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1、那么我们的问题就是：在什么条件下复变函数的积分与 积分路径无关？此问题等价于沿任意的闭曲线积分是否等于 零的问题，即,1. 柯西-古萨基本定理讨论的问题,2 柯西-古萨基本定理,复变函数的积分在计算中实际上等同于对坐标的曲线积分，这就很很自然地的引出积分与路径无关的问题。,下面我们从曲线积分的角度来考察这个问题。,回忆一下高等数学中关于曲线积分与路径无关的条件：,？,这不就是柯西-黎曼方程吗？,根据上述，我们可以得到如下的结论：,应用上述结论，得到积分与路径无关的条件为,2. 该定理的主要内容是柯西在研究水波传播问题时通过计算一些复积分而发现的（1825年），而古萨对其进行了改进并给出了严格证
2、明(1900年）.,实际上，我们有下列更一般的结论,注 1. 定理中的曲线可以不是简单曲线。,2. 柯西-古萨基本定理及其推论,定理的推论,注：利用这一 结论，我们在计算某些积分只须检查C内及C上是否有奇点即可，若没有的话，积分一定为0,研究的问题：将单连通区域上的柯西基本定理推广到多连通区域中。,3 基本定理的推广复合闭路定理,D,c,c,D,图1,图2,对于情形2，我们有如下的结论：,c1,c,D,A,A,B,B,E,E,F,F,证明: 连接C上点A到C1上点A 以及C1上点B到C上点B，则有：,将上面两等式相加，并先展开后再重新组合，可以得到,即,或,这说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不
3、会因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中不经过函数f(z)的不解析的点。闭路变形原理,如果把如上两条简单闭曲线C及C1-看成是一条复合闭路，且规定它的正向为：外面的闭曲线C按逆时针进行，里面的闭曲线C1按顺时针进行，那么有,同样的方法，我们还可以证明更一般的结论：,C,C1,C2,C3,该定理的证明方法同前面一样，无非是多加几条 辅助线，最后辅助线上的积分仍然抵消。,由上述定理，我们可以立即得到如下有用的结论：,解：根据前面的一些结论，首先首先确定被积函数 在c 内的解析 情况，为此，需分两种情况讨论：,解：根据被积函数的奇点与积分曲线c的位置 关系，此题须分四种情况讨论：,。 1,。 2,此时还可以这样求解：,c1,c2,4 原函数与不定积分,假设函数f(z)在单连通区域B内解析，则对B内 以z0为起点，z为终点的任意曲线上的积分都相等， 即积分只与起点、终点有关，因而可记为,上式从形式上看类似于高等数学中的变上限积分，事实上不仅如此，而且性质也一样：,当终点z变化时，上式可视为变量z的函数，因而可得到,根据积分估值性质,注：1）容易证明，f(z)的任何两个原函数相差一常数,类似于牛顿-莱布尼兹公式，我们有以下结论：,注：有了原函数、不定积分和上述公式，许多复变 函数的积分就可以用定积分的类似方法来计算了， 需要指出的是要注意验证是否满足定理中的条件。,
