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1、1数学教学中如何发挥课本例习题的内在潜能数学教学中如何发挥课本例习题的内在潜能【摘要摘要】：本文对课本例习题由表及里，培养思维的深刻性；探索例习题的非常规解法，培养思维的批判性；精选变式例习题，培养思维的广阔性；引导学生对例习题探究和猜想，培养思维的创造性。【关键词关键词】：递进 精选 变式 挖掘 内在潜能【正文正文】：高考源于课本而不拘泥于课本，教材上的例习题都是很典型的，要求教师不断挖掘教材中例习题的多种功能，深化例习题教学，发挥例习题的内在潜能，以培养高素质的学生。本文就全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）为例说明数学教学中如何发挥课本例习题的内在潜能。一、一、对例习题由表及
2、里，培养思维的深刻性对例习题由表及里，培养思维的深刻性心理学研究表明：人的认识总是由浅入深、由表及里、由具体到抽象、由简单到复杂的。因而所设计的尝试学习问题必须遵循人的认识规律，采取低起点、小步子、多训练、快反馈的方法，使学生认识活动划分为由易到难、由简到繁的若干递进层次，使学生逐步的多次的获得成功，保护学生的旺盛的学习积极性，培养思维的深刻性。如在讲椭圆的第一定义的应用时，可根据教材设计如下：题组一（巩固型题组，为熟悉基本知识、方法而设置）：题组一（巩固型题组，为熟悉基本知识、方法而设置）：1、P95 题 2 如果椭圆上一点 P 到焦点 F 的距离等 6，则点 P 到另一个焦点1361002
3、2 yx1F 的距离是 ；222、P96 习题 4 已知椭圆的标准方程为为椭圆上的点。2122 , 11625MMyx（1）点 M （4，2.4）与焦点的距离分别是 ， ；1（2）点 M 到一个焦点的距离等于 3，则它到另一个焦点的距离等于 。2题组二（提高型题组，为提高运用知识，方法的能力而设置）题组二（提高型题组，为提高运用知识，方法的能力而设置）P93 例 1（2）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（0，- 2） 、 （0，2） ，并且椭圆经过点，求椭圆的标准方程。 25,23题组三（发展型题组，为使思维灵活变通、强化创新意识而设置）题组三（发展型题组，为使思维灵活变通、强化创新意识而设置）
4、1、P95 题 1 平面内两个定点的距离等于 8，一个动点 M 到两个定点的距离的和等于 10。建立适当的坐标系，写出动点 M 的轨迹方程；2、P94 例 2 已知 B、C 是两个定点，=6，且ABC 的周长等BC于 16，求顶点 A 的轨迹方程；3、P128 例 1 一动圆与圆外切，同时与圆内切，05622xyx091622xyx求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。对例习题由浅入深，层层递进，环环相印，把思维逐渐引向深入，使学生在轻松中品尝重重成功的喜悦，既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，训练了学生数学思维。二、二、探索例习题的非常规解法，培养思维的批判性探索例习题的非常规
5、解法，培养思维的批判性教师应注意深挖细琢例习题，寻找机会展示自己的思维过程提出新假设、新论断，通过探求问题的非常规解法带给学生意外的惊喜，以训练学生思维的批判性。如 P15 例 1 求证：5273常规解法是：因为都是正数，所以为了证明，只需要证明5273和5273，展开得即因为 21成立，所以22)52()73(,2021210.2521, 52125，即证明了。22)52()73(52733很多学生对该解法只知其然，不知其所以然，甚至在独立完成如时容易5273犯将该式两边平方的错误，为了避免这种情况，教师应引导学生用新方法，独立地组织自己的思维进程，训练学生的思维。非常规解法是：522025
6、21021210)73(732又如 P123 题 6 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P、Q，经过点 P 和抛物线顶点的直线交准线于点 M，求证直线 MQ 平行于抛物线的对称轴。教参的答案是：设抛物线的方程为，pxy22（1）当过抛物线焦点的直线的斜率 k 存在时，设它的方程为。先求交点 2pxkyP、Q 的坐标，解方程组得，的坐标 pxy pxky2)2(2),(),(2211yxQyxP；再求交点 M 的坐标，直线 OP 的方程为kkpykkkpxkkpykkkpx11 (,2) 122(;11 (,2) 122(222221212221 33, yx而准线方程为代入上式得, 1221
7、12222 x kkkky 223pxpx则，因为，所以直线 MQ 平行于抛物线的对称轴； kkpkkkky1112211222223 23yy （2）当过抛物线焦点的直线的斜率 k 不存在时，所 ppMppQppP,2,2,2以直线 MQ 平行于抛物线的对称轴。该解法属于常规解法，计算非常繁琐，若在（1）中引导学生用整体思想方法，则问题就简单多了：4由消去 x 得，因此，又由pxy pxky2)2(22 2122, 02pyykppyky故122ypy，直线 PM 的方程为，准线方程为 ，由得pyxpxy222 1 112 1得xxyy112px，故所以直线 MQ 平行于抛物线的对称轴。12
8、3ypy23yy 学生惊喜之至，问题得到巧解，既补充和延伸了课堂教学，消除了学生的疑虑，排除了干扰，又培养了学生的质疑精神、科学的批判精神和锲而不舍的学习精神，我们何乐而不为呢？三、精选变式例习题，培养学生思维的广阔性三、精选变式例习题，培养学生思维的广阔性课本教材往往只是研究问题的基本形式，并用与之相应的习题让学生训练，这样即使把有关问题做遍了，也只能是把握问题的某个方向，因此，教师要挖掘例习题深层次的知识点，纵横联系，多角度地考虑问题，使思维呈现辐射状展开，开阔视野，拓展思维。如 P107 题 2 已知方程表示双曲线，则 m 的取值范围是 11222 my mx；该题虽然简单，但学生的理解
9、还处于一知半解的状态，为了使学生掌握其通性通法，举一反三，达到触类旁通的境界，为此，作如下变式：变式一：已知方程表示双曲线，则 m 的取值范围是 ；11222 my mx变式二：已知方程表示椭圆，则 m 的取值范围是 ；11222 my mx变式三：已知方程表示椭圆，则 m 的取值范围是 。11222 my mx又如 P82 题 3 已知是圆 C 的直径的两个端点，求圆 C 的方程。)4 , 1()2 , 3(BA、5可作如下变式：变式一：已知是圆 C 上的两点且圆心在 x 轴上，求圆 C 的方程；)4 , 1()2 , 3(BA、变式二：若圆 C 过点 A（3，2）且与直线 x+y-3=0
10、相切于点，求圆 C 的方程；)4 , 1(B变式三：若圆 C 过点 A（3，2）且与圆相切于点，求圆 C362122yx)4 , 1(B的方程。学生解题的实质是基本问题的各种各样的变化形式，对教材中的例习题进行变式，使之貌似原题，又不同于原题，并拾级而上，让学生从不同角度、不同侧面去思考和探索问题，加深对知识内涵、外延的理解，以求在变化中拓宽思想激发思维；使学生感到轻松、愉快，在学生的脑海中留下了深刻印象，既分清了问题的变化类型，又把所学知识系统地运用，从中获得概括的知识，把握了基本题中所演生出的不同类型，使之从单一化、固定化模式中转入多棱化、多角化和多面化模式，从而获得上升性思维能力。四、四
11、、引导学生对例习题探究和猜想，培养思维的创造性引导学生对例习题探究和猜想，培养思维的创造性在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、探索者。教师应该鼓励学生大胆探究与猜想，深刻领悟新课程改革精神，认真研究教学要求，以学生为本，精心设计例习题，以培养学生的合作能力和创新素质为己任，给学生一片自主探索的天空，使学生的创新能力得到培养，个性品质得到和谐发展。如 P113 练习题 5 当渐近线方程为时，双曲线的标准xaby方程一定是吗？如果不一定，举出一个反例。12222 by ax可点拨如下：（1）的渐近线方程为，即 ；12222 by axxaby0by ax（2）写出一个
12、渐近线方程为的双曲线方程（学生的答案大多数为）xaby12222 by ax6（3）能否再写出一个渐近线方程为的双曲线方程？（受教师的启发，学生大xaby胆探究，很快得另解为）)0( 12222 by ax（4）渐近线方程为的双曲线方程可以统一用一个方程表示吗？（学生纷纷发xaby表自己的见解，得出答案就是)0( 12222 by ax（5）还有更好的表示形式吗？，若有，找出它与渐近线方程的区别。学生兴奋到了极点，跃跃欲试，积极观察、猜想，终于找出来了，即是渐近线方程为的双曲线方程为。0by ax)0(2222 by ax学生如释放重负，却有一种成功的喜悦！思维创造性的火花也已点燃。这样，在完成P114 题 2（4）求渐近线方程为且经过的双曲线的标准方程时避免了讨论，xy32 1,29M轻松多了，有一种得心应手的感觉。培养了学生的探索精神和猜想能力，让学生的创新思维在实践中得到锻炼，在实践中绽放出创新之花！总之，在全面推进素质教育的今天，教学中要对例习题进行全面合理的设计，面向全体学生，充分发挥例习题的内在潜能，不仅使学生听懂，而且还要拓展学生数学思维，培养学生的创新能力！参考文献：金立荣 洪秀满.用新课程理念丰富数学活动课的教学.中学数学.2003.12 7
