线性系统的时域分析法

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1、自 动 控 制 原 理,制作人：蔡建羡,第三章 线性系统的时域分析法,线性系统的时域分析法,引言,一阶系统时域分析,二阶系统时域分析,线性系统的稳定性分析,线性系统的稳态误差计算,自动控制系统好？差?,系统分析,典型的输入信号,时域性能指标,动态性能 指标,稳态性能 指标,稳定性,时域分析 复域分析 频域分析,单位脉冲 阶跃 斜坡 正余弦,3-1 引 言时域分析定义：指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。 时域分析作用：时域法是最基本的分析方法，是学习复域法、频域法的基础 时域分析特点：(1) 直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确；(2)

2、可以提供系统时间响应的全部信息；(3) 基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。,时域法典型控制过程1. 典型外作用 (t 0)（1）单位脉冲信号 (t) （2）单位阶跃信号 1(t)（3）单位斜坡（速度）信号 t（4）单位加速度信号 ()t2四者之间互为导数关系,用以测试系统的抗干扰能力,跟踪恒值信号的能力,跟踪随动信号的能力,时域法典型控制过程2. 典型时域响应（1）单位脉冲响应（2）单位阶跃响应（3）单位斜坡（速度）响应（4）单位加速度响应四者之间互为导数关系,单位正弦信号,时域法典型控制过程3. 动态过程与稳态过程（1）动态过程（过渡过程、瞬态过程）：系统在典型输入信号作用下，系统输出量从

3、初始状态到最终状态的响应过程；用动态性能指标描述。（2）稳态过程：系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷大时，系统输出量的表现方式；用稳态性能指标描述。,3-2 控制系统的性能指标(Performance Index),性能指标：是在分析一个控制系统的时候，评价 统性能好坏标准的定量指标。,性 能 指 标,暂（动）态性能指标,稳态性能指标,稳：( 基本要求 ) 系统受扰动影响后能回到原来的平衡位置,准: ( 稳态要求 ）稳态输出与理想输出间的误差(稳态误差)要小0,快: ( 动态要求 ) 阶跃响应的过渡过程要平稳，迅速,二阶系统的单位阶跃响应,动态性能指标 上升时间t r （Rising

4、Time ）: 定义为由零开始，首次达到稳态值所需的时间。,动态性能指标 峰值时间t p （Peak Time）： 响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。,动态性能指标 超调量 （Maximum Overshoot） ： 指响应的最大偏离量h ( tp )与终值之差的百分比，即,动态性能指标 调节时间 t s（Settling Time） ： 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。误差范围：用稳态值的百分数（取 5%或 2%）,动态性能指标 振荡次数N 在调整时间内，完成的全振荡的次数。 稳态性能指标 稳态误差ess ： 期望值与实际值之差。,暂态性能指标,上升时间 tr,

5、峰值时间tp,超调量,调节时间 ts,稳态性能指标,稳 态 误 差 ess,或,评价系统的响应速度；（快）,同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标，从整体上反映系统的快速性。（快）,评价系统的阻尼程度。（稳）,稳定性能指标和抗干扰能力。越小， 系统精度越高。（准）,ess,3.3 典型一阶系统时域分析,一、典型一阶系统的数学模型,极点,二. 一阶系统的阶跃响应及性能指标,输入信号,阶跃响应,性能指标,性能指标,2. 稳态误差ess 系统的实际输出h(t)在时间t趋于无穷大时，接近于输入值，即超调量 一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，故系统无振荡、无超调， =0。,1. 调整（过渡过程）时间：

6、5%2%,例1 一阶系统如图所示，K=1，计算调节时 ts 。如果要实现ts1秒，确定前置放大器增益K 。,解：,ts1秒,K=4,例2 系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小到原来 的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数Ko和KH 的取值。,3. 一阶系统的脉冲响应,R (s)=1,对于脉冲扰动信号，具有自动调节能力,可以有差跟踪斜坡信号， 减小T 可减小差值，但是不能消除跟踪误差。,4. 一阶系统的斜坡响应,例3 已知单位反馈系统的单位阶跃响应试求 F(s) , k(t) , G(s),解,作业3-2 (1)3-3 (1),3-4 二阶系统时域分析,一. 二阶系统的数学

7、模型,闭环传递函数为:,其中： 系统的阻尼比n 系统的无阻尼自然振荡角频率系统振荡周期,二阶系统的单位阶跃响应系统的特征方程为特征根为,，欠阻尼系统，闭环极点为共扼复根，位于左半S平面。,，临界阻尼，两个相等的负实根,，无阻尼，虚轴上一对纯虚根, 过阻尼，两个不相等的负实根, 负阻尼，两个正实部的特征根，系统发散,总结：二阶系统传递函数标准形式及分类,二阶系统的阶跃响应,1. 过阻尼运动 1,令：,1. 过阻尼运动 1,2. 临界阻尼运动 =1,2. 临界阻尼运动 =1,3. 欠阻尼运动 01,阻尼角,有阻尼振荡角频率,时间响应,输出,4. 无阻尼运动 =0,时间响应,二阶系统单位阶跃响应小结

8、,讨论,只要系统特征根有虚部，则响应一定有振荡。 2. 如果特征根的实部为正，则响应一定发散；反之，响应收敛。 3. 随着阻尼比的逐渐减小，系统的阶跃响应的速度逐渐加快，但振荡加剧。所以系统的平稳性主要有阻尼比决定。,据实部的正负判发散或收敛； 据有无虚部判振荡或单调。,上升时间 tr,三、二阶系统单位阶跃响应性能指标计算,峰值时间 tp,超调量,超调量只与阻尼比有关， 且与阻尼比成 比。,反,调节时间 ts,包络线,性能指标的讨论,由超调量确定阻尼比，再由其它条件确定无阻泥振荡角频率。,例1：已知 T=0.25, K =16。试求 (1) (2)若 要求,解: (1),(2),例2：已知单位

9、反馈系统的阶跃响应曲线如图所示，试确定系统的开环传递函数。,解：,例3：如图(a)为系统框图，图(b)为单位阶跃响应，确定k1 , k2和a的值。,四、二阶系统的其它响应,单位脉冲响应,当 0 1,系统具有良好的 复位特性,单位斜坡响应,系统以有差方式 跟踪等速率信号,五. 二阶系统的性能改善,目的：改善系统的性能指标,手段1：调整系统参数,举例：,结论,调整系统参数可以在一定程度上改善系统性能，但程度有限,手段2：加入控制环节,前馈控制,速度反馈,增加阻尼,测速反馈控制,比例+微分控制,提前控制,举例：,动态性能改变很多,误差信号的比例微分控制（PD控制）,开环传函,闭环传函,改善系统性能的

10、机理分析,误差信号的比例微分控制（PD控制）,附加项,增大阻尼比，减小超调量，改善了平稳性,闭环特征方程,误差信号的比例微分控制（PD控制）,零点,误差信号的比例微分控制（PD控制）,增加系统零点，使系统响应加速,输出量的反馈控制,闭环传函,等效阻尼比,附加项,加入速度反馈增大了原系统阻尼比，但是无附加零点影响。,增加阻尼,测速反馈控制,比例+微分控制,提前控制,附加开环零点对系统性能的影响,改变：闭环传函分母(特征方程、特征根)阶跃响应性能,附加闭环零点对系统性能的影响,改变：部分分式系数模态的加权值阶跃响应性能,0 x 1（欠阻尼，零阻尼）时系统 动态性能指标的计算,（2）单位阶跃响应h(

11、t) 表达示,（1） 0 x 1时系统极点的两种表示方法,（3）动态指标计算公式,（4）“最佳阻尼比”概念,定性分析高阶系统的时间响应 掌握主导极点的概念及作用,3-5 高阶系统时域分析,1.高阶系统时间响应的分量结构,系统闭环特征方程为,时间响应,系统的单位阶跃响应,稳态项,指数衰减项,指数衰减正弦项,结论(性能分析)： 1、高阶系统的时间响应，由一阶惯性子系统和二阶振荡子系统的时间响应函数项组成；,2、如果高阶系统所有闭环极点都具有负实部，随着t的增长，上式的第二项和第三项都趋于0，系统的稳态输出为a。,按照一阶和二阶暂态响应指数的衰减系数的正负值，将暂态响应的运动形式分为5个模态：,pj

12、0 一阶发散模态,二阶收敛模态,二阶等幅振荡模态,二阶发散模态,运动的模态,一阶模态,零极点分布图：,传递函数：,运动模态1,零极点分布图：,传递函数：,运动模态2,零极点分布图：,传递函数：,运动模态3,零极点分布图：,传递函数：,运动模态4,零极点分布图：,传递函数：,运动模态5,运动模态总结,结论3：响应曲线的类型由闭环极点决定如果有一个闭环极点位于s右半平面，则由它决定的模态是发散的，在其他模态(位于s左半平面的极点决定)随t的推移最终趋于其对应的稳定值的时候，它的作用就会显现出来，导致整个系统对外显示是发散的。,结论4：响应曲线的形状和闭环极点和零点有关。对于稳定的系统，闭环极点负实

13、部的绝对值越大(极点距虚轴愈远)，则其对应的响应分量(模态)衰减的越迅速，否则，衰减的越慢。(和极点有关)在留数的计算过程中，要用到C(s),而C(s)中包含有闭环的零点，因此不可避免地要影响到留数的值，而留数的数值实际上就是指数项的系数。(和零点有关),主导极点,高阶系统中，对时间响应起到主导作用的闭环极点称为主导极点，它必须满足：,(1) 在s平面上，距离虚轴比较近，且附近没有其它的零点与极点；,(2) 其实部的长度与其它的极点实部长度相差五倍以上；,系统的性能主要由该主导极点决定，可将系统近似为一阶或二阶系统,a.零极点相互靠近，对h(t)影响越小； b.零极点很靠近，对c(t)几乎没影

14、响； c.零极点重合偶极子，对c(t)无任何影响；,进一步理解,偶极子：将一对靠得很近的闭环零、极点称为偶极子。,因此，工程上通常把高阶系统采用主导极点和偶极子的概念适当地近似成低阶系统（如二阶或三阶）进行分析。,原因： 1、高阶系统的计算比较困难； 2、在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往往是不必要的，甚至是无意义的。,3-6 线性控制系统的稳定性,一、稳定的基本概念：,稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。,定义：设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间

15、它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。否则为不稳定的系统。,二. 系统稳定的充要条件,稳态解,暂态解,系统稳定的充分必要条件是：系统的所有特征根(闭环极点) 均具有负实部；或 系统的特征根均在S平面的左半平面。或 微分方程的暂态解趋于0。,系统稳定性的讨论,2) 系统稳定性是系统的固有特性，与输入信号无关,1) 如果特征方程中根在虚轴上，称为临界稳定状态。 从控制工程的角度认为临界稳定状态不稳定。,问题：,高阶系统如何判断稳定性？,三、Routh（劳斯）判据优点：不必求解闭环特征方程的根. 思路：根据特征方程的各项系数来确定特征根实部的正负。,1、Routh表 设n阶系统的特征方程为,劳斯表,计算数据,原始数据,注：劳斯表的前两行由特征方程的系数组成,2. 列写Routh表,五阶Routh表的列写方法举例,则Routh表为,劳斯判据内容（Routh),(1) 劳斯表中，若第一列元素全部大于零，系统是稳定的(充要条件)；否则系统是不稳定的。(2) 如果劳斯表中第一列元素的符号有变化，其改变的次数就是特征方程中正实部根的个数。,