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1、3.1 连续信号的傅里叶变换; 3.2 离散信号的傅里叶变换（DTFT）； 3.3 抽样定理； 3.4 离散傅里叶级数（DFS）； 3.5 离散傅里叶变换（DFT）； 3.6 用DFT计算线形卷积； 3.7 与DFT有关的几个问题； 3.8 二维傅里叶变换,第3章 离散傅里叶变换,1. 傅立叶级数,3.1 连续信号的傅立叶变换,傅立叶系数 是第 次谐波的系数, 所以 在频率坐标轴上是离散的， 间隔是 。,2. 傅立叶变换：,FT,FS：,若 是非周期信号，可以认为：,由,有,请深刻理解FS和FT的定义，及它们的区别与联系！,FT存在的必要条件：,说法1：,因为,所以，如果 是绝对可积的，那么它
2、一定 是平方可积的，但是反之不一定成立。例如，,是平方可积的，但不是绝对可积的。所以，取更稳妥（即更严格）。,周期信号： 可以实现傅里叶级数的分解，属于功率信号； 非周期信号：可以实现傅里叶变换，属于能量信号；,在经典数学的意义上是不可实现的， 但在引入了奇异函数后可以实现。,周期信号,FS,例：令 求其傅立叶变换。,因为： 所以，严格意义上的傅立 叶变换不存在，可将其展开为傅立叶级数：,现利用 函数 将 作傅立叶变换：,线 谱,Discrete Time Fourier Transform, DTFT,DTFT,3.2 离散时间信号的傅里叶变换,DTFT和Z变换的关系！,（一）定义,1. 是
3、离散的，所以变换需要求和； 2. 是 的连续函数； 3. 是 的周期函数，周期为 ；,4. 存在的条件是 空间,（二）特点,可以看作是将 在频域展开为傅立叶级数，傅立叶系数即是 ；,5. DTFT,7. 由 可以得到 的幅度谱、相位谱及能量谱，从而实现离散信号的频频分析；,6. 是 在单位圆上取值时的 变换：,8. 反变换,四种傅立叶变换:,时域,频域,1. 连续非周期 连续非周期() FT 2. 连续周期 离散非周期 () FS 3. 离散非周期 连续周期（ ） DTFT 4. 离散周期 离散周期 DFS,？,切实理解四种FT之间的对应关系,四种傅立叶变换,1. 线性,2. 移位,3. 奇偶
4、、虚实性质,（三）性质,如果 是实信号，即,4. 如果,则：,时域卷积定理频域卷积定理！,6. 时域相关定理,互相关：,自相关：,自相关函数的 DTFT 始终是 的实函数！,7. Parsevals 定理,注意：Parsevals 定理有着不同的表示形式；：上述关系只对能量信号成立；,8. WienerKhinchin 定理,对功率信号，其自相关函数定义为：,定义：,说明： 1. 在 内的积分等于信号的功率，所以称 为功率谱，同理， 为能量谱；,2. 始终是 的实函数；,3. 相关函数和功率谱是随机信号分析与处理的主要工具，它们都需要靠“估计”得到，这就形成了丰富的“估值理论”。,4.,思考：
5、由功率谱是否可以得到原信号,？,例1：,（四）应用,越大，主瓣越窄,函数,过零点,例2. 信号截短：,注意：所有有限长的信号都应看作一 无限长的信号和一矩形窗相乘 的结果。关键是对频域的影响。,两个线谱和 函数的卷积：,窗函数频谱：峰值左、右第一个过零点之间的距离称为主瓣，主瓣外第一个峰值称为边瓣。我们希望主瓣的宽度越小越好，边瓣的幅度越小越好。若想分辨出 两个谱峰，数据的长度：,是矩形窗主瓣的宽度,例3:,3.3 抽样定理,现研究信号抽样的数学模型：,周期延拓，无穷迭加,迭加后可能产生的影响,或,要求：,若保证,相等,则,要 保 留,全部信息,如果抽样频率不满足要求，将出现频谱的混迭（Ali
6、asing), 将无法恢复原信号。,如何由 重建出,工程上： 使用 D/A 转换器；,在满足抽样定理的情况下， 的一个周期即等于 ，因此，可截取之。,?,理论上： 导出如下：,其余为零,如何对 作频谱分析,显然：,3.4 离散傅立叶级数（DFS）,周期序列,?,离散、非周期,FS:,周期：,离散、周期,?,即： 是周期的，周期是 ，间隔是,是周期的，周期是 ，间隔是,所以，各取一个周期，有：,此即DFS!,DFS 中， 仍取无穷长，实际上没必要！,改为：,从实际上，当我们在计算机上实现信号的频谱分析时，要求：时域、频域都是离散的；时域、频域都是有限长；,FT、FS、 DTFT、 DFS 都不符
7、合要求 但利用DFS的时域、频域的周期性，各 取一个周期，就形成新的变换对：,从原理上， 和 的各自一个周期即可表示完整的序列；,为什么要由DFS过渡到DFT？,这一对式子，左、右两边都是离散的，有限长，因此可方便地用来实现频谱分析。 但使用时，一定要想到，它们均来自DFS, 即和 都是周期的！,3.5 离散傅立叶变换（DFT）,DFT 的图形解释,Z变换、 DTFT、DFT 的取值范围,关系：,DFT的性质：,1. 线性,2. 正交性,3. 循环移位,为实序列：,4. 奇、偶、虚、实对称性质,5. Parsevals 定理,6.循环卷积,线性卷积,都是 点序列,当和DFT联系起来时，注意到
8、都是以 为周期的周期序列。移位时移进也有移出。,循环卷积定义为：,点序列,DFT对应周期信号，所以， ， 及 都是周期的！,为什么有循环卷积,?,3.6 用 DFT 计算线性卷积,都是非周期,没有全部进入，如何实现卷积 全部进入再卷积，又如何保证实时实现,长序列卷积的计算：,数字信号处理的优势是“实时实现”，即信号进来后，经处理后马上输出出去。然而：,？,关键是将 分段和 卷积,将 分成 段，每段长,?,Overlap add method 叠接相加法 Overlap save method 叠接舍去法,自己看书及使用MATLAB文件来掌握,另外：较短（FIR：长度在2050之间，IIR: 尽
9、管无限长，但有限长度要小于50），可能很长，也不适宜直接卷积。,一、分辨率分辨率问题是信号处理中的基本问题，包括频率分辨率和时间分辨率。频率分辨率：通过频域窗观察到的频率宽度；时间分辨率：通过时域窗观察到的时间宽度；,3.7 与DFT有关的几个问题,频率分辨率又可定义为：将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力。频率分辨率：一是取决于信号的长度，二是取决于频谱分析的算法。时间和频率是描述信号的两个主要物理量，它们通过傅里叶变换相联系。,对 FT: 设 长度为 ，则,的分辨率,？,对 DTFT: 设抽样间隔为 ， 则,用计算机分析和处理信号时，信号总是有限长，其长度即是矩形窗的宽度，要想分辨出处的
10、两个频谱，数据长度必须满足：,对DFT:,此为 相邻两点的频率间隔，也是最大 分辨“细胞”。若要分辨出 处的两个谱 峰， 必须大于 。,例：,试确定将三个谱峰分开所需要的数据的长度。,在本例中，最小的,由,有,即要想分辨出这三个谱峰，数据的长度至少 要大于1000，从DFT的角度看 若令,则,下图， 分别等于256和1024，可见，时无法分辨三个谱峰。,由信号的最高频率 确定抽样频率 ；,使用DFT的步骤：,根据分辨率的需要，确定 数据长度 ；,根据 DFT 的结果，再适当调整参数。,要根据分辨率的要求确定模拟信号的长度 ,若 可以无限长，则,DFT和线性卷积是信号处理中两个最重要的基本运算，
11、有快速算法，且二者是“相通”的。,不变，若增加 ,“计算分辨率”,不能提高分辨率，没有增加数据有效长度！,例：,数据后补零的影响：为什么要补零？,数据过短，补零后可起到一定的插值作用；使数据长度为 2 的整次幂，有利于FFT。,（几根谱线？）,补 个零（？）,补7 个零,补29 个零,三个正弦,二、DFT 对 FT 的近似,问题的提出：,原：,频谱：,抽样： 频谱：,截短： 频谱：,是否是 的 准确抽样？,只要满足抽样定理；做 DFT 时数据的长度保证所需的频率分辨率；则 是 的极好近似。,为什么 不是 的准确抽样 关键取决于信号时宽带宽的不定原理：,信号的时宽,信号的带宽,？,所以，若信号是
12、有限时宽的，那么在频域必然是无限带宽的，反之亦然。这一现象也可从加窗的角度来理解，即矩形窗的频谱是无限宽的。这一现象，来自傅立叶变换的性质：,做 DFT 时，总不可避免的取有限长，“有限 长”带来了 对 的近似。,3.8 二维傅立叶变换,多用于图像处理：,先对行作DFT，作 次，对其中间结果， 再对列作变换，作 次。或反之。,例：2D Hamming 窗及其频谱,时域窗,频谱,与本章有关的 MATLAB 文件,fftfilt.m 用叠接相加法实现卷积。格式是y=fftfilt(h,x) 或 y=fftfilt(h, x，N) 记 的长度为 ， 的长度为 。 若采用第一个调用方式，程序自动地确定对分段的长度 及做FFT的长度 ， 显然，是最接近 的2的整次幂。分的段数 为 。采用第二个调用方式，使用者可自己 指定做FFT的长度。建议使用第一个调用方式。,
