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1、第二章 单自由度系统振动的理论及应用,2-1 单自由度系统振动微分方程式的建立,2-1.1 纵向振动微分方程式的建立,系统振动时,振动质量m的位移x,速度x.和加速度x会产生弹性力kx,阻尼力cx.和惯性力mx,它们分别与振动质量的位移,速度和加速度成正比,但方向相反.,按牛顿第二定律:作用于质点上所有力的合力等于该质点的质量与沿合力方向的加速度的乘积.,把质量块挂上后,弹簧的静变形量为j:,所以有:,称为单自由度线性纵向振动系统的运动微分方程式,又称单自由度有粘性阻尼的受迫振动方程.,可分为如下几种情况进行研究:,(1)当c=0,F(t)=0时,该方程为单自由度无阻尼自由振动方程.,(2)当
2、F(t)=0时,该方程为单自由度有拈性阻尼的自由振动方程.,(3)当c=0时,该方程为单自由度无阻尼受迫振动方程.,2-1.2 扭转振动微分方程式的建立,圆盘的转动惯量为J,在某一时刻t圆盘的角位移为,角速度为.和角加速度为,在圆盘上施加力矩M(t),系统则作扭转振动,此刻作用于圆盘上的力矩有弹性恢复力矩-k,阻尼力矩c.,外加激振力矩M(t).,根据牛顿第二定律:,故,称为单自由度线性扭转振动系统的运动微分方程式.,2-1.3 微幅摆动微分方程的建立,摆动质量m在任意时刻t的角位移为,角速度为.和角加速度为.系统作微幅摆动时,作用于m上的力矩有弹性恢复力矩-2ka2,阻尼力矩-cl2.,重力
3、力矩-mglsin=mgl和外加力矩M(t).,根据牛顿第二定律:,由,为微幅摆动系统的运动微分方程式.,2-2 无阻尼单自由度系统的自由振动,设弹簧原长为,在重力 的作用下,刚度系数为k,这一位置为平衡位置,当系统受到外界的某种初始干扰作用后,其静平衡状态被破坏,弹性力不再与重力相平衡,产生弹性恢复力使系统产生持续的自由振动.,2-2.1 自由振动微分方程,取静平衡位置为坐标原点,以x表示质量块的位移,并以x轴为系统坐标轴,取向下为正.当质量块离开平衡位置时,在质量块上作用有重力W和弹性恢复力-k(j+x).,上式表明：,只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动,无阻尼自由振动微分方程的
4、标准形式,令,代入,特征方程的两个特征根为:,令：,2-2.2 无阻尼自由振动的特点,1. 固有频率,由式,其中 振动的频率，表示每秒钟的振动次数。,只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关,而与运动的初始条件无关,它是振动系统固有的特性.,2. 振幅与初相角,而0表示质点运动的起始位置初相角,3. 其他类型的单自由度振动系统,图为一扭振系统,建立扭转振动微分方程式:,则得,由材料力学可知,它的扭转刚度为:,系统振动的固有圆频率为:,系统振动的固有频率为:,通解为:,例:,解：,若物块平衡时，弹簧应有变形量,通解为,固有频率,当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点,运动方程为,求：系统
5、的振动规律。,例:,解：,此无重弹性梁相当于一弹簧,其静挠度相当于弹簧的静伸长,则梁的刚度系数为,取其平衡位置为坐标原点,x轴方向铅直向下,运动微分方程为,设,固有频率,在初瞬时t=0，物块位于未变形的梁上,其坐标,重物初速度,则振幅为,初相角,最后得系统的自由振动规律为,已知：图为一摆振系统，杆重不计球质量为m。摆对轴O的转动惯量为J，弹簧刚度系数为k。杆于水平位置平衡。,求：此系统微小振动的运动微分方程及振动固有频率。,例:,解：,由平衡方程,4. 计算固有频率的能量法,如图所示无阻尼振动系统,当系统作自由振动时，运动规律为:,速度为:,在瞬时t 物块的动能为:,无阻尼自由振动系统没有能量
6、的损失,振动将永远持续下去.在振动过程中,系统的动能与弹簧的势能不断转换,但总的机械能守恒.因此,可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率.,若选平衡位置为零势能点，有:,对于有重力影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性力势能之和，相当于由平衡位置处计算变形的 单独弹性力的势能。,当物体处于平衡位置（振动中心）时，物块具有最大动能,当物块处于偏离振动中心的极端位置时，系统具有最大势能,由机械守恒定律,可得系统的固有频率,已知：如图所示两个相同的塔轮，相啮合的齿轮半径皆为R，半径为r的鼓轮上绕有细绳。轮I连一铅直弹簧，轮II挂一重物，塔轮对轴的转动惯量皆为J，弹簧刚度系数为k
7、，重物质量为m。,求：此系统振动的固有频率。,例:,解：,以系统平衡时重物的位置为原点，取x轴如图。,系统的势能为,不计摩擦，由系统的机械能守恒,常数,系统动能为,上式两端对时间取一阶导数，得:,自由振动微分方程,系统的固有频率为,解：,系统振动时摆杆的最大角速度,系统的最大动能为,选择平衡位置为零势能点,最大势能为,即,解得固有频率,由机械能守恒定律有,求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。,已知：如图表示一质量为m，半径为r的圆柱体，在一半径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。,例:,解：,系统的动能为,系统的势能为,当圆柱体作微振动时，,可认为,设系统作自由振动时的变化规律为,则系统的
8、最大动能,系统的最大势能,由机械守恒定律,有,解得系统的固有频率为,5. 等效质量与等效刚度,实际振动系统通常由多个构件组成,因而其质量是分散的,这就给振动分析带来了困难.因此,对于相关的那些质量,可以采用等效质量代替实际的分散质量简化力学模型.,但在进行质量折算求解等效质量时,应遵循能量守恒原则,保持系统转换前后的振动动能不变.,一个杠杆-弹簧系统,均质杆长度为l,质量为m,弹簧刚度为k.,为了便于振动分析,可把该系统简化为集中质量-弹簧系统,因弹簧刚度保持不变,只需用一个等效质量me代替杠杆的分散质量m.,1) 等效质量,系统变换后的动能为 :,系统变换前的动能为 :,保持系统的动能不变
9、:,由,可得,为了提高计算精度,有时需要考虑弹性元件的质量,如图中除考虑质体m的质量外,还要考虑弹簧自身质量的影响.,系统的动能为:,它应等于等效质量me的动能:,所以得:,2) 等效刚度, 弹簧并联,在平衡时有:,令,等效弹簧刚度系数,固有频率:,当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个 弹簧刚度系数的和。,这个结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。, 弹簧串联,两个弹簧总的静伸长,比较上面两式得,固有频率为:,当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个弹簧刚度系数倒数的和。,这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形.,求：等效刚度。,如图所示并联弹簧-杠杆系统中,AB为刚性杆,在C
10、点又连接一弹簧-质量系统。,例:,首先分析系统在刚性杆C点的等效刚度。,假定在杆C处有一作用力F,那么在杆上A处与B处的受力为:,作用力FA与FB引起弹簧k1与k2的伸长量分别为:,在F作用下,杆上C处的位移量为:,在C处的等效刚度为:,以K,作为C点的等效刚度,原系统简化成如图所示的力学模型.,则弹簧K,与K3串联, 系统的等效刚度为:,把K,代入:,2-3 具有粘性阻尼的自由振动,1.阻尼,粘性阻尼当振动速度不大时，由于介质粘性引起的阻力近似地与速度的一次方成正比。,以阻尼元件c表示。,一般的机械振动系统,弹性元件（k）,惯性元件（m）,阻尼元件（c）,无阻尼自由振动只是一种理想情况实际上
11、系统振动不可避免地有阻尼存在，因而自由振动都是会衰减的，振幅将随时间逐渐减小，直到最后停止振动，振动中的这些阻力称为阻尼,其中：c粘性阻力系数（简称为阻力系数）,2-. 具有粘性阻尼的自由振动,2.振动微分方程,如以平衡位置为坐标原点， 在建立此系统的振动微分 方程时可以不再计入重力 的作用。,在振动过程中作用在物块上的力有,（1）恢复力,（2）粘性阻尼力,物块的运动微分方程为,令,固有角（圆）频率,阻尼系数,有阻尼自由振动微分方程的标准形式,该振动微分方程式是一个齐次二阶常系数线性微分方程式，设其特解为,方程式的两个根为,把它的一阶，二阶导数 代入,因 ，所以必有,令,2-. 粘性阻尼对自由
12、振动的影响,现引进一个量纲为的量表示系统的阻尼状态,由上式可见，系统运动状态决定于根式 的值是实数（正实数，负实数，零）还是虚数，即决定于阻尼的大小,相对阻尼系数或阻尼比,以下对三种情况分别进行讨论,1.小阻尼状态,此时，根式 是虚数，称为弱阻尼（小阻尼）状态,此时特征方程有一对共轭复根为,其中A和r为两个积分常数，由运动的初始条件确定。,称为有阻尼系统的固有圆频率或减幅振动圆频率,应用欧拉公式,通过三角函数变换，可得,设t=0，,可以看出，系统振动的振幅将随时间延续逐渐减小，即该系统为振幅逐渐减小的周期性往复运动，这种振动称为减幅阻尼振动。,是否为周期振动呢？,联立求解得：,减幅振动的圆频率
13、为,减幅振动的频率为,由此可见，由于阻尼的影响，使系统的固有频率减小，振动周期增大，振动不再是简谐振动,令,称为阻尼比,设在某瞬时t，振动达到的最大偏离值为A，,相当振幅,经过一个周期 后,在有阻尼的自由振动中，振幅的衰减程度可由相邻两振幅比（减幅系数）表示：,对数减缩，反映阻尼的参数。,越大表示阻尼越大，振幅衰减也越快为运算方便，常用对数衰减系数代替减幅系数a,从上式看出，通过实测法测出系统振动的周期r及相邻振幅衰减程度，即可求出衰件系数n为了得到较高的测试精度，用相距j个周期的两振幅之比计算对数衰减系数,因此，只要实测出系统的振动周期r及相距j个周期的两振幅，便可求出系统的阻尼系数c,.大
14、阻尼状态,此时，根式 是实数，称为强阻尼（大阻尼）状态,设t=0，,代入，得,上式可用图表示：,从该图可见，系统受到初始扰动（初始位移为x0，初始速度为v0）离开平衡位置后，不产生振动，而是蠕动地返回到平衡位置，是一种非周期性运动,.临界阻尼状态,此时，微分方程式的特征方程有重根，即,故微分方程式的通解应为,设t=0，,代入，得,可知，系统受到初始扰动后，尽管初始速度不同，但随着时间延续，质体都蠕动地返回到平衡位置，和大阻尼状态一样，系统的运动是非周期性运动，不产生振动,这时的阻尼称为临界阻尼：,已知一弹簧质量系统，质体的质量为kg，在粘性阻尼中振动频率为HZ，相隔个周期振幅衰减，试计算系统的
15、阻尼系数及阻尼比,例:,解：,对数衰减系数为,由 的衰减系数为,阻尼系数为,阻尼比为,已知：如图为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度系数为kt，圆盘对杆轴的转动惯量J，如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力，而圆盘衰减扭振的周期为 。,求：圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系,例:,解：,圆盘绕杆轴转动微分方程为,求：系统的临界阻力系数和阻力系数各为多少。,已知：如图弹簧质量阻尼系统，其物体质量为0.05kg，弹簧刚度系数k=2000N/m。使系统发生自由振动，测得其相邻两个振幅比 。,例:,解：,系统的临界阻力系数为,阻力系数,对数减缩为,阻尼比为,2- 无阻尼系统的受迫振动,如前所述，具有
16、粘性阻尼的系统，其自由振动会逐渐衰减但是，当系统受到外界动作用力持续周期地作用时，系统将产生等幅的振动，该振动称为受迫振动这种振动是系统对外力的响应,作用在系统上持续的激振，按它们随时间变化的规律，可以归为三类：简谐激振，非简谐周期性激振和随时间变化的非周期性任意激振,）简谐激振力是按正弦或余弦函数规律变化的力，如偏心质量引起的离心力，载荷不均或传动不均衡产生的冲击力等,）非简谐周期激振力，如凸轮旋转产生的激振，单缸活塞连杆机构的激振力等,）随时间变化的任意激振力，如爆破载荷的作用力，提升机紧急制动的冲击力等,系统持续激振的作用形式可以是力直接作用到系统上，也可以是位移（如持续的支承运动，地基运动等），速度或加速度,
