《苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.4.2含答案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.4.2含答案(15页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义12.4.2 抛物线的几何性质抛物线的几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题知识点 抛物线的几何性质思考 观察下列图形,思考以下问题:(1)观察焦点在 x 轴上的抛物线与双曲线及椭圆的图形,分析其几何图形存在哪些区别?(2)根据图形及抛物线方程 y22px(p0)如何确定横坐标 x 的范围?答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较,有明显的不同,椭圆是封闭曲线,有四个顶点,有两个焦点,有中心;双曲线虽然不是封闭曲线,但是有两支,有两个顶点,两个焦点,有中心;抛物线只有一条
2、曲线,一个顶点,一个焦点,无中心(2)由抛物线 y22px(p0)有Error!所以 x0.所以抛物线 x 的范围为 x0.抛物线在 y 轴的右侧,当 x 的值增大时,y也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸梳理 四种形式的抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴焦点 F(p2,0)F(p2,0)F(0,p2)F(0,p2)准线方程 xp2xp2yp2yp2顶点坐标O(0,0)通径长2p苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义21抛物线关于顶点对称()2抛
3、物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心()3抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同()类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程例 1 抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆 9x24y236 短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为 3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程解 椭圆的方程可化为1,其短轴在 x 轴上,x24y29抛物线的对称轴为 x 轴,设抛物线的方程为 y22px 或 y22px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为 3,即 3, p2p6.抛物线的标准方程为 y212x 或 y212x,其准线方程分别为 x3 或 x3.引申探究将本例改为“若抛物线的焦点 F 在 x 轴上,
4、直线 l 过 F 且垂直于 x 轴,l 与抛物线交于A,B 两点,O 为坐标原点,若OAB 的面积等于 4” ,求此抛物线的标准方程解 由题意,设抛物线方程为 y22mx(m0),焦点 F,直线 l:x ,(m2,0)m2所以 A,B 两点坐标为,(m2,m) (m2,m)所以|AB|2|m|.因为OAB 的面积为 4,所以 2|m|4,12|m2|所以 m2.2所以抛物线的标准方程为 y24x.2苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义3反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练 1 已知双曲线方程是1,求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方x28y29程及抛物线的准线方程解 因为
5、双曲线1 的右顶点坐标为(2,0),所以 2,且抛物线的焦点在 x 轴x28y292p22正半轴上,所以,所求抛物线的标准方程为 y28x,其准线方程为 x2.22类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题例 2 (1)过抛物线 y28x 的焦点,倾斜角为 45的直线被抛物线截得的弦长为_(2) 直线 l 过抛物线 y24x 的焦点,与抛物线交于 A,B 两点,若 AB8,则直线 l 的方程为_(3)过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1,y1),B(x2,y2),若 AB7,则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为_答案 (1)16 (2)xy10 或 xy10 (3)72解析 (
6、1)由抛物线 y28x 的焦点为(2,0),得直线的方程为 yx2,代入 y28x 得(x2)28x,即 x212x40.所以 x1x212,弦长为 x1x2p12416.(2)抛物线 y24x 的焦点坐标为(1,0),若 l 与 x 轴垂直,则 AB4,不符合题意,可设所求直线 l 的方程为 yk(x1)由Error!得 k2x2(2k24)xk20,(*)则由根与系数的关系,得 x1x2.2k24k2又 AB 过焦点,由抛物线的定义可知 ABx1x2p28,6,解得2k24k22k24k2k1.此时(*)式变为 x26x10,满足 0.所求直线 l 的方程为 xy10 或 xy10.苏教版
7、高中数学选修 2-1 同步学案讲义4(3)抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程为 x1.由抛物线定义知 ABAFBFx1x2p,即 x1x227,得 x1x25,于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 ,又准线方程为52x1,因此点 M 到抛物线准线的距离为 1 .5272反思与感悟 1.抛物线上任一点 P(x0,y0)与焦点 F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径,对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为(1)抛物线 y22px(p0),PF x0.|x0p2|p2(2)抛物线 y22px(p0),PF x0.|x0p2|p2(3)抛物线 x22py(p0),PF y0.|y0p2|p2(
8、4)抛物线 x22py(p0),PF y0.|y0p2|p22已知 AB 是过抛物线 y22px(p0)的焦点的弦,F 为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),则(1)y1y2p2,x1x2.p24(2)ABx1x2p( 为直线 AB 的倾斜角)2psin2(3)SABO( 为直线 AB 的倾斜角)p22sin(4) .1AF1BF2p(5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切3当直线经过抛物线的焦点,且与抛物线的对称轴垂直时,直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径,显然通径长等于 2p.跟踪训练 2 已知直线 l 经过抛物线 y26x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A,B 两点
9、(1)若直线 l 的倾斜角为 60,求 AB 的值;(2)若 AB9,求线段 AB 的中点 M 到准线的距离解 (1)因为直线 l 的倾斜角为 60,所以其斜率 ktan60.3又 F,所以直线 l 的方程为 y.(32,0)3(x32)苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义5联立Error!消去 y 得 x25x 0.94若设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x25,而 ABAFBFx1 x2p2p2x1x2p,所以 AB538.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知ABAFBFx1 x2 x1x2px1x23,p2p2所以 x1x26.于是线段 AB 的
10、中点 M 的横坐标是 3,又准线方程是 x ,32所以 M 到准线的距离等于 3 .3292类型三 抛物线的综合问题命题角度1 与抛物线有关的最值问题例 3 抛物线 y24x 的焦点为 F,点 P(x,y)为该抛物线上的动点,若点 A(1,0),求的PFPA最小值解 抛物线 y24x 的准线方程为 x1,如图,过点 P 作 PN 垂直 x1 于点 N,由抛物线的定义可知 PFPN,连结 PA,在 RtPAN 中,sinPAN,PNPA当最小时,sinPAN 最小,PNPAPFPA即PAN 最小,即PAF 最大,此时,PA 为抛物线的切线,切线 PA 的斜率一定存在,设 PA 的方程为 yk(x
11、1),联立Error!苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义6得 k2x2(2k24)xk20,所以 (2k24)24k40,解得 k1,所以PAFNPA45,此时cosNPA.PFPAPNPA22综上,的最小值为.PFPA22反思与感悟 1.若曲线和直线相离,在曲线上求一点到直线的距离最小问题,可找到与已知直线平行的直线,使其与曲线相切,则切点为所要求的点2在曲线上求一点到直线的距离最小问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决跟踪训练 3 已知直线 l1:4x3y60 和直线 l2:x1,抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是
12、_答案 2解析 由题意知,直线 l2:x1 为抛物线 y24x 的准线由抛物线的定义知,点 P 到直线 l2的距离等于点 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离故所求最值可转化为在抛物线 y24x上找一个点 P,使得点 P 到点 F(1,0)和到直线 l1的距离之和最小,最小值为 F(1,0)到直线l1:4x3y60 的距离,即 d2.|406|5命题角度2 定值或定点问题例 4 抛物线 y22px(p0)上有两动点 A,B 及一个定点 M,F 为抛物线的焦点,若AF,MF,BF 成等差数列(1)求证:线段 AB 的垂直平分线过定点 Q;(2)若 MF4,OQ6(O 为坐标原点),求抛物线的方
13、程(1)证明 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则 AFx1 ,BFx2 ,MFx0 ,x0为已知值p2p2p2由题意得 x0,x1x22线段 AB 的中点坐标可设为(x0,t),其中 t0(否则 AFMFBFp0)y1y22苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义7而 kAB ,y1y2x1x2y1y212py2 1y2 22py1y2pt故线段 AB 的垂直平分线的方程为 yt (xx0),tp即 t(xx0p)yp0,可知线段 AB 的垂直平分线过定点 Q(x0p,0)(2)解 由 MF4,OQ6,得 x0 4,x0p6,联立解得 p4,x02.抛物线方程p2为
14、 y28x.反思与感悟 在抛物线的综合性问题中,存在着许多定值问题,我们不需要记忆关于这些定值的结论,但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法,如设直线的点斜式方程、根与系数的关系的利用、焦半径的转化等跟踪训练 4 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y24x 相交于不同的 A,B 两点,4,求证:直线 l 必过一定点OAOB证明 设 l:xtyb,代入抛物线 y24x,消去 x 得 y24ty4b0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y24t,y1y24b.又x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2OAOBt2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b,又4,b24b4,OAOB解得 b2,故直线过定点(2,0)1以 x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为 8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为_答案 y28x 或 y28x解析 设抛物线方程为 y22px 或 y22px(p0),依题意得 x ,代入 y22px 或 y22px 得|y|p,p22|y|2p8,p4.抛物线的方程为 y28x 或 y28x.2已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,其上一点 P(1,m)到焦点的距离为 5,则 m苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义8的值为_