热工测量及自动调节2第二章 测量误差分析与处理

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1、第二章 测量误差分析与处理,当对同一量行多次等精度重复测量，得到一系列不同的测量值，称为测量列。 利用统计学的方法，从理论上来估计随机误差对测量结果的影响，也就是首先从测量列中求得一个最优概值，然后对最优概值的测量误差作出估计，得出测量值，这就是数据处理。,第一节 随机误差的分布规律,一、随机误差的正态分布性质 测定值的随机性表明了测量误差的随机性质。 随机误差就其个体来说变化是无规律的，但在总体上却遵循一定的统计规律。,测量列中的随机误差：i = X0 式中,i 测量列的随机误差，i = 1，2，3，n； 测量列的测量值；X0 被测量的真值。,随机误差分布的性质 有界性：在一定的测量条件下，

2、测量的随机误差总是在一定的、相当窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率接近于零。 单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小，绝对值为零的误差出现的概率比任何其它数值的误差出现的概率都大。,对称性：绝对值相等而符号相反的随机误差出现的概率相同，其分布呈对称性。 抵偿性：在等精度测量条件下，当测量次数不断增加而趋于无穷时，全部随机误差的算术平均值趋于零。,正态分布的分布密度函数为式中， 标准误差（均方根误差）；e 自然对数的底。 如用测定值x本身来表示，则,二、正态分布密度函数与概率积分,对于一定的被测量，在静态情况下，X0是一定的，的大小表征着诸测定值的弥散程度。 值越

3、小，正态分布密度曲线越尖锐，幅值越大；值越大，正态分布密度曲线越平坦，幅值越小。 可用参数来表征测量的精密度，越小，表明测量的精密度越高。,并不是一个具体的误差，它的数值大小只说明了在一定条件下行一列等精度测量时，随机误差出现的概率密度分布情况。 在一定条件下行等精度测量时，任何单次测定值的误差i可能都不等于，但我们认为这列测定值具有同样的均方根误差；而不同条件下行的两列等精度测量，一般来说具有不同的值。,随机误差出现的性质决定了人们不可能正确地获得单个测定值的真误差i的数值，而只能在一定的概率意义之下估计测量随机误差数值的范围，或者求得误差出现于某个区间的概率。,将正态分布密度函数积分概率积

4、分,若令a=z，则,第二节 直接测量误差分析与处理,子样平均值：代表由n个测定值x1, x2, , xn组成的子样的散布中心子样方差：描述子样在其平均值附近散布程度,一、算术平均值原理,测定值子样的算术平均值是被测量真值的最佳估计值。 算术平均值的意义设x1、x2、，xn为n次测量所得的值，则算术平均值 为,算术平均值的性质用算术平均值代替被测量的真值，则有式中 vi 的剩余误差； 第i个测量值，i=1，2，n。,（1）剩余误差的代数和等于零，即（2）剩余误差的平方和为最小，即,测定值子样平均值（算术平均值）的均方根误差是测定值母体（测量列）均方根误差的 倍。在等精度测量条件下对某一被测量行多

5、次测量，用测定值子样平均值估计被测量真值比用单次测量测定值估计具有更高的精密度。,二、贝塞尔公式,因为真值X0为未知，所以必须用残差vi来表示，即此式称贝塞尔公式。,三、测量结果的置信度,假设用 对X0行估计的误差为 ，那么 。对于某一指定的区间, ， 落在该区间内的概率为 。同样地，可以求得测定值子样平均值 落在区间X0, X0的概率为。,表示“测定值子样平均值这一随机变量出现于一个固定区间内 ”这一事件的概率；表示“在宽度一定作随机变动的随机区间 内包含被测量真值”这一事件的概率。,定义区间 为测量结果的置信区间，也称为置信限 为置信区间半长，也称为误差限 概率 为测量经过在置信区间 内的

6、置信概率。 危险率：,置信区间与置信概率共同表明了测量结果的置信度，即测量结果的可信程度。 对于同一测量结果，置信区间不同，其置信概率是不同的。 置信区间越宽，置信概率越大；反之亦然。,一列等精度测量的结果可以表达为在一定的置信概率之下，以测定值子样平均值为中心，以置信区间半长为误差限的量测量结果子样平均值置信区间半长（置信概率P？）,例题1：,在等精度测量条件下对某透平机械的转速行了20次测量，获得如下的一列测定值（单位：r/min）4753.1 4757.5 4752.7 4752.8 4752.14749.2 4750.6 4751.0 4753.9 4751.24750.3 4753.

7、3 4752.1 4751.2 4752.34748.4 4752.5 4754.7 4650.0 4751.0试求该透平机转速（设测量结果的置信概率P95）。,在实际测量工作中，并非任何场合下都能对被测量行多次测量，而多为单次测量。如果知道了在某种测量条件下测量的精密度参数，而且在同样的测量条件下取得单次测量的测定值，那么单次测量情况下测量结果的表达式为： 测量结果单次测定值置信区间半长 （置信概率P？）,例题2：,对例1所述的透平机转速测量，设测量条件不变，单次测量的测定值为4753.1 r/min，求该透平机转速（测量结果的置信概率P95）。,在同样的置信概率下，用单次测定值表示测量结果

8、比用多次测量所获得的测定值子样平均值表示的误差大。,四、测量结果的误差评价,标准误差 将定义为测量列的标准误差 将 定义为子样平均值的标准误差 测量列中随机误差不大于的概率为,若测量结果用单次测定值表示，误差限采用标准误差，则测量结果单次测定值x标准误差 （P=68.3%） 若测量结果用测定值子样平均值表示，误差限采用标准误差，则测量结果子样平均值 标准误差（P=68.3%）,极限误差 测量列标准误差的三倍，定义为测量列的极限误差子样平均值的极限误差与测量列极限误差的关系是,五、小子样误差分析与t分布,当测量次数很少时，子样平均值的标准误差很不准确，并且子样容量愈小，这种情况就愈严重。为了在未

9、知的情况下，根据子样平均值估计被测量真值，就须考虑一个统计量。它的分布只取决于子样容量n，而与无关。这时需引入统计量t。,定义t为t不服从正态分布，而服从t分布，其概率密度函数为式中， 是特殊函数，v是正整数，称为t分布的自由度。,当行n次独立测量时，由于t受平均值的约束，服从自由度为n1的t分布，所以 n1。 t分布与母体均方根误差无关，只与子样容量n有关。,t分布的概率密度函数t0为对称。 当自由度v趋于无穷大时，t分布趋于标准正态分布。,自由度为v的t分布在区间tp，tp内的概率为P：,表中列有在各种自由度和置信概率下，满足式 的tp值。它表明自由度为v的t分布在区间tp，tp内的概率为

10、P。 假设一列等精度独立测定值x1，x2，xn服从正态分布，真值和均方根误差均未知。根据这一列测定值可求得算术平均值及其均方根误差的估计值：,由于 服从自由度v = n1的t分布，所以可用上式做以下的概率描述或测量结果可表示为：测量结果,例3,用光学高温计测量某金属铸液的温度，得到如下5个测量数据（）： 975，1005，988，993，987设金属铸液温度稳定，测温随机误差属于正态分布。试求铸液的实际温度（取P95）。,解：根据P95和v4，查表得tp2.78，则测量结果为,上例用t分布求取得到的置信温度区间是976.6, 1003，若用正态分布求取相同置信概率下的置信温度区间是980.6,

11、999.0，这要比由t分布求得得区间小。 这表明，在测量次数较少的情况下，用正态分布计算误差限，往往会得到“太好”的结果，夸大了测量结果的精密度。因此，对小子样的误差分析，应采用t分布处理。,第三节 间接测量误差分析与处理,在间接测量中，测量误差是各个测量值误差的函数。因此，研究间接测量的误差也就是研究函数误差。 研究函数误差有下列三个基本内容： 已知函数关系和各个测量值的误差，求函数即间接测量值的误差。 已知函数关系和规定的函数总误差，要求分配各个测量值的误差。 确定最佳的测量条件，即使函数误差达到最小值时的测量条件。,一、误差传布原理,设间接测量值y是直接测量值x1，x2，xm的函数，其函

12、数关系的一般形式可表示为 y = f（x1，x2，xm） 假定对x1，x2，xm各行了n次测量，那么每个都有自己的一列测定值1，2，n，其相应的随机误差为 ， ， ， 。,若将测量x1，x2，xm时所获得的第一个测定值代入函数关系式，可求得间接测量值的第一个测定值y1，即 y1 = f（x11，x21，xm1） 由于测定值x11，x21，xm1与真值之间存在随机误差，所以y1与真值之间也必定有误差，记为y1。由误差的定义，上式可写为Y+y1=f（X1+11 , X2 +21 , Xm+m1 ）,若 较小，且诸是彼此独立的量，将上式按泰勒公式展开，并取其误差的一阶项作为一次近似，略去一切高阶误差

13、项，那么上式可近似写成,同样地，将测量x1，x2，xm时所获得的第二、第三，直至第n个测定值分别代入函数关系式，可得 ,将上述各式相加并除以n，可求得间接测量值的算术平均值 ，也就是y的最优概值,式中， 正好是测量xm时所得一列测定值的算术平均值 的随机误差，记为 ，所以,另一方面，将直接测量x1，x2，xm所获得的测定值的算术平均值 ， , 代入函数关系式，并将其在x1，x2，xm的邻域内用泰勒公式展开，可有,将上两式行比较，可得 由此可得出结论：间接测量值的最佳估计值可以由与其有关的各直接测量值的算术平均值代入函数关系式求得。,并且可以知道，直接测量值x1，x2，xm第j次测量获得的测定值

14、的误差 ， ， 与其相应的间接测量值y的误差 之间关系应为,假定 的分布服从正态分布（只有当y与x1，x2，xn之间存在线性关系时，这种假设才成立，否则只是近似成立），那么可求得y的标准误差,其中,根据随机误差的性质，若直接测量值彼此独立，则当测量次数无限增加时，必有（ik）所以,则而 正好是第i个直接测量值的标准误差的平方 ，因此可得出间接测量值的标准误差 与诸直接测量值的标准误差之间如下的关系：,式中， 称为误差传递系数， 称为自变量的部分误差，记为Di。由此可得出结论：间接测量值的标准误差是各独立直接测量值的标准误差和函数对该直接测量值偏导数乘积的平方和的平方根。,以上两个结论是误差传布原理的基本内容，是解决间接测量误差分析与处理问题的基本依据。它们还可以推广到描述间接测量值算术平均值的标准误差和各直接测量值算术平均值的标准误差之间的关系,有时，测量结果的误差用相对误差的形式描述更合适。如果以间接测量值的算术平均值作为约定值，那么间接测量值y的实际相对误差 为式中， 是直接测量值的实际相对误差,最后，应指出以下两点：1上述各公式是建立在对每一独立的直接测量值行多次等精度独立测量的基础上的，否则，上述公式严格地说将不成立。2对于间接测量值与各直接测量值之间呈非线性函数关系的情况，上述公式只是近似的，只有当计算y的误差允许作线性近似时才能使用。,