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1、隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨论隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.,11.1 隐函数的存在性,四、隐函数求导数举例,一、隐函数概念,二、隐函数存在性条件分析,三、隐函数定理,第十一章 隐函数,方程式所确定的函数,通常称为隐函数例如：,一、隐函数概念,显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示,的函数称为显函数例如：,隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个,隐函数一般定义：,则成立恒等式,有惟一确定的,则称由方程 (1) 确定了一个定义在 , 值域含于,的隐函数. 如果把此隐函数记为,取值范围例如由方程
2、 可确定如下两,个函数：,注2 不是任一方程 都能确定隐函数,例如 显然不能确定任何隐函数,注1 隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要,化为显函数上面把隐函数仍记为 ，这,与它能否用显函数表示无关,注3 隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的,在2 还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.,等.,二、隐函数存在性条件分析,条件时，由方程 (1) 能确定隐函数 , 并使,要讨论的问题是：当函数 满足怎样一些,该隐函数具有连续、可微等良好性质?,(a) 把上述 看作曲面 与坐标,平面 的交线，故至少要求该交集非空，即,，满足,连续是合理的,(b) 为使 在 连续，故要求 在点,由此可见， 是一个重
3、要条件,点 存在切线，而此切线是曲面 在点,的切平面与 的交线，故应要求 在,(c) 为使 在 可导，即曲线 在,点 可微，且,(d) 在以上条件下，通过复合求导数, 由 (1) 得到,三、隐函数定理,定理11.1 ( 隐函数存在惟一性定理 ) 设方程 (1) 中,的函数 满足以下四个条件：,(i) 在以 为内点的某区域 上连续；,(ii) ( 初始条件 )；,(iii) 在 内存在连续的偏导数 ；,(iv),则有如下结论成立：,在 上连续,惟一地确定了一个隐函数,它满足：, 且当 时, 使得,证 首先证明隐函数的存在与惟一性,证明过程归结起来有以下四个步骤 ( 见图111 )：,存在某邻域
4、，在 内由方程 (1),图 111,(a) “一点正, 一片正 ”,由条件 (iv), 不妨设,因为 连续，所以根据,保号性， 使得,(b) “正、负上下分 ”,因 故,把 看作 的函数，它在 上,严格增，且连续 ( 据条件 (i) ),因为 关于 连续，故由,(b) 的结论，根据保号性， 使得,(c) “同号两边伸”,(d) “利用介值性”,因 关于 连续, 且严,格增，故由 (c) 的结论，依据介值性定理, 存在惟,就证得存在惟一的隐函数:,由 的任意性, 这,若记 则定理结论 得证,下面再来证明上述隐函数的连续性:,欲证上述 在 连续.,类似于前面 (c) ， 使得,由 对 严格增，而,
5、推知,在 上处处连续,因此 在 连续. 由 的任意性, 便证得,且当 时，有,类似于前面 (d) ，由于隐函数惟一，故有,注1 定理 11.1 的条件 (i) (iv) 既是充分条件, 又,是一组十分重要的条件. 例如：, (双纽线), 在,点 同样不满足,条件 (iv); 如图113,所示, 在该点无论多,么小的邻域内, 确实,用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，,的作用,二则是在后面的定理 11.2 中它们还将起到实质性,注3 读者必须注意, 定理 11.1 是一个局部性的隐,函数存在定理例如从以上双纽线图形看出: 除了,三点以外, 曲线上其余各点处都,注 2 条件 (iii) 、
6、(iv) 在证明中只是用来保证在邻,域 内 关于 为严格单调之所以采,不能确定惟一的隐函数.,存在局部隐函数 ( 这不难用定理 11.1 加,以检验，见后面第四段的例),的. 当条件 (iii) 、 (iv) 改为,时，将存在局部的连续隐函数,定理 11.2 ( 隐函数可微性定理 ) 设函数 满,足定理 11.1 中的条件 (i) (iv), 在 内还存在连,续的 . 则由方程 所确定的隐,函数 在 I 内有连续的导函数，且,( 注: 其中,示于定理11.1 的证明 (d) ).,使用微分中值定理, 使得,证 设 则,由条件易知 F 可微，并有,显然 也是连续函数,因 都是连续函数, 故 时,
7、并有,(3),注1 当 存在二阶连续偏导数时，所得隐函,数也二阶可导应用两次复合求导法，得,将 (2) 式代入上式，经整理后得到,注2 利用公式 (2) , (3) 求隐函数的极值:,(a) 求使 的点 , 即 的解,(b) 在点 处因 ，而使 (3) 式化简为,(4),(c) 由极值判别法, 当 时, 隐函数,在 取得极大值(或极小值),设在以点 为内点的某区域 上,则存在某邻域 在其内存在惟一的、连,续可微的隐函数 ，且有,注3 由方程,(5),确定隐函数 的相关定理简述如下：,F 的所有一阶偏导数都连续，并满足,(6),更一般地，由方程,确定隐函数 的相关定理, 见华,师大下册 p.14
8、9 上的定理18.3 , 这里不再详述.,解 令 它有连续的,求解 分别得到,四、隐函数求导数举例,例1 试讨论双纽线方程,所能确定的隐函数,再考虑隐函数 的极值由于,在其他所有点处都存在局部的可微隐函数,所以，除 这三点外，曲线上在其他,所有点处都存在局部的可微隐函数,同理，除 这五点外，曲线上,性又知,各点处都能确定局部的隐函数 ,例2 讨论笛卡儿叶形线(图114),(7),所确定的隐函数 的存在,性，并求其一阶、二阶导数,解 令,. 除此两点外, 方程 (7) 在其他,图 114,然后再算出:,为了使用公式 (3) , 先算出:,由公式 (2) 求得,平切线和垂直切线,类似于例1 的方法
9、, 求出曲线上使 的点为,在几何上，它是两条曲线,和,隐函数 在点 取得极大值,以上讨论同时说明, 该曲线在点 和 分别有水,例3 试求由方程 所确定的隐,函数 在点 处的全微分,解法 1 ( 形式计算法 ) 对方程两边微分，得,将 代入，又得,解法 2 ( 隐函数法 ) 设,由于 上处处连续, 而,因此在点 P 附近能惟一地确定连续可微的隐函数,且可求得它的偏导数如下：,以 代入, 便得到,例4 用隐函数方法处理反函数的存在性及其导数.,解 设 在 的某邻域内有连续的导函数,且 现在来考察方程,由于,因此只要 就能满足隐函数定理的所有,条件, 由方程 (8) 便能确定连续可微的隐函数,(8),因它满足 故它就是,的反函数. 应用隐函数求导公式, 可得, 故将此两式相加便得所需结果.,例 5 设 是由方程,所确定的隐函数, 其中 F 具有连续的二阶偏导数,试证:,证 易知 于是有,由此得到 再分别对 x 与 y 求偏导数,又得 因在假设条件下,1在隐函数的定义中，为什么强调必须指出,3设 能确定连续可微的隐函数:,2在定理 18.1 对隐函数连续性进行证明时，,复习思考题,因变量的取值范围？( 结合例题加以说明 . ),最后为什么要用到隐函数的惟一性？,4. 试对例3 的两种解法 (形式计算法与隐函数,法) 作一比较, 指出两者各有哪些优缺点?,
