量子力学——薛定谔方程

《量子力学——薛定谔方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学——薛定谔方程（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、回顾：叠加原理,与某物理量（例如能量）的几率分布对应的几率振幅。,与空间位置几率分布对应的几率振幅。,常数相位,绝对常数相位没有意义 相对常数相位才是有意义的,依赖于,变化的相位是有意义的（能够在测量中反映出来）,动量几率幅,补充说明：波粒二像性的理解,注意的问题,我们学习的课程的量子部分作了一个假设：粒子所处的状态可以由一个波函数描述。对更复杂的情况，状态不确定（不能由一个波函数描述），需要借助于统计方法（统计部分讲）。,2.2 薛定谔方程,1.薛定谔方程量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程。这个基本定律在本质上是一个假说。,德布罗意物质波概念,推广,薛定谔方程的“建立”,寻找de

2、Broglie波满足的方程，并加以推广,这不是严格推导（薛定谔方程不 能由旧理论严格导出）,由de Broglie波,寻找de Broglie波满足的方程,所以,又因,有,再推广到含有势能U的情况,两边作用于波函数,记住,便于记忆的形式,t=0,t=T,量子力学 U（r） 经典力学： 力 F初始状态（依赖于实验制备）决定任意 T 时刻的状态，即“态的演化过程”是确定的。,x,多粒子（N个粒子）情况,非定域性： 整个体系的状态用3N个空间坐标和一个时间坐标描述。,2. 几率守恒定律与几率流密度,由薛定谔方程导出一个反映几率守恒的定律，从而引入几率流密度概念。,几率密度,根据薛定谔方程,几率流密度

3、的推导（单粒子）,几率密度的时间演化：,薛定谔方程,定义流密度,记,则,这是薛定谔方程造成的结果，代表一种守恒定律 。由于w是几率密度，所以J可以理解为几率流密度。,理解（推导积分形式）,对任何体积V，对上式积分,等式右方用Gauss定理，得,V,S,V内部几率变化,由边界流入或流出的量。,薛定谔方程能够满足全空间几率守恒,代表全空间几率守恒，实际上也就是粒子数守恒。薛定谔方程的这一性质是独特的。 相对论情况薛定谔方程不成立，以上结果也不成立（有粒子产生和消灭，粒子数一般不守恒！）,电流密度,电流密度,可以计算原子内部电子的电流 可以计算超导体等量子系统的电流。,几率流密度表达式的另一种形式,

4、c.c.代表前面一项的复共轭。,例题,对平面波情况求几率流密度,3.薛定谔方程的求解定态薛定谔方程,方程求解-分离变量法：设,代入薛定谔方程,先找特解（一系列基本函数），再叠加成通解。,两边同时除以,左边（t）=右边（r） 任意t，r均成立，而左边与r无关，所以右边与r也应该无关；右边与t无关，所以左边也应该与t无关。所以两边都等于一个与t，r都无关的常数E,时间部分,空间部分（定态薛定谔方程）,定态薛定谔方程,定态概念,完整的定态波函数（定态薛定谔方程的解乘以时间因子）,对比de Broglie波，我们发现常数E 的物理意义正是粒子的能量。 定态就是能量E确定的状态。,定态下可观测量（如几率

5、密度、几率流密度、动量几率密度等）都是稳定的（不随t变化）与玻尔原子模型中的定态概念类似，但是没有“轨道运动”假设,在可观测量中被约去,定态薛定谔方程就是能量本征方程,含时薛定谔方程的一般解,常数（由初始条件定出）,思考题,两个不同的定态叠加生成的态是否是定态？,提示：,4. 波函数应满足的条件,从波函数的几率解释以及波函数满足二阶微分方程这一要求，一般地说，波函数应该满足以下三个条件：(1)单值性；(2)有限性；(3)连续性。 连续性通常意味着 和 都连续，但在势能有无穷大跳跃的地方， 允许不连续。,2.3 一维运动问题的一般分析,1. 一维定态薛定谔方程的解的一般性质,二阶常微分方程，容易

6、求解 它的解有如下的规律,Wronskian定理,若 都是方程的解(能量相同)，则( c 是与 x 无关的常数)， 称为Wronskian定理。,Wronskian定理的证明,证明：定态方程的两个解满足,另外两个定理,共轭定理：若 是定态行薛定谔程的解，则 也是该方程的解(且能量E相同)。反射定理：对 (原点对称的势)，那么若 是该方程的解，则 也是该方程的解(且能量E相同)。,（由定态薛定谔方程可以直接证明，请自己完成）,2. 一维定态的分类 束缚态与非束缚态,束缚态：,相反的情况是非束缚态（或称为散射态）,E,x,条件：,能量,例子,束缚态：原子中的“束缚”电子人工量子微结构束缚态几率分布

7、被限制在有限的空间范围内。非束缚态：如自由电子；从原子中电离出去的电子,3. 一维束缚态的一般性质,先引入一个概念简并与非简并 如果对一个给定的能量，只有一个线性独立的波函数存在（即只有一个状态），则称该能级是非简并的，否则称它是简并的，其线性独立的波函数的个数称为它的简并度。,线性独立的定义：对常数c1，c2,一维束缚态不简并定理,定理：一维束缚态必是非简并态（ 可以由Wronskian定理证明）。,En,不简并定理的证明,证明（反证法）：假设简并，则方程有两个线性独立的解，但是由,Wronskian定理：,两个函数不是线性独立的（对应同一个状态），因此不简并。与题设矛盾，故定理得证。,*更

8、严格的证明应该考虑波函数有节点（为零的点）的情况，这时需要分段考虑每个节点之间的区域，再利用波函数连续性条件证明以上常数C对每一段是同一个常数（可参考曾谨言量子力学卷1，83页）,对定理的补充说明,（1）此定理仅对一维情况成立；二维、三维束缚态的能量仍然可能简并（如氢原子、二维、三维谐振子等）；（2）非束缚态的能量一般是简并的。,两个推论,推论1：一维束缚态波函数的相位必是常数。即因此波函数可以取为实函数,推论2(宇称定理)：如果则一维束缚态波函数必有确定的宇称（奇偶性）。,宇称的定义,作业,作业(补充题2.2)：证明本节中的推论1和推论2。,p.52, #2.2，注意：在球坐标中,提示,下次课内容,2.4 一维无限深势阱、有限深势阱 2.5 线性谐振子,