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1、苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义12.6.2 求曲线的方程求曲线的方程2.6.3 曲线的交点曲线的交点学习目标 1.了解求曲线方程的步骤,会求简单曲线的方程.2.掌握求两条曲线交点的方法.3.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系知识点一 坐标法的思想思考 1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础?答案 只有建立了平面直角坐标系,才有点的坐标,才能将曲线代数化,进一步用代数法研究几何问题思考 2 依据一个给定的平面图形,选取的坐标系唯一吗?答案 不唯一,常以得到的曲线方程最简单为标准梳理 (1)坐标法:借助于坐标系,通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法(2)解析几何研
2、究的主要问题:通过曲线研究方程:根据已知条件,求出表示曲线的方程通过方程研究曲线:通过曲线的方程,研究曲线的性质知识点二 求曲线的方程的步骤1建系:建立适当的坐标系2设点:设曲线上任意一点 M 的坐标为(x,y)3列式:列出符合条件 p(M)的方程 f(x,y)0.4化简:化方程 f(x,y)0 为最简形式5证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上知识点三 曲线的交点已知曲线 C1:f1(x,y)0 和 C2:f2(x,y)0.(1)P0(x0,y0)是 C1和 C2的公共点Error!(2)求两曲线的交点,就是求方程组Error!的实数解(3)方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有几
3、个公共点;方程组没有实数解,两条曲线就没有公共点1x2y21(x0)表示的曲线是单位圆()苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义22若点 M(x,y)的坐标是方程 f(x,y)0 的解,则点 M 在曲线 f(x,y)0 上()3方程 yx 与方程 y表示同一曲线()x2x4曲线 xy2 与直线 yx 的交点是(,)()22类型一 直接法求曲线的方程例 1 一个动点 P 到直线 x8 的距离是它到点 A(2,0)的距离的 2 倍求动点 P 的轨迹方程解 设 P(x,y),则|8x|2PA.则|8x|2,x22y02化简,得 3x24y248,故动点 P 的轨迹方程为 3x24y248.引申探究
4、若本例中的直线改为“y8” ,求动点 P 的轨迹方程解 设 P(x,y),则 P 到直线 y8 的距离 d|y8|,又 PA,x22y02故|y8|2,x22y02化简,得 4x23y216x16y480.故动点 P 的轨迹方程为 4x23y216x16y480.反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键:建立恰当的平面直角坐标系;找出所求动点满足的几何条件(2)方法:求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤,在实际求解时可简化为三大步骤:建系、设点;根据动点满足的几何条件列式;对所求的方程化简、证明特别提醒:直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化跟踪训练 1 已知两点 M(1,0
5、),N(1,0),且点 P 使,成公差小于MPMNPMPNNMNP零的等差数列求点 P 的轨迹方程解 设点 P(x,y),由 M(1,0),N(1,0),得(1x,y),PMMP(1x,y),PNNP苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义3(2,0)MNNM2(x1),x2y21,MPMNPMPN2(1x)NMNP于是,成公差小于零的等差数列等价于MPMNPMPNNMNPError!即Error!点 P 的轨迹方程为 x2y23(x0)类型二 相关点法求解曲线的方程例 2 动点 M 在曲线 x2y21 上移动,M 和定点 B(3,0)连线的中点为 P,求 P 点的轨迹方程解 设 P(x,y)
6、,M(x0,y0),因为 P 为 MB 的中点,所以Error!即Error!又因为 M 在曲线 x2y21 上,所以(2x3)24y21.所以 P 点的轨迹方程为(2x3)24y21.反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤(1)设动点 P(x,y),相关动点 M(x0,y0)(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系Error!(3)代入相关动点的轨迹方程(4)化简、整理,得所求轨迹方程跟踪训练 2 已知ABC 的两顶点 A,B 的坐标分别为 A(0,0),B(6,0),顶点 C 在曲线yx23 上运动,求ABC 重心的轨迹方程解 设 G(x,y)为ABC 的重心,顶点 C 的坐标为(x,y),
7、则由重心坐标公式,得Error!所以Error!因为顶点 C(x,y)在曲线 yx23 上,所以 3y(3x6)23,整理,得 y3(x2)21.故 ABC 重心的轨迹方程为 y3(x2)21.类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义4例 3 过点 M(1,2)的直线与曲线 y (a0)有两个不同的交点,且这两个交点的纵坐标之ax和为 a,求 a 的取值范围解 当过 M 点的直线斜率为零或斜率不存在时,不可能与曲线有两个公共点设直线方程为 y2k(x1)(k0),联立曲线方程,得Error!消去 x,得 y2(2k)yka0.当此方程有两个不同的根,即方程组
8、有两个不同的解时,直线与曲线有两个不同的交点(2k)24ka0.设方程的两根分别为 y1,y2,由根与系数的关系,得 y1y22k.又y1y2a,k2a,代入 0 中,得 a24a(2a)0,解得 00.过点 M 作 MBx 轴,垂足是点 B,则 MFMB2,即y2,x2y22整理得 x2(y2)2(y2)2,化简得 y x2,18所以所求曲线的方程是 y x2(x0)1813已知线段 AB,B 点的坐标为(6,0),A 点在曲线 yx23 上运动,求线段 AB 的中点 M苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义10的轨迹方程解 设线段 AB 的中点 M 的坐标为(x,y),点 A(x1,y1
9、),则Error!得Error!由题知点 A(x1,y1)在曲线 yx23 上,所以 2y(2x6)23,所以线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为 y2(x3)2 .32三、探究与拓展14过点 P(0,1)的直线与曲线|x|1相交于 A,B 两点,则线段 AB 长度的取11y2值范围是_答案 2,42解析 曲线|x|1可化为 x1,(x1)2(y1)21,或 x0),求动点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线解 连结 ON,OM,则 ONMN,设 M(x,y)圆的半径是 1,MN2OM2ON2OM21.由题意,(0),MNMQ,MNMQ即,x2y21x22y2整理得(21)(x2y2)42x(142)0.0,当 1 时,方程化为 x ,54该方程表示一条直线;当 1 时,方程化为2y2,(x2221)132212苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义11该方程表示以为圆心,以为半径的圆(2221,0)132|21|