《苏教版高中数学选修2-1第3章空间向量与立体几何3.1.1含答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《苏教版高中数学选修2-1第3章空间向量与立体几何3.1.1含答案(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 1 3.1 空间向量及其运算空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算 学习目标 1.了解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量 的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律 知识点一 空间向量的概念 思考 类比平面向量的概念,给出空间向量的概念 答案 在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量 梳理 (1)在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或 模 空间向量也用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模,向量 a 的起点是 A,终点是 B,则向量 a 也可记作,其模记为|a
2、|或|. AB AB (2)几类特殊的空间向量 名称定义及表示 零向量规定长度为 0 的向量叫做零向量,记为 0 单位向量模为 1 的向量称为单位向量 相反向量与向量 a 长度相等而方向相反的向量,称为 a 的相反向量,记为a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量,同向且等长的有向线段表示同一 向量或相等向量 知识点二 空间向量及其线性运算 1空间向量的线性运算 已知空间向量 a,b,在空间任取一点 O,作a,b,c,与平面向量的运算 OA OB AB 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 2 一样,空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为: ac; OB OA AB abc. BA
3、 OA OB 若 P 在直线 OA 上,则a(R) OP 2空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律: (1)abba; (2)(ab)ca(bc); (3)(ab)ab(R) 知识点三 共线向量(或平行向量) 1定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共 线向量或平行向量若向量 a 与 b 平行,记作 ab,规定零向量与任意向量共线 2共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(a0),b 与 a 共线的充要条件是存在实数 ,使 ba. 1在空间中,单位向量唯一() 2在空间中,任意一个向量都可以进行平移() 3在空间中,互为相反向量的两个向量必共线() 4空间
4、两非零向量相加时,一定可用平行四边形法则运算() 类型一 空间向量的概念及应用 例 1 如图所示,以长方体 ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中: (1)试写出与相等的所有向量; AB (2)试写出的相反向量; AA1 (3)若 ABAD2,AA11,求向量的模 AC1 解 (1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有,及,共 3 个 AB A1B1 DC D1C1 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 3 (2)向量的相反向量有,共 4 个 AA1 A1A B1B C1C D1D (3)| AC1 |AB |2|AD |2|AA1 |2 3. 2222129 引申
5、探究 如图,在长方体 ABCDABCD中,AB3,AD2,AA1,则分别以长方体 的顶点为起点和终点的向量中: (1)单位向量共有多少个? (2)试写出模为的所有向量 5 解 (1)由于长方体的高为 1,所以长方体的四条高所对应的向量, AA AA BB BB ,共 8 个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为 1,故单位 CC CC DD DD 向量共有 8 个 (2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为,故模为的向量有, 55 AD ,. DA AD DA BC CB BC CB 反思与感悟 在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全 一致,两向量相等的充要条件是
6、两个向量的方向相同、模相等两向量互为相反向量的充 要条件是大小相等,方向相反 跟踪训练 1 给出以下结论: 两个空间向量相等,则它们的起点和终点分别相同; 若空间向量 a,b 满足|a|b|,则 ab; 在正方体 ABCDA1B1C1D1中,必有; AC A1C1 若空间向量 m,n,p 满足 mn,np,则 mp. 其中不正确的命题的序号为_ 答案 解析 两个空间向量相等,它们的起点、终点不一定相同,故不正确;若空间向量 a,b 满足|a|b|,则不一定能判断出 ab,故不正确;在正方体 ABCDA1B1C1D1中,必有 成立,故正确;显然正确 AC A1C1 苏教版高中数学选修 2-1 同
7、步学案讲义 4 类型二 空间向量的线性运算 例 2 如图,已知长方体 ABCDABCD,化简下列向量表达式,并在图中标出化 简结果的向量 (1); AA CB (2). AA AB BC 解 (1). AA CB AA DA AA AD AD (2)(). AA AB BC AA AB BC AB BC AC 向量,如图所示 AD AC 引申探究 利用本例题图,化简. AA AB BC CA 解 结合加法运算,得 ,0. AA AB AB AB BC AC AC CA 故0. AA AB BC CA 反思与感悟 1.化简向量表达式时,要结合空间图形,分析各向量在图形中的表示,然后 利用运算法则
8、,把空间向量转化为平面向量解决,并化简到最简为止 2首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量;若首 尾相接的若干个向量构成一个封闭图形,则这些向量的和为 0. 跟踪训练 2 在如图所示的平行六面体中,求证:2. AC AB AD AC 证明 平行六面体的六个面均为平行四边形, 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 5 , AC AB AD AB AB AA AD AD AA AC AB AD ()()() AB AD AB AA AD AA 2() AB AD AA 又, AA CC AD BC . AB AD AA AB BC CC AC CC AC 2.
9、AC AB AD AC 类型三 向量共线定理的理解与应用 例 3 如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 在 A1D1上,且2,F 在对角 A1E ED1 线 A1C 上,且. A1F 2 3 FC 求证:E,F,B 三点共线 证明 设a,b,c, AB AD AA1 因为2, A1E ED1 A1F 2 3FC 所以, A1E 2 3A1D1 A1F 2 5A1C 所以 b, A1E 2 3AD 2 3 () () A1F 2 5 AC AA1 2 5 AB AD AA1 a b c. 2 5 2 5 2 5 所以 a b c b ab c. EF A1F A1E 2 5 2 5
10、 2 5 2 3 2 5 4 15 2 5 2 5(a 2 3bc) 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 6 又 bcaa bc, EB EA1 A1A AB 2 3 2 3 所以, EF 2 5EB 又因为与有公共点 E,所以 E,F,B 三点共线 EF EB 反思与感悟 1.判定共线:判定两向量 a,b(b0)是否共线,即判断是否存在实数 ,使 ab. 2求解参数:已知两非零向量共线,可求其中参数的值,即利用若 ab,则 ab(R) 3判定或证明三点(如 P,A,B)是否共线 (1)是否存在实数 ,使. PA PB (2)对空间任意一点 O,是否有t. OP OA AB (3)对空间
11、任意一点 O,是否有xy(xy1) OP OA OB 跟踪训练 3 如图,在四面体 ABCD 中,点 E,F 分别是棱 AD,BC 的中点,用,表 AB CD 示向量. EF 解 EF AF AE () 1 2 AB AC 1 2AD (). 1 2AB 1 2 AD AC 1 2AB 1 2CD 1下列说法中正确的是_(填序号) 若|a|b|,则 a,b 的长度相等,方向相同或相反; 若向量 a 是向量 b 的相反向量,则|a|b|; 空间向量的减法满足结合律; 苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义 7 在四边形 ABCD 中,一定是. AB AD AC 答案 解析 若|a|b|,则 a
12、,b 的长度相等,方向不确定,故不正确;相反向量是指长度相同, 方向相反的向量,故正确;空间向量的减法不满足结合律,故不正确;在ABCD 中, 才有,故不正确 AB AD AC 2在平行六面体 ABCDABCD的各条棱所在的向量中,与向量相等的向 AB 量有_个 答案 3 3在正方体 ABCDA1B1C1D1中,已知下列各式: ();();();() AB BC CC1 AA1 A1D1 D1C1 AB BB1 B1C1 AA1 A1B1 .其中运算的结果为的有_个 B1C1 AC1 答案 4 解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断:() AB BC ; CC1 AC CC1 AC1 (); AA1 A1D1 D1C1 AD1 D1C1 AC1 (); AB BB1 B1C1 AB1 B1C1 AC1 (). AA1 A1B1 B1C1 AB1 B1C1 AC1 所以 4 个式子的运算结果都是. AC1 4化简 2233_. AB BC CD DA AC 答案 0 解析 223322220. AB BC CD DA AC AB BC CD DA CD DA AC 5若非零空间向量 e1,e2不共线,则使 ke1e2与 e1ke2共线的 k_. 考点