蕴含在概率中的数学思想

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1、 北京高考门户网站 电话：010-62754468 北达教育旗下网站-北京高考网 电话：010-62754468蕴含在概率中的数学思想蕴含在概率中的数学思想一、分类与整合思想 分类与整合思想是重要的数学思想方法，通过分类可以把复杂的问题化分为简单而熟悉的 问题进行解决.只是在分类时要注意选择正确的分类标准，力争做到不重不漏. 例 1 袋中装有白球和黑球各 3 个，从中任取 2 个，取到黑球的概率是多少？ 分析：取到黑球包括两种情况：“一个黑球、一个白球” 、 “两个黑球” ，因此需分情况讨论. 解：设“取到一个黑球，一个白球”为事件 A， “取到两个黑球”为事件 B， “取到黑球”为事件

2、C，则.( )()P CP AB由题意知，从袋中任取 2 个球，共有 65215 种可能结果， “取到一个黑球、一个白球” 有 339 种可能结果， “取到两个黑球”有 3223 种可能结果.故.9331( )( )155155P AP B，又事件 A 与事件 B 互斥，故.4( )( )( )5P CP AP B二、数形结合思想 数形结合思想是数学中重要的思想方法之一，在解题过程中，多从形的角度审视和挖掘数 所代表的本质，借助图形的直观性，可更好的解题. 例 2 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，将这个玩具先 后抛掷两次，试问： （1）向上的数字之和为 5

3、的概率是多少？ （2）向上的数字之和至少是 9 的概率是多少？ （3）向上的数字之和为多少时概率最大？ 分析：将正方体玩具先后抛掷两次可能出现 36 种结果，用下图所示的图表表示出来，则所 有的结果便尽现眼底，一目了然.第一次抛掷出现的数字两次抛掷出现的数字之和12345612345672345678345678945678910567891011第二次抛 掷出现的 数字6789101112解：将正方体玩具抛掷一次，它落地时向上的数字有 1，2，3，4，5，6 这六种结果，所以， 先后将这些玩具抛掷两次，一共有 6636 种不同的结果. （1）由图表可知，向上的数字之和为 5 的结果有（1，4

4、） 、 （2，3） 、 （3，2） 、 （4，1）四种， 其中括号内的两个数字分别为第一、第二次向上的数字.所以向上的数字之和为 5 的概率是.41 369P （2）由图表可知，向上的数字之和至少是 9 的结果有（3，6） 、 （4，5） 、 （4，6） 、 （5，4） 、 （5，5） 、 （5，6） 、 （6，3） 、 （6，4） 、 （6，5） 、 （6，6）十种，所以向上的数字之和至少是北京高考门户网站 电话：010-62754468 北达教育旗下网站-北京高考网 电话：010-627544689 的概率.105 3618P （3）由图表可知，向上的数字之和出现最多的数为 7（一共出

5、现了 6 次） ，故向上的数字之和为 7 的概率最大，最大概率为.61 366P 三、转化与化归思想 所谓“化归”就是转化和归结.在解决数学问题时，人们常将待解决的问题甲，通过某种转 化，归结为一个已经解决或比较容易解决的问题乙，然后，通过乙问题的解去求甲问题的 解，这就是“化归”的思想.运用公式进行化归( )( )1P AP A例 3 如右图，把一个体积为的正方体木块表面涂上红漆，364cm然后锯成体积为的小正方体，从中任取一块，求这一块至少31cm有一面涂有红漆的概率.解：直接求“至少有一面涂有红漆”的概率比较困难，可以转化为求其对立事件的概率，即求“未涂红漆”的小木块的概率.经分析知未涂

6、红漆的小木块有个，故至少3(42)8一面涂有红漆的小木块有 648=56 个，所以所求事件的概率为.567 648友情提示：含有“至多” 、 “至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质进行求解.( )1( )P AP A 2.将一些复杂事件的概率化归为基本事件的概率 例 4 一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出 一个球，求两个球恰好颜色不同的概率. 解：记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球恰好颜色不同”为事件，因为摸出一个球为白球的概率是0.4，摸出一球为黑球的概率是0.6，故“有放

7、回地摸两次，颜2 53 5 色不同”包括“先白后黑”和“先黑再白”.0.40.6+0.60.4=0.48.( )P A四、方程思想 方程思想是数学解题的重要思想方法，在解决一些概率问题时，如能根据题目中给出的数 量关系，列出方程或方程组，往往可使问题得到解决. 例 5 为了保证出版物的质量，出版社经常由两人独立校对同一校样，如果甲发现 120 处 错误，乙发现 110 处错误，其中有 92 处错误是共同的，能否据此估计出校样中有多少处错 误？他们两人可能遗漏了多少处错误？解：设共有 x 处错误，则甲发现错误的概率（即校对能力）是.120 x北京高考门户网站 电话：010-62754468 北达教育旗下网站-北京高考网 电话：010-62754468另一方面，对于乙发现的 110 处错误，甲发现了 92 处，故甲的校对能力又可以表示为，显然，解得 .92 110120 x120 11014392x又假设两人遗漏了 y 处错误，由集合论中的公式可得，解得 y=5.Card()Card( )Card()ABBAB143120 11092y由此可知，校样中有 143 处错误，他们两人可能遗漏了 5 处错误.