《苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.4.2含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.4.2含答案（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义12.4.2 抛物线的几何性质抛物线的几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题知识点 抛物线的几何性质思考 观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在 x 轴上的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程 y22px(p0)如何确定横坐标 x 的范围？答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条
2、曲线，一个顶点，一个焦点，无中心(2)由抛物线 y22px(p0)有Error!所以 x0.所以抛物线 x 的范围为 x0.抛物线在 y 轴的右侧，当 x 的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸梳理 四种形式的抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴焦点 F(p2，0)F(p2，0)F(0，p2)F(0，p2)准线方程 xp2xp2yp2yp2顶点坐标O(0,0)通径长2p苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义21抛物线关于顶点对称()2抛
3、物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心()3抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同()类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程例 1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x24y236 短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程解 椭圆的方程可化为1，其短轴在 x 轴上，x24y29抛物线的对称轴为 x 轴，设抛物线的方程为 y22px 或 y22px(p0)抛物线的焦点到顶点的距离为 3，即 3, p2p6.抛物线的标准方程为 y212x 或 y212x，其准线方程分别为 x3 或 x3.引申探究将本例改为“若抛物线的焦点 F 在 x 轴上，
4、直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于A，B 两点，O 为坐标原点，若OAB 的面积等于 4” ，求此抛物线的标准方程解 由题意，设抛物线方程为 y22mx(m0)，焦点 F，直线 l：x ，(m2，0)m2所以 A，B 两点坐标为，(m2，m) (m2，m)所以|AB|2|m|.因为OAB 的面积为 4，所以 2|m|4，12|m2|所以 m2.2所以抛物线的标准方程为 y24x.2苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义3反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练 1 已知双曲线方程是1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方x28y29程及抛物线的准线方程解 因为
5、双曲线1 的右顶点坐标为(2，0)，所以 2，且抛物线的焦点在 x 轴x28y292p22正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为 y28x，其准线方程为 x2.22类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题例 2 (1)过抛物线 y28x 的焦点，倾斜角为 45的直线被抛物线截得的弦长为_(2) 直线 l 过抛物线 y24x 的焦点，与抛物线交于 A，B 两点，若 AB8，则直线 l 的方程为_(3)过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，若 AB7，则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为_答案 (1)16 (2)xy10 或 xy10 (3)72解析 (
6、1)由抛物线 y28x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为 yx2，代入 y28x 得(x2)28x，即 x212x40.所以 x1x212，弦长为 x1x2p12416.(2)抛物线 y24x 的焦点坐标为(1,0)，若 l 与 x 轴垂直，则 AB4，不符合题意，可设所求直线 l 的方程为 yk(x1)由Error!得 k2x2(2k24)xk20，(*)则由根与系数的关系，得 x1x2.2k24k2又 AB 过焦点，由抛物线的定义可知 ABx1x2p28，6，解得2k24k22k24k2k1.此时(*)式变为 x26x10，满足 0.所求直线 l 的方程为 xy10 或 xy10.苏教版
7、高中数学选修 2-1 同步学案讲义4(3)抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.由抛物线定义知 ABAFBFx1x2p，即 x1x227，得 x1x25，于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 ，又准线方程为52x1，因此点 M 到抛物线准线的距离为 1 .5272反思与感悟 1.抛物线上任一点 P(x0，y0)与焦点 F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为(1)抛物线 y22px(p0)，PF x0.|x0p2|p2(2)抛物线 y22px(p0)，PF x0.|x0p2|p2(3)抛物线 x22py(p0)，PF y0.|y0p2|p2(
8、4)抛物线 x22py(p0)，PF y0.|y0p2|p22已知 AB 是过抛物线 y22px(p0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)y1y2p2，x1x2.p24(2)ABx1x2p( 为直线 AB 的倾斜角)2psin2(3)SABO( 为直线 AB 的倾斜角)p22sin(4) .1AF1BF2p(5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切3当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于 2p.跟踪训练 2 已知直线 l 经过抛物线 y26x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点
9、(1)若直线 l 的倾斜角为 60，求 AB 的值；(2)若 AB9，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离解 (1)因为直线 l 的倾斜角为 60，所以其斜率 ktan60.3又 F，所以直线 l 的方程为 y.(32，0)3(x32)苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义5联立Error!消去 y 得 x25x 0.94若设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x25，而 ABAFBFx1 x2p2p2x1x2p，所以 AB538.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知ABAFBFx1 x2 x1x2px1x23，p2p2所以 x1x26.于是线段 AB 的
10、中点 M 的横坐标是 3，又准线方程是 x ，32所以 M 到准线的距离等于 3 .3292类型三 抛物线的综合问题命题角度1 与抛物线有关的最值问题例 3 抛物线 y24x 的焦点为 F，点 P(x，y)为该抛物线上的动点，若点 A(1,0)，求的PFPA最小值解 抛物线 y24x 的准线方程为 x1，如图，过点 P 作 PN 垂直 x1 于点 N，由抛物线的定义可知 PFPN，连结 PA，在 RtPAN 中，sinPAN，PNPA当最小时，sinPAN 最小，PNPAPFPA即PAN 最小，即PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线，切线 PA 的斜率一定存在，设 PA 的方程为 yk(x
11、1)，联立Error!苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义6得 k2x2(2k24)xk20，所以 (2k24)24k40，解得 k1，所以PAFNPA45，此时cosNPA.PFPAPNPA22综上，的最小值为.PFPA22反思与感悟 1.若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点2在曲线上求一点到直线的距离最小问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决跟踪训练 3 已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是
12、_答案 2解析 由题意知，直线 l2：x1 为抛物线 y24x 的准线由抛物线的定义知，点 P 到直线 l2的距离等于点 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离故所求最值可转化为在抛物线 y24x上找一个点 P，使得点 P 到点 F(1,0)和到直线 l1的距离之和最小，最小值为 F(1,0)到直线l1：4x3y60 的距离，即 d2.|406|5命题角度2 定值或定点问题例 4 抛物线 y22px(p0)上有两动点 A，B 及一个定点 M，F 为抛物线的焦点，若AF，MF，BF 成等差数列(1)求证：线段 AB 的垂直平分线过定点 Q；(2)若 MF4，OQ6(O 为坐标原点)，求抛物线的方
13、程(1)证明 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则 AFx1 ，BFx2 ，MFx0 ，x0为已知值p2p2p2由题意得 x0，x1x22线段 AB 的中点坐标可设为(x0，t)，其中 t0(否则 AFMFBFp0)y1y22苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义7而 kAB ，y1y2x1x2y1y212py2 1y2 22py1y2pt故线段 AB 的垂直平分线的方程为 yt (xx0)，tp即 t(xx0p)yp0，可知线段 AB 的垂直平分线过定点 Q(x0p,0)(2)解 由 MF4，OQ6，得 x0 4，x0p6，联立解得 p4，x02.抛物线方程p2为
14、 y28x.反思与感悟 在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数的关系的利用、焦半径的转化等跟踪训练 4 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y24x 相交于不同的 A，B 两点，4，求证：直线 l 必过一定点OAOB证明 设 l：xtyb，代入抛物线 y24x，消去 x 得 y24ty4b0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24t，y1y24b.又x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2OAOBt2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，又4，b24b4，OAOB解得 b2，故直线过定点(2,0)1以 x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为 8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为_答案 y28x 或 y28x解析 设抛物线方程为 y22px 或 y22px(p0)，依题意得 x ，代入 y22px 或 y22px 得|y|p，p22|y|2p8，p4.抛物线的方程为 y28x 或 y28x.2已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，其上一点 P(1，m)到焦点的距离为 5，则 m苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义8的值为_
