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1、哈密尔顿系统中的电磁理论及辛算法,物理电子学院 喻志远,Hamilton System,Most non-dissipative physical or chemical phenomenons can be model by Halmilton differential equations whose time evolution is symplectic transform and flow conserves the symplectic structure.K. Feng and M. Z. Qin, Symplectic Geomitric Algorithm for Hamilt
2、onian Systems, Zhejiang Science&Technology Press,2003,前言,1。什么是哈密尔顿(Hamilton)系统？ 现代经典力学可以用三个系统来描述，即经典的牛顿力学，Lagrange系统和Hamilton系统。 从某种意义上讲哈密顿体系是更本质和更重要的。因为无论是有限维的还是无限维的，经典的还是量子的，一切保守体系都可以在哈密顿体系下统一表示。哈密顿体系在固体力学、刚体动力学、不可压缩流体力学、控制理论、量子力学、统计物理学、固体物理力学、生物学、化学等学科都有着非常重要的理论意义。,Hamilton力学与Lagrange力学,牛顿力学，Lagr
3、ange力学和Hamilton力学是经典力学的三种不同的表示形式。Hamilton力学又起源于Lagrange力学。 Hamilton力学是1833年以色列数学家Willian Rowan Hamilton给出的经典力学的另一种表示公式。可以表示为2n维空间的一阶微分约束。 而Lagrange力学是由Joseph Louis Lagrange 1788年引入的。（它们都早于电磁理论Maxwell 方程的提出1860年）它可以表示为n维空间的二阶微分约束。 它们在二个方面对经典力学提供了深入了解（deeper insights）：一是经典力学的广义结构以及与量子力学的关联,20世纪量子力学的创始
4、人之一Schrodinger曾说“哈密尔顿原理已成为现代物理的基石 如果你要用现代理论解决任何物理问题，首选得把它表示为哈密尔顿形式”. 哈密尔顿系统是描述各种守恒的物理和力学过程的三种基本形式之一. 是一类具有特殊几何结构的常微分方程或偏微分方程。系统的几何结构辛结构是该系统的数学基础,Hamilton体系的重要性,实践证明，不但一切真实的，耗散可以忽略的物理过程都可以表示成Hamilton体系，而且生物，化学过程也能用Hamilton体系来描述。 其中Hamilton体系在生物学，药理学，半导体超导，等离子体中的研究，已被列为美国研究计划的重点，称为Grand Challenges.理想流
5、体力学，弹性力学，电动力学，量子力学与量子场论，广义相对论，孤子与非线性波理论都可以由Hamilton体系来描述。由此可见Hamilton体系是普适的，即它能将不同的物理规律纳入统一的数学形式的特点。 因此对于Hamilton体系进行计算方法的的系统的研究，其成果有重要意义。,2.为什么哈密尔顿系统可以用来描述电磁现象？ Hamilton系统理论是当代物理数学领域内的一个重要理论。一切守恒的物理过程，无论其自由度是有限的还是无限的，无论是经典物理还是量子物理，总能表示为适当的Hamilton系统。其量可以化为适当的Hamilton函数，而满足统一的Hamilton方程。更广泛地可以认为，一切耗
6、散效应可忽略的真实物理过程，都能够以某一方式表达成哈氏方程的形式。 因此Maxwell方程可以写成无限维的Hamilton方程。这样我们就可以从另一个角度来分析研究计算电磁现象。对其数值方法的研究无疑具有重要意义用不同的数学等价形式表达了同一物理规律，但因原理上的 差异，对于“解问题”将启发不同的技术途径，虽然在数学上是等效的，但在实践上是不等效的。因此，从不同的数学等价形式中作出合理明智的选择对于求解的难易成败是至关重要的。,3。 Hamilton系统的基本概念,英国天文学家Hamilton，为了研究牛顿力学，引入广义坐标和广义动量来表示系统的能量，它们统称为Hamilton函数。对自由度为
7、2n的系统，n个广义坐标和n个广义动量张成2n维相空间。于是牛顿力学就成为相空间中的几何学。 Hamilton系统经典表达式是,其中q是广义坐标，p是广义动量，H是Hamilton函数H(q,p),即Hamilton能量函数,Hamilton函数,Hamilton函数表示系统的总能量 HTV 这里T为动能而V为势能 （注意到Lagrange函数为LTV）（见Jin Au Kong 电磁波理论）,Hamilton 系统的基本特性,Hamilton 系统的两个基本特性是它的保结性与能量守恒特性。对动力学系统,这就是所谓的Hamilton保结构性 如果（1）是辛流形(M,)上的一个Hamilton系
8、统，则它保持辛结构不变。 Hamilton系统的另一特性是能量守恒性。即它保持Hamilton 函数（能量） 沿轨道不变：,3 Hamilton系统与辛几何,在Hamilton系统中，对自由度为2n的系统，n个广义坐标和n个广义动量张成2n维相空间。于是牛顿力学就成为相空间中的几何学。用现代的观点来看这是一种辛几何学。 Hamilton系统的理论基础是辛几何，这样系统随着时间的演化永远是辛变换演进。 Hamilton体系的计算方法离不开辛差分格式，例如经典的RK方法不适应解Hamilton体系问题，它不能保持长期数值稳定性，如用4阶RK方法，当步长为0.1，计算20万步后所得的结果面目全非。这
9、是因为，它不是一个辛算法，而是一个耗散算法。 注：(Runge-Kutta方法是解常微分方程经典数值方法),3.什么是辛几何？ 辛几何（Symplectic Geometry）即相空间的几何。它的基点是反对称的面积度量，与基点为对称的距离度量的欧氏(欧几里得 Euclidean)和黎曼(Riemann)几何并立相对。 First used mathematically by Hermann Weyl, the term symplectic arises from a Greek word that means “twining or plaiting together.” This is a
10、pt, as symplectic systems always involve a pair of n-dimensional variables, the configuration q, and momentum p, which are intertwined by the symplectic two form= dp dq . ( 符号表示外积) 著名数学家华罗庚选用天干地支中的辛作为symplectic的中文译名。,欧氏几何与辛几何的对比,欧氏几何 辛几何 研究长度的几何学 研究面积的几何学 Rn 元 x=(x1+x2+xn) Rn 元 x=(x1xn+x2n),内积,欧氏几何与
11、辛几何的对比,欧氏几何 辛几何 (1) (x,y)双线性 (1) x,y 双线性 (2) 对称性 (x,y) (y,x) (2) 反对称性 x,y = - y,x (3) 非退化 (3) 非退化,(4) (x,y) 表示长度 (4)x,y=x1y2-x2y1表示面积 (5) 正交基 (ei,ej)=ij (5)辛基 (e1en,f1fn) e1=(1,0,.0) e1=(1,0,.,0) e2=(0,1,00) en=(0,0 1) en=(0,.1,00)f1=(0,.,1,00)fn=(0,.,0,1),辛几何的基本概念,辛几何是微分拓扑/几何的一个分枝。它研究的是辛流形（manifold
12、） 辛空间：设V是定义在实域R上的向量空间，在VXV上定义一个双线性，我们称它为辛的，如果满足下列性质： (1)非退化,(3)反对称：,我们称（V，）y 为辛空间， 为辛结构 辛流形(manifold),流形M上的一个非退化的闭微分2形式称为M上的一个辛结构。则(M, )称为辛流形流形（Manifold），是局部具有欧氏空间性质的空间。 ,定义1 一个R2nR2n中线性变换S称它为辛的，如果它保辛内积满足下式：,(St. 满足),(2)双线性,辛几何基本概念,定义2：辛空间上的线性变换S是辛的充分必要条件为 SJSJ其中S是S的转置，J为辛空间标准辛矩阵 定义3 一个2n阶矩阵是辛的，如果SJ
13、SJ所有辛阵组成一个群称为辛群用Sp(2n)来表示 定理：如果定义4 一个2n阶矩阵B称为无穷小辛阵，如果 JB+BJ0所有无穷小辛阵对可易运算A,B=AB-BA组成一个李代数(Lie algebra)由Sp(2n)来表示，它是李群(Lie group)Sp(2n)的李代数,辛几何是数学和物理学的前沿课题,作为数学进展出版的文献（Souriau,J.m, Structure of Dynamical Systems: A symplectic view of physics, Burkhauser, 1997）中，这样描述辛几何：“本书的目的是将经典力学，统计物理，量子力学用统一的数学工具辛几
14、何来处理” 这表明了辛几何方法的威力。辛几何作为数学的一个分支，也是一个前沿的发展方向,辛几何格式,任何一个格式不论是显式的还是隐式的，它都可以看成是前一个时间步到后一个时间步的映射。如果这个映射是辛的，则说差分格式是辛几何格式，简称辛格式。,辛格式往往是隐式的。只有对可分的Hamilton体系，利用显式和隐式交替中得到 实质上为显式的辛差格式。 假定系统是可分的，即Hamilton系统方程可以写成如下形式：,如Euler中点差分格式是辛格式：,辛差分格式2,则Euler差分公式：,表示为显式差分格式,上面的式子中 h 是空间步长,辛差分格式3,对zm到zm+1的变换，可以写成如下的形式,如用
15、多项式的有理逼近，则：,定理：Hamilton系统的差分格式：,是辛的，稳定的具有2n阶精度,另外，我们也可以推出辛Runge-Kutta法，这时不再论述。,参考：中科院研究生教学丛书，余德浩，微分方程数值解法，,线性Hamilton 系统的辛差分格式,Hamilton 系统： 是线性的如果Hamilton函数是Z的二次形 则有,这里B是无穷小辛阵，即 即相流是无穷小辛阵指数 变换，不难验证它是辛阵 对方程（1）最简单的辛格式 为：,4.哈密尔顿系统下的电磁方程1)利用Maxwell方程的旋转产生函数G所满足的方程,则直接可以写出Hamilton 系统下的电磁方程,Reference: The Symplectiness of Maxwell Equation, ICMMT 2008,在自由空间由上式可以得到：,其中：,哈密尔顿系统下的电磁方程,令磁场,则Maxwell方程：,可化为,其中,是Hamilton能量函数,电磁场方程的辛差分格式,经过一系列的推导(参考：Lu Xiaowu: Symplectic Discretizations for Maxwell Equations),
