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1、,第八章,第七节,一、方向导数,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,记作,方向导数实质上是函数在一点处沿某一方向的变化率。,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,且有,对于二元函数,为, ) 的方向导数为,向角,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,且有,该定理对于多元函数任然成立,特别:, 当 l 与 x 轴同向,例1. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向导数 .,例2. 求函数,在点P(2, 3)沿曲
2、线,朝 x 增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,例3. 设,是曲面,在点 P(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模 : f 的最大变化率之值,方向导数取最大值：,1. 定义,即,称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度,记作,(gradient),说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,2. 梯度的几何意义,同样，三元函数,在点,处的梯度,函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,称为函数
3、 f 的等值线 .,则L*上点P 处的法向量为,同样, 对应函数,有等值面(等量面),当各偏导数不同时为零时,其上,点P处的法向量为,指向函数增大的方向.,3. 梯度的基本运算公式,例4. 求,解:,例5. 求,三、物理意义,函数,数量场 (数量函数),场,向量场(向量函数),可微函数,梯度场,( 势 ),如: 温度场, 电位场等,如: 力场,速度场等,(向量场),注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.,内容小结,1. 方向导数, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,2. 梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在
4、点,处的梯度为,3. 关系,方向导数存在,偏导数存在, 可微,思考与练习,1. 设函数,(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向,的夹角 .,2. P73 题 16,曲线,1. (1),在点,解答提示:,M (1,1,1) 处切线的方向向量,2. P73 题 16,P51 2，6，7,作业,题 1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .,在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A,2. 函数,提示:,则,
