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1、自主招生物理讲座 第二讲：天体与引力,叶邦角,1.开普勒三大定律,1.轨道定律：所有行星都沿着椭圆轨道运行，太阳则位于这些椭圆的一个焦点上。,2. 面积定律：任何行星到太阳的连线在相同的时间内扫过相同的面积。,3.周期定律: 任何行星绕太阳运动的周期的平方与该行星的椭圆轨道的半长轴的立方成正比，即：T a3/2,一、 天体运行的基本规律,开普勒定律的修正,开普勒定律的使用条件：Mm，两体运动。 对不满足Mm的两体运动：第一定律：两者绕质心做椭圆轨道运动；第二定律：不变（角动量守恒仍成立）第三定律：需修正！,【例】 对于太阳和某个行星构成的两体引力系统，若考虑到行星质量不可忽略，开普勒三定律将作
2、哪些修正？,引入约化质量和行星相对太阳的加速度,将引力公式代入,除了将太阳质量 M 换成 M+m 以外，所有结果保持不变。,即使是行星中质量最大的木星,【例】质量为m的质点分别静止于正n边形的每一个顶点上， （1）如图为n=6的情况。如果只考虑各个质点之间的万有引力作用，整个系统将如何运动？ （2）n=2,3,10时要经过多长时间才会相撞？,【解】根据对称性和初始条件，所有质点均以相同的非均匀加速度向中心运动。整个过程系统的形状保持不变。,其中一个质点所受的力为：,合力指向中心， 可以看成是圆心存在一个质点， 其质量为：,不需要，因为本题的虚拟质量是不动的，质心！,要使用修正的开普勒第三定律吗
3、？,半径为R的圆形轨道周期为Tc，则：,从初始位置R坍缩成到中心所需时间，可以看成是半长轴为R/2的椭圆（半短轴为零）轨道周期Te的一半.,2. 从开普勒定律导出万有引力公式,由开普勒轨道定律，为了简便，可把行星轨道看作圆形。这样，根据面积定律，行星应作匀速圆周运动，只有向心加速度 a = v2/r , 其中 v 是行星的速率；r 是圆轨道的半径。根据开普勒第三定律： T r3/2，而 v =2r/T，故,重力加速度g的变化,重力加速度随高度的变化: 若物体静止在距离地面高为h的高空,重力加速度与纬度的关系:,重力为地球引力和惯性离心力的合力。重力随纬度改变而改变。,太空中宇航员失重,重力场中
4、的自由落体-飞机在空中自由下落,地球内部的重力加速度,均匀带电球体内外的电场分布,若地球密度均匀分布,实际上地球内部的密度不均匀，地核的密度很大。地核的体积约为整个地球体积的16，地核的质量约为地球质量的34，,万有引力定律的使用范围,经典的万有引力定律适用于弱场低速。,引入引力半径：,若,产生引力场的球体半径,太阳,白矮星,中子星,万有引力定律成立。,经典力学使用范围,爱因斯坦在广义相对论中对万有引力进行了全新的解释。爱因斯坦认为：物质对四元时空的扭曲，产生了牛顿以某些吸引力为原因解释的所谓天体按照测量出的弯曲轨道运行的宇宙。因此，万有引力不是一种力的作用！时空是四维弯曲的非欧黎曼空间。,3
5、.广义相对论对万有引力定律的修正,水星近日点反常进动 引力红移 光线偏折 雷达回波的时间延迟,万有引力的修正,广义相对论后牛顿近似的重力的后牛顿表示式,gN为牛顿重力加速度，RS为史瓦西半径，r为检验质点与天体中心距离， 负号表示重力后牛顿修正与牛顿重力方向相反.,地球上后牛顿修正为：,广义相对论后牛顿近似给出了行星绕转一周近日点 （或卫星近星点） 的进动角度为：,质量是引力源， 牛顿引力与质量成正比； 后牛顿引力改正虽小， 然而与质量平方成正比， 于是广义相对论后牛顿引力效应、 引力现象就更复杂和更具有多样性! 小天体撞击大质量木星比撞击地球的可能性大，研究太阳系天体引力性质、 运动和演化时
6、应考虑这一点!,例以下各量均用万有引力常数G距离L和质量表示. (1)相距为L的某一等质量(M1=M2=M)双星的转动周期; (2)相距为L的某一不等质量(M1 M2)双星的转动周期; (3)边长为L的某一等质量等边三角形三星的转动周期; (4)边长为L的某一不等质量(M1 M2 M3)等边三角形三星的转动周期;,解(1) 用质心平动参考系, 对其中一个星写出牛顿第二定律的法线方向运动方程:,2,3三星系统的质心与每个星的距离相等:,每个星受到另外两个的作用力:,4取如图所示的坐标,三个星的坐标为:,质心的位置为:,比较f1与rc可知, f1的作用线通过质心,同样可以证明M2的合离f2, M3
7、的合力f3均通过质心C, 三个星保持等距离L绕质心做恒定的角速度运动.,4. 太阳系与行星的轨道,行星的轨道,首先可得到角向速度和径向速度,三种可能的轨道：,椭圆偏心率,时，为圆轨道。,行星受太阳引力束缚，E m).,【自主招生题】卫星携带一探测器在半径为3R（R为地球半径）的圆轨道上飞行。在a点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出（社辅助动力装置喷出的气体质量可以忽略）。若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新轨的椭圆轨道运行，其近点b距地心的距离为nR(n略小于3), 求卫星与探测器的质量比。,例一质量为m的卫星围绕着地球以速度v在一半径R的圆周轨道上运动,卫星突然吸附
8、了一小质量dm, 这块小质量在发生碰撞前是静止不动的,求此卫星总能量的改变,并求这个卫星新轨道的半长轴.,解在这个半径R的轨道上运行时:,吸附了一小质量dm后速度变为:,吸附前的总能量为:,吸附后的总能量为:,吸附过程能量改变为:,新轨道是一椭圆,设半长轴为a, 则:,3、火箭发射,设：t 时刻：火箭的质量为m，速度为v； t +dt 时刻：火箭的质量为m+dm速度为v + dv喷出气体的质量为-dm 相对于火箭的速度为ur,略去二阶无穷小量dmdv,壳体本身的质量为m1 ，燃料耗尽时火箭的速度为v,为质量比,多级火箭：,设各级火箭的质量比分别为N1，N2，N3 ，,一级火箭速率：,二级火箭速
9、率：,三级火箭速率：,三级火箭所能达到的速率为：,这个速率已超过了第一宇宙速度的大小。,设，N1 = N2 = N3 = 3,得,【解】根据变质量的运动方程,【例】设火箭初始质量和速度分别为 m0,v0,喷出燃气的相对速度为vr( 常量），燃烧时间为t，燃烧后火箭的质量为mt . 求火箭燃烧完瞬时的速度vt（不计空气阻力，重力不变）。,用一级火箭不可能达到第一宇宙速度,速度不够大,4. 登月,【例】质量为m=1.2104kg的飞船在距月球表面高度h=100km处绕月球作圆周运动， 飞船采用2种方式登月：（1）在A点向前短时间喷气，使飞船与月球相切地到达月球表面B点；（2）在A点向外侧沿月球半径
10、短时间喷气，使飞船与月球相切地到达月球表面C点。设喷气速度u=1104km/s, 月球半径R=1700km，月球表面g=1.7102m/s2. 试求用这两种方式登月需要的燃料的质量。,【解】飞船喷气前在A点的速度为：,（1）向前喷气后，飞船在A点的速度降为vA,方向不变，飞船到达B点的速度为vB, 有：,设喷气的质量为Dm,则有：,喷气过程中径向动量守恒,（2）向外侧喷气后，飞船获得附加的指向月球中心的分速度，记为Dv，使得飞船在A点的速度大小为：,飞船到达C点的速度为vC， 有：,【例】质量为m的登月器连接在质量为M=2m的航天飞机上一起绕月球作圆周运动，其轨道半径是月球半径Rm的3倍。某一时刻，将登月器相对航天飞机向运动的反方向射出后，登月器仍沿原方向运动，并沿如图所示的椭圆轨道登上月球表面，在月球表面逗留一段时间后，经快速发动沿原椭圆轨道回到脱离点与航天飞机实现对接。试求登月器在月球表面可逗留多长时间？已知月球表面的重力加速度为gm=1.62m/s2， 月球的半径为Rm=1.74106m.,
