《高中数学 1.2 应用举例（第3课时）学案 新人教a版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 1.2 应用举例（第3课时）学案 新人教a版必修5（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.21.2 应用举例应用举例( (第第 3 3 课时课时) )学习目标 1 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题. 2 2.本节课是在学习了相关内容后的第三节课,在对解法有了基本了解的基础上,通过综 合训练强化相应的能力. 3 3.提升提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在学习过程中发扬探索精神. 合作学习 一、设计问题,创设情境 提问:前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化为已知三角形的一些 边和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海 面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?今天
2、我们接着探讨这方面的测量 问题. 二、信息交流,揭示规律 在实际的生活中,人们又会遇到新的问题,仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解 决,大家身边有什么例子吗?三、运用规律,解决问题【例 1 1】如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75的方向航行 67.5n mile 后到达海岛 B,然 后从 B 出发,沿北偏东 32的方向航行 54.0n mile 后到达海岛 C.如果下次航行直接从 A 出 发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1,距离精确到0.01n mile)问题 1 1:要想解决这个问题,首先应该搞懂“北偏东 75的方向”这指的是什么?【例 2
3、 2】某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45相距 9 海里的 C 处有一艘走私船,正沿南偏东 75的方向以 10 海里/时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以 14 海里/时的速度沿着直线方 向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多长时间才追赶上该走私船?问题 2 2:你能否根据题意画出方位图?问题 3 3:以上是用正弦定理、余弦定理来解决的,我们能不能都用余弦定理来解决呢?四、变式训练,深化提高【例 3 3】如图,海中小岛 A 周围 38 海里内有暗礁,船正向南航行,在 B 处测得小岛 A 在 船的南偏东 30,航行 30 海里到 C 处,在 C 处测得小岛 A 在船的南偏东 45,如果此船不改
4、变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?练习:如图,有两条相交成 60角的直线 XX,YY,交点是 O,甲、乙分别在 OX,OY 上,起 初甲在离 O 点 3 千米的 A 点,乙在离 O 点 1 千米的 B 点,后来两人同时以每小时 4 千米的速 度,甲沿 XX方向,乙沿 YY 方向步行. (1)起初,两人的距离是多少? (2)用包含 t 的式子表示 t 小时后两人的距离; (3)什么时候两人的距离最短?五、限时训练1 1.在某电场中,一个粒子的受力情况如图所示,则粒子的运动方向为( ) A.南偏西 B.北偏西 C.北偏东 D.南偏东2 2.如图,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 4
5、0 海里的 B 处有一艘渔船遇险, 在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船, 现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援,则 cos= . 3 3.一辆汽车从 A 点出发,沿一条笔直的海岸公路以 100km/h 向东匀速行驶,汽车开动时, 在点 A 的南偏东方向距点 A 500km 的 B 处的海上有一快艇,此时,快艇所在 B 处距海岸 300km.现快艇上有一快递要送给汽车的司机,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与 AB 所 成的角,并求出快艇的最小速度.六、反思小结,观点提炼 解三角形应用题的一般步骤:参考答案三、运用规律,解决问
6、题 【例 1 1】解:在ABC 中,ABC=180-75+32=137,根据余弦定理,AC=113.15(n mile), 根据正弦定理,sinCAB=0.3255, 所以CAB19.0,75-CAB=56.0.答:此船应该沿北偏东 56.0的方向航行,需要航行 113.15n mile. 问题 1 1:这是方位角,这实际上就是解三角形,由方位角的概念可知,首先根据三角形的 内角和定理求出 AC 边所对的角ABC,即可用余弦定理算出 AC 边,再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角CAB,就可以知道 AC 的方向和路程.【例 2 2】解:如图,设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在
7、 B 处追上走私船,则 CB=10x,AB=14x,AC=9,ACB=75+45=120,则由余弦定理,可得 (14x)2=92+(10x)2-2910xcos120,化简得 32x2-30x-27=0,即 x=或 x=-(舍去). 所以 BC=10x=15,AB=14x=21. 又因为 sinBAC=, 所以BAC=3813,或BAC=14147(钝角不合题意,舍去). 所以 3813+45=8313. 答:巡逻艇应沿北偏东 8313的方向追赶,经过 1.5 小时追赶上该走私船. 问题 2 2:在解三角形中有很多问题都要画出平面示意图,图画的好坏有时也会影响到解 题,这是建立数学模型的一个重
8、要方面. 问题 3 3:同例 2 中解得 BC=15,AB=21, 在ABC 中,由余弦定理,得cosCAB=0.7857, 所以CAB3813,3813+45=8313. 所以巡逻艇应沿北偏东 8313的方向追赶,经过 1.5 小时追赶上该走私船. 四、变式训练,深化提高 【例 3 3】解:在ABC 中,BC=30,B=30,ACB=180-45=135, 则 A=15. 由正弦定理知,即. 所以 AC=60cos15=15+15. 所以 A 到 BC 所在直线的距离为 ACsin45=(15+15)=15(+1)40.9838(海里). 答:不改变航向,继续向南航行,无触礁的危险. 练习:
9、解:(1)因为甲、乙两人起初的位置是 A,B, 则 AB2=OA2+OB2-2OAOBcos60=32+12-231=7, 所以起初,两人的距离是千米. (2)设甲、乙两人 t 小时后的位置分别是 P,Q, 则 AP=4t,BQ=4t, 当 0t时,PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60=48t2-24t+7; 当 t时,PQ2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120=48t2-24t+7, 所以,PQ=48t2-24t+7.(3)PQ2=48t2-24t+7=48+4, 所以当 t=时,即在第 15 分钟末,PQ 最短.
10、答:在第 15 分钟末,两人的距离最短. 五、限时训练1 1.D 2 2. 解析:如图所示,在ABC 中,AB=40,AC=20,BAC=120, 由余弦定理,知 BC2=AB2+AC2-2ABACcos120=2800, 即得 BC=20(海里). 由正弦定理, 所以 sinACB=sinBAC=. 由BAC=120,知ACB 为锐角,cosACB=. 由 =ACB+30,则 cos=cos(ACB+30)=cosACBcos30-sinACBsin30=. 3 3.分析:设快艇在 B 处以 v km/h 的速度出发,在ABC 中,由正弦定理求解.解:如图,设快艇在 B 处以 v km/h 的速度出发,沿 BC 方向航行 t 小时与汽车相遇(在 C 点). 在ABC 中,AB=500km,BQ=300km,AC=100t,BC=vt. 则 sinBAC=. 在ABC 中,由正弦定理得, 即, 则 v=60,当且仅当ABC=90时等号成立. 故快艇最小速度为 60km/h 且行驶方向与 AB 成直角. 六、反思小结,观点提炼 根据题意作出示意图; 明确所涉及的三角形,搞清已知和未知; 选用合适的定理进行求解; 给出答案.
