计才能使所用材料最省?,71 数学建模概述,第7章 数学建模案例,讨论: 什么是最优设计 易拉罐的形状如何 材料跟易拉罐的什么有关,?,经济数学,在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来,这并非偶然,这应该是某种意义下的最优设计。当然,对于单个的易拉罐来说,这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的,但是如果是生产几亿,甚至几十亿个易拉罐的话,可以节约的钱就很可观了。请问,你能否根据自己的观察来研究易拉罐的形状和尺寸对其进行
2、最优设计?,71 数学建模概述,第7章 数学建模案例,经济数学,711 数学建模简介,数学的语言(图、表、式等等)、方法解决实际问题的全过程就是数学建模。,经济数学,712 数学模型与数学模型的分类,由数字、字母或其它数学符号组成,描述实际对象数量规律的数学公式、图象或算法(或:实际问题的数学描述)称为数学模型。,例如():甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行,甲每小时行20千米,乙每小时行18千米。两人相遇时距全程中点3千米。求全程长多少千米?小学生的方法: (千米)中学生的方法:设:相遇时甲行驶了 千米,乙行驶了 千米,甲乙相距a千米,则,经济数学,712 数学模型与数学模型的分类,(2)
3、导数是曲线的切线斜率、直线运动瞬时速度的数学模型,经济数学,712 数学模型与数学模型的分类,按变量的特性分有:连续型模型和离散型模型;确定性模型和随机性模型;静态模型和 动态模型等等。例如:温度与时间的关系曲线就是一种连续模型;商场销售量与时间的关系就是一种离散模型。 按数学方法分有:初等模型,微分方程模型,运筹模型,线性模型,非线性模型、网 络模型,随机模型等等。,经济数学,712 数学模型与数学模型的分类,按应用领域分有:人口模型,生态模型,交通模型,环境模型,经济模型等等。按对模型结构了解程度分有:白箱模型,灰箱模型和黑箱模型。白箱模型是指所涉及问题的机理 相当清楚;黑箱模型是指对机理
4、很不清楚;而灰箱模型则有别于白、黑箱之间。,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,在日常生活里,将一只四条腿一样长的椅子放在不平的地面上,其中三条腿常同时着地(不在同一条直线上的三点确定一平面),如果第四条腿不着地,椅子未放稳,问能否稍作挪动,就可以使四条腿同时着地(即椅子放稳)?,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,1椅子:假设椅子的四条腿一样长,椅子腿与地面接触处视为一点,四条腿的连线呈正方形2地面:地面高度是连续变化的,地面无断裂,呈连续曲面3椅子与地面相对关系:对椅子腿的间距和椅子腿的高度而言,地面是相对平坦的,因而能使椅子在任何位置上呈三条腿同时着地,2.模
5、型假设,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,3.建立模型,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,3.建立模型,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,3.建立模型,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,3.建立模型,设 , 为非负连续函数,如果 且 , 那么必存在 ,使,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,4.模型求解,将椅子旋转 ,即正方形AC边转至边BD,BD边转至AC边AC的初始情形时,有 , ;AC转至BD边位置后,有 ,令 ,则有,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,4.模型求解,因 、 为连续函数,故 也为
6、连续函数由连续函数的介值定理知:存在 ,使 ,即有 但 ,故有,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,,表明椅子四脚均着地,椅子放稳了便是要 挪动(旋转)的适当角度由于地面相对平坦,所以不考虑平移,仅考 虑旋转是允许的,经济数学,722 库存问题,72数学模型案例,一个销售企业,如何安排进货才能使库存保管费、进货费最省,经济数学,722库存问题,72数学模型案例,(1)在计划期 T(通常以一年为计划期)内对货物的需求量Q是确定的 (2)在计划期T内分次n次进货,每次进货量为 ,即进货是均匀的 (3)每件货物贮存单位时间的贮存费用 及每次进货费用 都为常数 (4)货物均匀投放市场 一
7、般来说,货物先入库暂存,然后均匀提出这时,库存货物量的最大值就是每次的进货量 ,随着时间推移均匀降至零,一旦库存货量为零,立即得到货物补充且进货瞬间完成因此,货物的库存量 的图像如图7-2所示 由此得,平均库存量为,经济数学,722 库存问题,72数学模型案例,在以上假定条件下,总贮存费用为:,总进货费用为:,总费用为:,代入上式,得,经济数学,722 库存问题,72数学模型案例,令 ,得惟一驻点 ,又 ,所以惟一的驻点就是最小值点故当每次进货数量为 时,库存保管费、进货费之和最省,经济数学,722库存问题,72数学模型案例,从上述结果可以看出,每次进货数量 与每次进货费用 和 需求量Q成正比
8、,与每件货物贮存单位时间的贮存费用 越大与计 划期T成反比当每次进货费用 与需求量 Q较大时,每次进货数量 就要多;当每件货物贮存单位时间的贮存费用 较大与计划期T较长时, 每次进货数量 要少,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,一种新产品面世,厂家和商家总要采取各种措施,促进销售他们都希望产品的销售速度与销售数量做到必中有数,以便于组织生产,安排进货如何用一个数学模型来描述产品推销速度,并由此分析出有用结果,以指导生产与销售,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,或,C是任意常数,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,因为,显然,当 时, =0,从而求得 ,使,由此我们可做如下分析:(1)当时 , 0,因此 单调上升 (2)当时 , 0,因此 单调上升,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,