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1、苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义12.1 圆锥曲线圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时,所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解,知道圆锥曲线在我们身边广泛存在知识点一 椭圆的定义观察图形,思考下列问题:思考 1 如图,把细绳两端拉开一段距离,分别固定在图板上的两点 F1,F2处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么图形?答案 椭圆思考 2 图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件?答案 PF1PF2是常数(大于 F1F2)梳理 平面内到两个定点 F1,F2的距离的和等于常数(大
2、于 F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点 F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义2知识点二 双曲线的定义观察图示,若固定拉链上一点 F1或 F2,拉开或闭拢拉链,拉链头 M 经过的点可画出一条曲线,思考下列问题:思考 1 图中动点 M 的几何性质是什么?答案 |MF1MF2|为一个正常数思考 2 若 MF1MF2F1F2,则动点 M 的轨迹是什么?答案 以 F2为端点,向 F2右边延伸的射线梳理 平面内到两个定点 F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点 F1,F2叫做双曲线的焦点,两焦
3、点间的距离叫做双曲线的焦距知识点三 抛物线的定义观察图形,思考下列问题:思考 如图,定点 C 和定直线 EF,用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点 D 的轨迹则动点 D 的轨迹是什么?其满足什么条件?答案 抛物线,动点 D 到定点 C 和定直线 EF 距离相等,且 C 不在 EF 上梳理 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线1平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆()2平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线()3抛
4、物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等()苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义3类型一 圆锥曲线定义的理解例 1 平面内动点 M 到两点 F1(3,0),F2(3,0)的距离之和为 3m,问 m 取何值时 M 的轨迹是椭圆?解 MF1MF23m,M 到两定点的距离之和为常数,当 3m 大于 F1F2时,由椭圆定义知,M 的轨迹为椭圆,3mF1F23(3)6,m2,当 m2 时,M 的轨迹是椭圆反思与感悟 在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中,一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中,和为定值且大于 F1F2.(2)在双曲线中,差的绝对值为定值且小于 F1F2.(3)在抛物线中,点 F 不在定
5、直线上跟踪训练 1 (1)命题甲:动点 P 到两定点 A,B 的距离之和 PAPB2a(a0,a 为常数);命题乙:P 点轨迹是椭圆,则命题甲是命题乙的_条件(2)动点 P 到两个定点 A(2,0),B(2,0)构成的三角形的周长是 10,则点 P 的轨迹是_答案 (1)必要不充分 (2)椭圆解析 (1)若 P 点轨迹是椭圆,则 PAPB2a(a0,且为常数),甲是乙的必要条件反之,若 PAPB2a(a0,且是常数),不能推出 P 点轨迹是椭圆因为仅当 2aAB 时,P 点轨迹才是椭圆;而当 2aAB 时,P 点轨迹是线段 AB;当2aAB 时,P 点无轨迹,甲不是乙的充分条件综上,甲是乙的必
6、要不充分条件(2)由题意知 PAPBAB10,又 AB4,PAPB64.点 P 的轨迹是椭圆类型二 圆锥曲线轨迹的探究例 2 如图,已知动圆 C 与圆 F1,F2均外切(圆 F1与圆 F2相离),试问:动点 C 的轨迹是什么曲线?解 设动圆 C 的半径为 R,圆 F1,F2的半径分别为 r1,r2,则 CF1Rr1,CF2Rr2.苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义4所以 CF1CF2r1r2.又 CF1CF2r1r2BC,所以点 A 的轨迹是椭圆(除去直线 BC 与椭圆的交点)(2)椭圆的焦点为 B,C,焦距为 10.反思与感悟 利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹,在判定时要注意定义本
7、身的限制条件,如得到 MF1MF22a(a 为大于零的常数)时,还需要看 2a 与 F1F2的大小,只有2aF1F2时,所求轨迹才是椭圆若得到 MF1MF22a(0F1F26,由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆2若 F1,F2是两个定点且动点 P1满足 PF1PF21,又 F1F23,则动点 P 的轨迹是_答案 双曲线靠近点 F2的一支解析 因 PF1PF21F1F2),则动点 M 的轨迹是椭圆若点 M 在椭圆上,则 MF1MF22a.2若|MF1MF2|2a(0F1F212,故中点的轨迹是椭圆106202106202中点的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线故正确的是.8若动点 P 到定点 F(1,
8、1)和到直线 l:3xy40 的距离相等,则动点 P 的轨迹是_答案 直线解析 设动点 P 的坐标为(x,y),则.整理,得x12y12|3xy4|10x3y20,所以动点 P 的轨迹为直线9平面内有两个定点 F1,F2及动点 P,设命题甲:|PF1PF2|是非零常数,命题乙:动点P 的轨迹是以 F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的_条件(“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由双曲线的定义可知,若动点 P 的轨迹是以 F1,F2为焦点的双曲线,则|PF1PF2|是非零常数,反之则不成立10已知点 A(1,0),B(1,0)曲线 C 上任意一点
9、P 满足224(|)0.则曲PAPBPAPB线 C 的轨迹是_答案 椭圆解析 由224(|)0,PAPBPAPB苏教版高中数学选修 2-1 同步学案讲义8得|4,且 4AB.PAPB故曲线 C 的轨迹是椭圆11已知动圆 M 过定点 A(3,0),并且在定圆 B:(x3)2y264 的内部与其相内切,则动圆圆心 M 的轨迹为_答案 椭圆解析 设动圆 M 的半径为 r.因为动圆 M 与定圆 B 内切,所以 MB8r.又动圆 M 过定点A,MAr,所以 MAMB8AB6,故动圆圆心 M 的轨迹是椭圆二、解答题12点 M 到点 F(0,2)的距离比它到直线 l:y30 的距离小 1,试确定点 M 的轨迹解 由题意得点 M 与点 F 的距离等于它到直线 y20 的距离,且点 F 不在直线 l 上,所以点 M 的轨迹是抛物线13如图所示,已知点 P 为圆 R:(xc)2y24a2上一动点,Q(c,0)为定点(ca0,为常数),O 为坐标原点,求线段 PQ 的垂直平分线与直线 RP 的交点 M 的轨迹解 由题意,得 MPMQ,RP2a.MRMQMRMPRP2a24BC.232323232323根据椭圆的定义知,点 M 的轨迹是以 B,C 为两焦点,26 为实轴长的椭圆去掉点(13,0),(13,0)