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1、Monday, September 17, 2018,1,第二节 根轨迹绘制的基本准则,Monday, September 17, 2018,2,2、根轨迹的对称性：一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭复根。即根轨迹位于复平面的实轴上或对称于实轴。,用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通过研究根轨迹和开环零、极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨迹的大致形状和变化趋势。,根轨迹的连续性和对称性,1、根轨迹的连续性：闭环系统特征方程的某些系数是增益 的函数。当 从0到无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连
2、续变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。,Monday, September 17, 2018,3,4、根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。但一般开环零点数目m总是小于开环极点数目n，所以有m条根轨迹终止于m个开环零点（有限零点），有（n-m）条根轨迹终止于无限远处的零点 （无限零点）。由于根轨迹是当Kg从0变到时闭环极点的轨迹，所以根轨迹的起点是对应于系统参数Kg0时特征根在S平面上的位置；而根轨迹的终点则是对应于Kg时特征根在S平面上的分布位置。,根轨迹的支数和起始点,3、根轨迹的分支数： n阶特征方程有n个根。当 从0到无穷大变化时，n个根在复平面内连续变化组成n支根轨迹
3、。即根轨迹的分支数等于闭环特征根的数目。,Monday, September 17, 2018,4,证明： 由幅值条件可知：,Monday, September 17, 2018,5,根轨迹的起点和终点,上式表明,当特征根S时,必对应Kg,在控制系统中，开环传递函数分子多项式的阶次m总是小于分母多项式的阶次n，因此有(n-m)条根轨迹的终点在无穷远处。由根轨迹方程知：当 时,Monday, September 17, 2018,6,如果把有限数值的零点称为有限零点，而把无穷远处的零点叫做无限零点，则根轨迹必终止于开环零点。此时开环传递函数的零点数和极点数是相等。,例 已知单位反馈控制系统的开环
4、传递函数为,试确定根轨迹的分支数及起点、终点。,解：将开环传递函数改写成,Monday, September 17, 2018,7,开环传递函数分母多项式最高阶次n=2，所以根轨迹分支数为2。,开环极点有两个：,开环零点有一个：,根轨迹起始于开环极点，即起始于0和 。其中一条根轨迹终 止于开环零点，即 ，另一条终止于无穷远处。,Monday, September 17, 2018,8,5、实轴上的根轨迹：,实轴上具有根轨迹的区间是：其右侧开环实极点数和实零点数的总和为奇数。,证明：例如在实轴上有两个开环极点p1、p2，复平面上有一对共轭极点p3、 p4和一对共轭零点z1、 z2 。,先看试验点
5、s1点：,实轴上的根轨迹,成对出现的共轭零点z1、 z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0；,成对出现的共轭极点p3、 p4对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0；,说明：开环传递函数的共轭复数极点和零点，对实轴上根轨迹的位置没有影响。实轴上的根轨迹仅取决于位于实轴上的开环极点和零点的分布。,Monday, September 17, 2018,9,所以s1点满足根轨迹相角条件，于是p2 , p1为实轴上的根轨迹。,试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0；,试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180；,再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的
6、点。,同样s3点也不是根轨迹上的点。,说明：左侧实数极点的存在不影响相角条件。,Monday, September 17, 2018,10,例4-3设系统的开环传递函数为： 试求实轴上的根轨迹。,解：零极点分布如下：,红线所示为实轴上根轨迹，为：-10，-5和-2，-1 。注意在原点有两个极点，双重极点用“ ”表示。,实轴上的根轨迹例题,Monday, September 17, 2018,11,6、根轨迹的会合点和分离点：,若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。,实轴上的会合点和分离点,如图所示某系统的根轨迹，由开环极点 出发的两支根轨迹，随着 的增大在实轴上A点相
7、遇再分离进入复平面。随着 的继续增大，又在实轴上B点相遇并分别沿实轴的左右两方运动。当 时，一支根轨迹终止于 。另一支趋向 。A、B点称为根轨迹在实轴上的分离点和会合点。,Monday, September 17, 2018,12,分离点对应于特征方程中的重根,由于根轨迹具有共轭对称性，分离点与会合点必须是实数或共轭复数对。在一般情况下，分离点与会合点处于实轴上。一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则此段根轨迹上或无分离点，
8、或分离点成对出现。,Monday, September 17, 2018,13,分离点和会合点的求法：通常采用重根法,重根法：根轨迹在实轴上的分离点或会合点表示这些点是闭环特征方程的重根点。只要找到这些重根，就可以确定分离点或会合点的位置。,设系统开环传递函数为：,即,实轴上的会合点和分离点的求法,因闭环特征方程为：,若代数方程 具有重根 ，则必然同时满足,Monday, September 17, 2018,14,由此得：,由以上联立方程式消去Kg，得到,实轴上的会合点和分离点的求法,为了便于记忆，可写为：,由于,即,一般D(s)的阶次高于N(s)的阶次，所以用上式较为简便。,Monday,
9、 September 17, 2018,15,在分离点处根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角，称为分离角。设有 条根轨迹分支进入分离点又离开，则分离角为：,Monday, September 17, 2018,16,实轴上根轨迹区间是：,注意：分离点和会合点也可能出现在复平面上，由于根轨迹对称于实轴，所以，复平面上的分离点和会合点必对称于实轴。,显然，分离点为-0.4725，而-3.5275不是分离点。（为什么？）,Monday, September 17, 2018,17,7.根轨迹的渐近线：,渐近线包括两个内容：,设系统有n个开环极点，m个开环零点，当k时，有(n-m)条根轨迹分支沿着它们的
10、渐近线趋于无限零点，而且渐近线的条数为(n-m)条，渐近线就是决定这(n-m)条根轨迹趋向无穷远处的方位。,1、渐近线的倾角( )；,2、渐近线与实轴的交点( )。,Monday, September 17, 2018,18,倾角：设根轨迹在无限远处有一点 ，则s平面上所有的开环有限零点和极点到 的相角都相等，即为渐近线的倾角 。代入根轨迹的相角条件得：,规定：相角逆时针为正，顺时针为负。,根轨迹渐近线的倾角,Monday, September 17, 2018,19,根轨迹渐进线与实轴的交点,Monday, September 17, 2018,20,例4-2系统开环传递函数为： ，试确定根
11、轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴的交点和倾角。,渐近线与实轴的交点：,渐近线的倾角：,零极点分布和渐近线（红线）如图所示。,Monday, September 17, 2018,21,例4-3绘制开环传递函数 的根轨迹图。,则n-m413，有三条渐近线。,它们在实轴上的交点为：,渐近线与实轴正方向的夹角为：,Monday, September 17, 2018,22,根轨迹在实轴上的分离点为：,求得：,Monday, September 17, 2018,23,根据以前介绍过的规则可知，有两个分支的根轨迹分别以两个极点P=0，2为起点沿实轴相向而行，在中间0.957处会合
12、，再与实轴分离向上及向下趋于无穷远。根据图中作出的渐近线，即使没有经过仔细测算，也可以大体确定根轨迹的形状。,Monday, September 17, 2018,24,Monday, September 17, 2018,25,8、根轨迹的出射角和入射角：,根轨迹的出射角是指起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。,根轨迹的出射角和入射角,根轨迹的入射角是指终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平正方向的夹角。,Monday, September 17, 2018,26,如图：,图中有四个开环极点，一个开环零点。 为共轭极点，现计算 的出射角。设为 。,在起点 附近的根轨迹
13、上取一点s1,则s1点应满足相角条件：,当 时， 即为离开根轨迹上 的出射角， ， 则：,举例说明出射角的求取：,Monday, September 17, 2018,27,式中： 为除了 以外的开环极点到 的矢量相角； 为开环零点到 的矢量相角。,同样，进入复零点 的根轨迹入射角 为：,式中： 为除了 以外的开环零点到 的矢量相角； 为各开环极点到 的矢量相角。,的出射角应与 的出射角关于实轴对称。,根轨迹的出射角和入射角,Monday, September 17, 2018,28,例4-5如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的出射角。,解：,根据对称性，可知 点的出射角为：,Monday,
14、September 17, 2018,29,9、根轨迹和虚轴的交点：,交点和 的求法：,在闭环特征方程中令 ，然后使特征方程的实、虚部为 零即可求出 和 。,由劳斯稳定判据求解。,根轨迹和虚轴的交点,根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环特征方程至少有一对纯虚根 。这时的增益 称为临界根轨迹增益。,Monday, September 17, 2018,30,方法一：闭环系统的特征方程为：,将 代入得：,例4-6开环传递函数为： ，试求根轨迹与虚轴的交点和 。,当 时， ，即根轨迹与虚轴的交点为 。,Monday, September 17, 2018,31,方法二：用劳斯稳定判据确定 的值。,劳斯阵列为：,劳斯阵列中某一行全为零时，特征方程可出现共轭虚根。,共轭虚根为辅助方程 的根。,令 ，得临界增益为：,Monday, September 17, 2018,32,10、闭环系统极点之和与之积：,开环传递函数为：,闭环系统极点之和与之积,系统所有开环极点之和为,系统所有开环极点之积为,Monday, September 17, 2018,
