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1、引例1 掷一枚硬币两次,观察其出现正反面的情况,设事件B =“至少有一次为正面”,事件A=“两次掷出同一面”. 求已知事件B已经发生的条件下事件A发生的概率.,分析,事件B已经发生的条件下事件A发生的概率:,第四节 条件概率,引例2 n个人摸彩，有1张中彩. 问：第1个人中彩的概率？第2个人中彩的概率？ 2) n个人摸彩，有1张中彩.问：已知第l个人没摸中，第2个人中彩的概率？,同理，若,为事件 A发生的条件下B 的条件概率.,一、定义,二、 性质 (条件概率是概率),例1 乌龟的寿命表,求活到20岁的乌龟再活20年的概率?,乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.,三、条件概率的三大公式,3.
2、1 乘法公式,(1) 若 P(B)0，则P(AB) = P(B)P(A|B)；若 P(A)0，则 P(AB) = P(A)P(B|A).(2) 若 P(A1A2 An1)0，则P(A1A2 An)= P(A1)P(A2|A1) P(An|A1A2 An1),例2 某班外出聚餐，拨打餐厅订餐电话，由于电话号码中的最后一位数字丢失，故只能随机拨打。求三次之内拨通电话的概率？,分析：记A=“三次拨通电话”，Ai=“第i次拨通电话”，则 A= A1UA2UA3.,例3 (摸彩模型) n 张彩票中有一张中奖，从 中不返回地摸取，记 Ai =“第 i 次摸到中奖 券”，i=1,n. 求 P(Ai)= ?,
3、分析: 注意到,提示:,例4 (波利亚模型),罐中有 b 个黑球、r 个红球，每次从中 任取一个，取出后将球放回，再加入c 个 同色球和 d 个异色球.(1) 当 c = 1, d = 0 时，为不返回抽样.(2) 当 c = 0, d = 0 时，为返回抽样.(3) 当 c 0, d = 0 时，为传染病模型.(4) 当 c = 0, d 0 时，为安全模型.,定义: 把样本空间分为n个事件A1,., An. 若A1 ,., An互不相容; (2),则称事件组A1,., An为样本空间的一个分割(分划).,若事件B1, B2 , , Bn是样本空间的 一组分割，且 P(Bi)0 (i=1,n
4、)，则,3.2 全概率公式,全概率公式用于求复杂事件的概率. 全概率公式最简单的形式：条件可减弱为:,注记,例5 一批产品来自三个工厂,要求这批产品的合格率.为此对这三个工厂的产品调查,发现甲厂产品合格率为95%,乙厂产品合格率为80%,丙厂产品合格率为65%.这批产品中有60%来自甲厂,30%来自乙厂,余下来自丙厂.,例6 敏感性问题调查 了解某地区的人群吸毒情况. 调查方案: 只需回答下列两个问题之一即可. Q1：你的电话号码最后一位是否是偶数？ Q2：你是否吸过毒？ 步骤：被调查者事先从一个装有红球和白球的罐中有放回的随机抽一只球，若抽出白球则回答问题1；若抽出红球则回答问题2，已知罐中
5、红球的比率为q. 最后,被调查者将问题的答案放回密封箱中.,某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽 车迟到的概率分别为0.1、0.2、0.3，他等 可能地选择这三种交通工具。若已知他最 后迟到了，求他分别是乘飞机、火车、汽 车的概率.,已知“结果” ，求“原因”,3.3 贝叶斯（Bayes）公式,若事件B1, B2 , , Bn是样本空间的一组分割，且P(A)0, P(Bi)0，则,3.3 贝叶斯（Bayes）公式,1) 条件可减弱为: 2) B1, B2, ., Bn可以看作是导致A发生的原因;3) P(Bj|A)是在事件A发生的条件下, 某个原因Bj 发生的概率, 称为 “后验概率”; 4)
6、Bayes公式又称为“后验概率公式”; 5) 称P(Bj) 为“先验概率”.,几点说明,例7 一批产品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%,2%,4%. 若从该批产品中随机抽取一件，发现是次品，求它是甲厂生产的概率?,分析: 设A1=“取到甲厂产品”, A2=“取到乙厂产品”, A3=“取到丙厂产品”, B=“取到次品” 则 P(B|A1)=P(B|A2)=2%, P(B|A3)=4% . 注意题中所给概率是条件概率还是无条件概率!,例8 某地区居民的肝癌发病率为0.04%,现用甲胎蛋白法检查肝癌.由于技术不完善,化验结果是存有错误的.已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性(即有病), 而没患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性(即无病).现某人的检验结果呈阳性,问他患肝癌的概率是多少?,分析: 记B=“被检查者患肝癌”, A=“被检查者检查结果呈阳性”.,乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因”的概率.,四、小结,
