《高中数学苏教版选修2-2【基础过关】2.3(二)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学苏教版选修2-2【基础过关】2.3(二)(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 数学归纳法数学归纳法(二二)一、基础过关1用数学归纳法证明等式 123(n3) (nN*),验证 n1 时,左n3n42边应取的项是_2用数学归纳法证明“2nn21 对于 nn0的自然数 n 都成立”时,第一步证明中的起始值 n0应取_3若 f(n)1 (nN*),则 f(1)_.121312n14已知 f(n)1 (nN),证明不等式 f(2n) 时,f(2k1)比 f(2k)多的项数是12131nn2_5已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 a11,Snn2an (nN*)依次计算出S1,S2,S3,S4后,可猜想 Sn的表达式为_二、能力提升6用数学归纳法证明“5n2n能被 3
2、 整除”的第二步中,当 nk1 时,为了使用归纳假设,应将 5k12k1变形为_7k(k3,kN*)棱柱有 f(k)个对角面,则(k1)棱柱的对角面个数 f(k1)f(k)_.8对于不等式n1 (nN*),某学生的证明过程如下:当 n1 时,n2n11,不等式成立121假设 nk (nN*)时,不等式成立,即k1,则 nk1 时,k2k .假设 nk 时,不等式成立则当1221321n12121n2nk1 时,应推证的目标不等式是_10证明:62n11 能被 7 整除(nN*)11求证: (n2,nN*)1n11n213n5612已知数列an中,a1 ,其前 n 项和 Sn满足 anSn2(n
3、2),计算231SnS1,S2,S3,S4,猜想 Sn的表达式,并用数学归纳法加以证明三、探究与拓展13试比较 2n2 与 n2的大小(nN*),并用数学归纳法证明你的结论答案答案11234253.11642k5Sn2nn165(5k2k)32k7k189. 1221321k21k121k22121k310证明 (1)当 n1 时,62117 能被 7 整除(2)假设当 nk(kN*)时,62k11 能被 7 整除那么当 nk1 时,62(k1)1162k12136(62k11)35.62k11 能被 7 整除,35 也能被 7 整除,当 nk1 时,62(k1)11 能被 7 整除由(1),
4、(2)知命题成立11证明 (1)当 n2 时,左边 ,1314151656不等式成立(2)假设当 nk(k2,kN*)时命题成立,即 .1k11k213k56则当 nk1 时,(1k111k1213k13k113k213k11k11k213k13k1) () (3) ,13k213k31k15613k113k213k31k15613k31k156所以当 nk1 时不等式也成立由(1)和(2)可知,原不等式对一切 n2,nN*均成立12解 当 n2 时,anSnSn1Sn2.1SnSn(n2)1Sn12则有:S1a1 ,23S2 ,1S1234S3 ,1S2245S4 ,1S3256由此猜想:S
5、n(nN*)n1n2用数学归纳法证明:(1)当 n1 时,S1 a1,猜想成立23(2)假设 nk(kN*)猜想成立,即 Sk成立,k1k2那么 nk1 时,Sk11Sk21k1k22.k2k3k11k12即 nk1 时猜想成立由(1)(2)可知,对任意正整数 n,猜想结论均成立13证明 当 n1 时,2124n21,当 n2 时,2226n24,当 n3 时,23210n29,由 n4 时,24218n216,由此可以猜想,2n2n2(nN*)成立下面用数学归纳法证明:(1)当 n1 时,左边2124,右边1,所以左边右边,所以原不等式成立当 n2 时,左边2226,右边224,所以左边右边;当 n3 时,左边23210,右边329,所以左边右边(2)假设 nk(k3 且 kN*)时,不等式成立,即 2k2k2.那么当 nk1 时,2k1222k22(2k2)22k22.又因为 2k22(k1)2k22k3(k3)(k1)0,即 2k22(k1)2,故 2k12(k1)2成立根据(1)和(2),原不等式对于任何 nN*都成立