高中数学 第二章 解析几何初步习题课四 北师大版必修2

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1、【步步高步步高 学案导学设计学案导学设计】2014-2015】2014-2015 学年高中数学学年高中数学 第二章第二章 解析几解析几 何初步习题课四北师大版必修何初步习题课四北师大版必修 2 2【课时目标】 1巩固圆的方程的两种形式,并熟练应用圆的方程解决有关问 题2熟练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定及应用1 圆的方程Error! 2直线与圆的位置关系的判定(d表示圆心到直线的距离,r表示圆半径) Error! 3圆与圆的位置关系(d表示两圆圆心距,R、r表示两圆半径且Rr) Error!一、选择题 1圆x2y22x4y0 的圆心坐标和半径分别是( ) A(1,2),5 B(1,2),

2、5 C(1,2),5 D(1,2),5 2以线段AB:xy20(0x2)为直径的圆的方程为( ) A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)28 D(x1)2(y1)28 3直线xy0 绕原点按逆时针方向旋转 30所得直线与圆x2y24x10 的3 位置关系是( ) A相交且过圆心 B相交但不过圆心 C相切 D相离 4若圆x2y22ax3by0 的圆心位于第三象限,则直线xayb0 一定不经过 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5直线l与直线 3x4y150 垂直,与圆x2y218x450 相切,则直线l的 方程是( ) A4x3y60 B4

3、x3y660 C4x3y60 或 4x3y660 D4x3y150 6方程k(x2)3 有两个不等实根,则k的取值范围为( )4x2A B(5 12,3 43 4,)C D(,5 12(5 12,3 4) 二、填空题 7过点M(0,4),且被圆(x1)2y24 截得的线段长为 2的直线方程为3 _ 8一束光线从点A(1,1)出发经x轴反射到圆(x2)2(y3)21 上的最短路程为 _ 9集合A(x,y)|x2y24,B(x,y)|(x3)2(y4)2r2,其中r0,若AB中有且仅有一个元素,则r的值是_ 三、解答题 10有一圆C与直线l:4x3y60 相切于点A(3,6),且经过点B(5,2)

4、,求此圆的 标准方程11已知圆C:x2y22x4y200 及直线l:(2m1)x(m1) y7m4(mR R) (1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C总相交; (2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程能力提升 12已知曲线C:(x1)2y21,点A(1,0)及点B(2,a),从点A观察点B,要使 视线不被曲线C拦住,则a的取值范围是( ) A(,1)(1,) B(,)(,)33 C(,)3 D(,3)(3,)33 13已知P是直线 3x4y80 上的动点,PA、PB是圆x2y22x2y10 的两 条切线,A、B是切点,C是圆心,求四边形PACB面积的最小值初中我们从平面几何的

5、角度研究过圆的问题,本章则主要是利用圆的方程从代数角度 研究了圆的性质,如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题,将在处理圆有关问 题时收到意想不到的效果 圆是非常特殊的几何图形,它既是中心对称图形又是轴对称图形,它的许多几何性质 在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用,所以在实际解题中常用几何法,充分结合圆的平面几何性质那么,我们来看经常使用圆的哪些几何性质: (1)圆的切线的性质:圆心到切线的距离等于半径;切点与圆心的连线垂直于切线;切 线在切点处的垂线一定经过圆心;圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形 的三个顶点等等 (2)直线与圆相交的弦的有关性质:相交弦的中点与圆心的

6、连线垂直于弦所在直线;弦 的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边, 满足勾股定理 (3)与直径有关的几何性质:直径是圆的最长的弦;圆的对称轴一定经过圆心;直径所 对的圆周角是直角习题课习题课( (四四) ) 答案答案知识梳理 1(xa)2(yb)2r2 (a,b) x2y2DxEyF0 D2E24F 2dr dr 作业设计 1D 2B 线段AB两端点为(0,2)、(2,0),圆心为(1,1),半径r,选 B2 3C 直线旋转后为yx,圆心(2,0)到该直线距离dr选 C34D 圆的标准方程为(xa)22a2b2圆心(y3 2b)9 4为a0(a,3 2

7、b)yx 不过第四象限1 ab a 5C 设直线方程为 4x3ym0,由直线与圆相切得m6 或66 6A 在同一平面直角坐标系中分别画出y(就是x2y24,y0)和yk(x2)4x2 3 的图象如图所示,问题就转化为两条曲线有两个交点的问题,需kPAkkPB,kPB ,30 223 4对于k(x2)y30,因为直线与圆相切,所以dr,即2,|2k3|k21解得kPA所以k的取值范围为5 12(5 12,3 4 7x0 或 15x8y320 解析 设直线方程为x0 或kxy40当直线方程为x0 时,弦长为 2符合3题意;当直线方程为kxy40 时,d1,解得k,|k04|k2122 3215 8

8、 因此直线方程为 15x8y320 84 解析 点A关于x轴的对称点A(1,1),转化为求A(1,1)到圆上的点的 距离的最小值问题,其最小值为14212312 93 或 7解析 这是以集合为载体考查两圆位置关系 AB中有且仅有一个元素, 两圆x2y24 与(x3)2(y4)2r2相切, O(0,0),C(3,4),|OC|5,r12,r2r, 故 2r5,或r25,r3 或 7 10解 设所求圆的圆心为O,则OAl,又设直线OA与圆的另一交点为P所以直线OA的斜率为 故直线OA的方程为y6 (x3),即 3x4y330又因为3 43 4kAB2,从而由平面几何知识可知kPB ,26 531

9、2 则直线PB的方程为x2y10 解方程组Error!得Error! 即点P的坐标为(7,3)因为圆心为AP的中点,(5,9 2)半径为OA ,5 2故所求圆的标准方程为(x5)22(y9 2)25 4 11(1)证明 把直线l的方程改写成 (xy4)m(2xy7)0, 由方程组Error!,解得Error!, 所以直线l总过定点(3,1) 圆C的方程可写成(x1)2(y2)225,所以圆C的圆心为(1,2),半径为 5 定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为5,即点(3,1)在圆3121225 内所以过点(3,1)的直线总与圆相交,即不论m取什么实数,直线l与圆C总相交 (2)解 设直线与圆

10、交于A、B两点当直线l过定点M(3,1)且垂直于过点M的圆C的 半径时,l被截得的弦长|AB|最短 因为|AB|2|BC|2|CM|2224,此时kAB2,所以直线AB的253121222051 kCM 方程为y12(x3),即 2xy50 故直线l被圆C截得的弦长最小值为 4,此时直线l的方程为 2xy505 12B 视线即切线,切线与直线x2 交点以下部分和以上部分即为视线看得见的部分,圆的 切线方程为y(x1)33 当x2 时,y,所以a(,)(,),故选 B333 13解 方法一 从运动的观点看问题,当动点P沿直线 3x4y80 向左上方或向右下方无穷远处运动时,直角三角形PAC的面积

11、SRtPAC |PA|AC| |PA|越来越大,从而1 21 2 S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小,显 然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直直线时,S四边形PACB应有唯一的最小值,此时|PC|3,|3 14 18|3242 从而|PA|2|PC|2|AC|22(S四边形PACB)min2 |PA|AC|1 2 22 方法二 利用等价转化的思想,设点P坐标为(x,y),则|PC| ,x12y12 由勾股定理及|AC|1,得 |PA|PC|2|AC|2 ,x12y121 从而S四边形PACB2SPAC2 |PA|AC|1 2 |PA|,x12y121 从而欲求S四边形PACB的最小值,只需求|PA|的最小值,只需求|PC|2(x1)2(y1) 2的最小值,即定点C(1,1)与直线上动点P(x,y)距离的平方的最小值,它也就是点C(1,1)到直线 3x4y80 的距离的平方,这个最小值d2()29,|3 14 18|3242 (S四边形PACB)min2912

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