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1、经济数学,某饮料生产企业现在需要设计一批容积为V的圆 柱形饮料包装盒，问应怎样设计才能使所用材料最省？,71 数学建模概述,第7章 数学建模案例,讨论： 什么是最优设计 易拉罐的形状如何 材料跟易拉罐的什么有关,?,经济数学,在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。请问，你能否根据自己的观察来研究易拉罐的形状和尺寸对其进行
2、最优设计？,71 数学建模概述,第7章 数学建模案例,经济数学,711 数学建模简介,数学的语言（图、表、式等等）、方法解决实际问题的全过程就是数学建模。,经济数学,712 数学模型与数学模型的分类,由数字、字母或其它数学符号组成，描述实际对象数量规律的数学公式、图象或算法（或：实际问题的数学描述）称为数学模型。,例如（）：甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米，乙每小时行18千米。两人相遇时距全程中点3千米。求全程长多少千米？小学生的方法： （千米）中学生的方法：设：相遇时甲行驶了 千米，乙行驶了 千米，甲乙相距a千米，则,经济数学,712 数学模型与数学模型的分类,（2）
3、导数是曲线的切线斜率、直线运动瞬时速度的数学模型,经济数学,712 数学模型与数学模型的分类,按变量的特性分有：连续型模型和离散型模型；确定性模型和随机性模型;静态模型和 动态模型等等。例如：温度与时间的关系曲线就是一种连续模型；商场销售量与时间的关系就是一种离散模型。 按数学方法分有：初等模型，微分方程模型，运筹模型，线性模型，非线性模型、网 络模型，随机模型等等。,经济数学,712 数学模型与数学模型的分类,按应用领域分有：人口模型，生态模型，交通模型，环境模型，经济模型等等。按对模型结构了解程度分有：白箱模型，灰箱模型和黑箱模型。白箱模型是指所涉及问题的机理 相当清楚；黑箱模型是指对机理
4、很不清楚；而灰箱模型则有别于白、黑箱之间。,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,在日常生活里，将一只四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，其中三条腿常同时着地（不在同一条直线上的三点确定一平面），如果第四条腿不着地，椅子未放稳，问能否稍作挪动，就可以使四条腿同时着地（即椅子放稳）？,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,1椅子：假设椅子的四条腿一样长，椅子腿与地面接触处视为一点，四条腿的连线呈正方形2地面：地面高度是连续变化的，地面无断裂，呈连续曲面3椅子与地面相对关系：对椅子腿的间距和椅子腿的高度而言，地面是相对平坦的，因而能使椅子在任何位置上呈三条腿同时着地,2.模
5、型假设,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,3.建立模型,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,3.建立模型,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,3.建立模型,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,3.建立模型,设 , 为非负连续函数，如果 且 ， 那么必存在 ，使,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,4.模型求解,将椅子旋转 ，即正方形AC边转至边BD，BD边转至AC边AC的初始情形时，有 ， ；AC转至BD边位置后，有 ，令 ，则有,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,4.模型求解,因 、 为连续函数，故 也为
6、连续函数由连续函数的介值定理知：存在 ，使 ，即有 但 ，故有,经济数学,721 椅子问题模型,72数学模型案例,，表明椅子四脚均着地，椅子放稳了便是要 挪动（旋转）的适当角度由于地面相对平坦，所以不考虑平移，仅考 虑旋转是允许的,经济数学,722 库存问题,72数学模型案例,一个销售企业，如何安排进货才能使库存保管费、进货费最省,经济数学,722库存问题,72数学模型案例,（1）在计划期 T（通常以一年为计划期）内对货物的需求量Q是确定的 （2）在计划期T内分次n次进货，每次进货量为 ，即进货是均匀的 （3）每件货物贮存单位时间的贮存费用 及每次进货费用 都为常数 （4）货物均匀投放市场 一
7、般来说，货物先入库暂存，然后均匀提出这时，库存货物量的最大值就是每次的进货量 ，随着时间推移均匀降至零，一旦库存货量为零，立即得到货物补充且进货瞬间完成因此，货物的库存量 的图像如图7-2所示 由此得，平均库存量为,经济数学,722 库存问题,72数学模型案例,在以上假定条件下，总贮存费用为:,总进货费用为:,总费用为:,代入上式，得,经济数学,722 库存问题,72数学模型案例,令 ，得惟一驻点 ，又 ，所以惟一的驻点就是最小值点故当每次进货数量为 时，库存保管费、进货费之和最省,经济数学,722库存问题,72数学模型案例,从上述结果可以看出，每次进货数量 与每次进货费用 和 需求量Q成正比
8、,与每件货物贮存单位时间的贮存费用 越大与计 划期T成反比当每次进货费用 与需求量 Q较大时，每次进货数量 就要多；当每件货物贮存单位时间的贮存费用 较大与计划期T较长时， 每次进货数量 要少,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,一种新产品面世，厂家和商家总要采取各种措施，促进销售他们都希望产品的销售速度与销售数量做到必中有数，以便于组织生产，安排进货如何用一个数学模型来描述产品推销速度，并由此分析出有用结果，以指导生产与销售,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,或,C是任意常数,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,因为,显然，当 时, =0,从而求得 ,使,由此我们可做如下分析：（1）当时 ， 0，因此 单调上升 (2）当时 ， 0，因此 单调上升,经济数学,723新产品销售模型,72数学模型案例,
