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1、第二节“线性多步法单步法在计算y,时,只用到前一步的信息y,。为提高精度,需重新计算多个点处的函数值,如RK方法,计算量较大。如何通过较多地利用前的已知信息,如yw_b.yo.r3来构造高精度的算法计算y这就是多步法的基本思想。多步法9P最常用的是线性多步法,它的计算公式ieX/(twzymy汞(n)的一次项,严一般形式为DA艺稷汉涧+芝:又认0认-1中Q均为带数二夺吴户t卫)(F+二I.m一)。若6_,=0,显式;_丿0,隐式。构造线性多步公式常用Taylor展开和数值积分方法。一、线性多步公式的导出利用Taylor展开导出的基本方法是:将线性多步公式在x,处进行Taylor展开,然后与y(
2、x,)在x,处的Taylor展开式相比较,要求它们前面的项重合,由此确定参数a.0,。以r=1为例:设初值问题的解y(x)充分光滑,待定的两步公式为y=驹y十铡_y_l+z(婀_l/+l十/叟o/+婀l/_l)记y=y4(x,)(K=山2,.),则y(x)在x,处的Taylor展开为J(X)=,+y鼻(x一x)+昔(x一x)z于一()PD!假设前x步计算结果都是准确的,即y,=y(xr),(x;)=了(xi,y;)(力,则有(e-x)“+O(Cr一x)270)了n“V加二=y(x_)=y_y+琶漓江(4)(5)EnCo(7i)314，51/(蕙一l，J一丨)=叉(藁一l)(4)=驯-邑+兰一鹭
3、户十y友+O(R)了(Cxioya)二J二丁(CrocloJoul)一卫(xnul)(4)=y+y二+兰肿十2a_J331.y4+O(R()将以上各公式代入并整理,得Jna=(Qo+Q0)Jo+(-+厂+又)y仪+/宠一)7,7+(_+鱼+垄澈胛婀l婀l)v(4)_4l婀【婀】)y(5)5246P“24)124+O(Re)EJnu五QoJn+lJn-+R(尼f十厂一十风个)为使上式有p阶精度,只须使其与y(x,)在x,处的Taylor展开式丞2E卯+.+-口+0(5)的前p+l项重合。Qo十a二卫ao+Go+G二工工工】+婀一】_婀】=一王工王一l+_婀_】+=工王一一十“一一24“】6洱l2
4、45个参数,只须5个条件。臼推导知，如果选取参数Qi,b,使其满足前P+1个方程(p=l,2,3,则近似公式为p阶公式。如铋o=l，邳l=0，/叟一_=焊。=量，婀_=0满足方程组前三个方程,故公式y+l=y+彗(/+/)此为二阶公式。又如:解上而方程组得殉=0峭=L及=婀】=董，婀。=熹相应的线性三步四阶公式(Simpson公式)为英月nJn二了n-l十(/+4/十/)其截断误差为R_=_竟胪y鲈)+0仇“)由此可知,线性二步公式至多是二阶公式。一般地,线性多步公式中有2r+3个待定参数,如令其右端在x处的Taylor展开式与y(xu)在x处的Taylor展开式的前p+1项系数对应相等,可得方程组
