《物理竞赛辅导力学讲座[3]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《物理竞赛辅导力学讲座[3]（68页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二、历届物理竞赛选题分析（一）,第28届：1，必做,较简单的方法是取倾斜坐标系,解,x轴：沿射线OM向右,该坐标系中，小球做上抛运动，但重力加速度斜指向下。两坐标轴上的加速度分别为,y轴：沿初速度 向上,x,g,gcos,gsin,90,得速度：,得位置：,g,gcos,gsin,90,小球到达射线OM即是小球在倾斜坐标系中重新落回x轴,在位置表达式中令：,得这一点对应的时刻（舍去t=0）：,把这个时间代回速度公式得：,本题结束,第29届：1，必做,解,此题考查基本内容,在题中坐标系内，抛体位置公式,令,得落地时刻为,舍去初始点,把这个时间带入x公式即得水平射程,（2）,由上式，相同初速v0下
2、，不同抛射角的的射程比为,在（2）式中令,得,由（1）式，水平射程取最大值时,第一空结束,（1）,在（2）式中令,得,第二空结束,第29届：2，必做,解,此题考查质心运动定理,x,y,建立如图坐标系，两物体位置可表为：,物块1,物块2,得质心位置为,物块2在x方向的加速度,质心加速度,物块1在y方向的加速度,（1）,对两物块使用牛顿定律,物块1,物块2,绳不可伸长，因此物块1沿x轴正向的加速度与物块2沿y轴负向的加速度必相等，因此必有,（2）,（3）,（4）,（5）表明物块1加速度沿y轴负向（向下），物块2加速度沿x轴正向（向右）。由（1）和（5）式得质心加速度大小为,（2）、（3）、（4）联
3、立得,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,第一空结束,第二空：求物块2到桌边时的质心速度大小,第二空结束,物块2到桌边时物块1下降了高度l，这过程机械能守恒：,由此得到：,（6）,第27届：17,式中2是因为两小球同时下滑,x,y,X,x,y,L,在木块参照系中，小球受四个力的作用，即重力、杆的弹力，木块的支持力和惯性力。小球在该系中沿斜面下滑。,（1）,以右侧小球为例,解,小球下落时弹簧的压缩量,设小球相对地面坐标为。,小球相对木块坐标为,木块相对地面坐标为,右侧小球在木块参照系中的运动服从牛顿定律：,x,y,x 方向：,y 方向：,右球受到的弹簧力,右木块对右球支持力的水平分量,惯性力
4、,右球的重力,（2）,右木块对右球支持力的竖直分量,（3）,与此同时，右木块相对地面加速运动：,（4）,右球在地面和右木块两个参照系中的水平方向速度满足伽利略变换：,两边求导得：,（5）,右球在右木块参照系中必须沿斜面下滑，因此：,（6）,x,y,X,x,x,由（2）(6)共五个方程消去x、X、y、N得：,这是一个简谐振动方程，求解得：,振动的角频率为：,（7）,（7）式表明右球在水平方向做简谐振动，,振动的平衡点在,（9）,（8）,进一步确定振幅A和初相位 需要利用初始条件,为什么？,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,由初始时小球静止在木块顶端，则：,由此初始条件得到：,最后确定得：,
5、（10）,把（10）代入（5），再利用（2）和（4）即可确定N,（11）,由（11）式有,，即小球不会离开斜面,把（10）和（11）代回（3）（5）三式可以证明X和y的运动形式都带有振动特征。,（2）,（4）,（5）,找出N第二次达到极大值时杆长，这即为这时刻x值二倍。,但这一x值是杆的自由长度2L的函数，L必须首先确定。依题意，L为木块高度。因此，要先确定木块高度，它即为小球落地时的 y 值。,把（11）式代入（3）式，积分两次并代入初始条件：,得到 y 的表达式：,（12）,小球落地时t 值确定后即可由（12）式确定木块高度L：,本题所求：,右图为N（t）的图形，依题意，小球开始下落后N达
6、到第二次极小值时小球落地，这点在,把这个值代入（12）式得木块高度：,0,1,处。,小球落地,N第二次达到极大值处,最后求N达到第二个极大值时的杆长。由图可知，这点在：,（13）,处。,把这个值和（13）式代入（10）即可得到此时的杆长为：,0,1,小球落地,N第二次达到极大值处,本题结束,第28届：2，必做,解,平行轴定理,因此，Imin应在三角形边的中点（第一空答案）,d为偏心转轴到质心的距离，d大者I也大,同理，Imax应在三角形顶点,（第二空答案）,本题结束,第28届：14，刚体滚动,解：,（1）,摩擦因数取值范围决定于三个因素： 正压力、小球的加速度、运动必须为纯滚动,运动必须为纯滚
7、动,1.斜面段,斜面与小球间的静摩擦力为 f1,（2）,质心运动满足：,（3）,转动满足：,（1）、（2）、（3）消去1、a1得：,（4）,（4）式为使小球作纯滚动所需的最小静摩擦力，当摩擦力小于这个值时，发生滑动。因此，斜面所能提供的最大静摩擦力必须大于这个值，即,得：,此为1的取值范围,初始机械能,小球任意时刻的机械能守恒方程：,（5）,小球整个运动过程中只有静摩擦，故机械能守恒贯穿始终：,（6）,质心动能,绕质心转动能,重力势能,2.圆弧段,圆弧面与小球间的静摩擦力为 f2,由图，圆弧段小球转过角时的y坐标,（7）,（7）代入（6）得,（8）,此为小球转过角时的速度,处小球的切向加速度满
8、足,小球和圆弧间的静摩擦力,处小球的角加速度满足,（9）,（10）,（9）、（10）消去得at,（11）,（11）式为圆弧段所需的最小静摩擦力。仿照斜面段的讨论，圆弧段所能提供的最大静摩擦力必须大于这个值,再把（8）代入上式得,右边最大值出现在,因此,水平面无加速度，故,即可,本题结束,向心力,第27届：14,各段对应的物理量符号见图,球1,(1),S,S,S,S,t1,t1,t2,t2,a,a,a,a,v1,v2,(2),解方程得：,(3),(4),解,（1）,（1）两小球下落时间,球2,S,S,S,S,t1,t1,t2,t2,a,a,a,a,v1,v2,解方程得：,(5),(6),两小球下
9、落所用时间不同！球1慢于球2,取A为转轴，在0T0时间内，体系关于A点的总力矩为零,t1,t2,取球2下落时间为T0,解,根据前面的结果,两球同时分别到达B1、B2。因此0T0时间分为两段,mg,mg,第一段：0t1,此阶段两小球下落中相对中线AC的水平距离永远相同，两球由于重力对A点的力矩永远平衡，故此阶段C点不受力。,（2）0T0时间内C点受到的水平力,此阶段球1初速较慢，总比球2更远离AC线,mg,mg,第二段： t1 T0,设逆时针转动为正，力矩平衡方程：,球1重力产生的力矩球2重力产生的力矩。两力矩的差由C点提供的力矩平衡,x1,x2,球1的力矩,球2的力矩,C点的力矩,x1、x2取
10、绝对值,（7）,根据前面的结果,mg,mg,上面两式代入（7）得：,x1,x2,a,a,负号代表C点的力带来负向的力矩，即使框顺时针方向转动,本题结束,第26届：13,月球实际轨道半径为rm,M,m,r0,rm,C,（1）在质心系中，质心C的坐标为零,M,m,C,rm,r0-rm,月球绕轨道旋转,向心力=地球引力,月球绕行周期：,天,(2) T0与 的差异的主要原因是未记入地球绕太阳的公转。,(3) T0 时间内月球相对地球旋转一周，但地球相对太阳向前旋转一定角度。,初始位置,太阳,地球,月球,地球轨道,0,经T0时间后的位置,太阳,地球,月球,地球轨道,经 时间后的位置,(4) 在 时间内，
11、地球绕太阳转过的角度为 。,在 时间内，月球相对地球转过的角度为,以上两式联立消去,天,本题结束,第23届：1，碰撞问题,第23届：1，碰撞问题,解：,（1）P与BC和CD两边碰撞为弹性则：,反射角=入射角,a,b,由三角形相似,（1）,（2）,两方程联立消去b得：,（2）所用时间,本题结束,由几何关系和勾股定理得,第23届：4，力的平衡问题,第23届：4，力的平衡问题,解：,杆AB受四个力的作用,以B为转动轴，杆所受力矩平衡：,（3）,开始滑动时，Nx, Ny满足：,（4）,上述方程联立，解得：,瘦男子,以B为转动轴，杆所受力矩平衡：,（3）,开始滑动时，Nx, Ny满足：,（4）,上述方程
12、联立，解得：,本题结束,第22届：18，约束问题,第22届：18，约束问题,杆AB与圆环间无滑动，细杆离开圆环前每一时刻都可看成绕与圆环的接触点P的转动（转动瞬心）。质心C所走的路径为圆的渐开线。,解：,当转过角时，杆的转动轴移到P点，转动惯量变为：,杆在初始点的转动惯量为：,平行轴定理,P点处无滑动，故机械能守恒，任意角度下的角速度满足：,机械能守恒,得到,任意时刻，质心C相对P点的加速度为：,切向,法向,P点为杆所受外力的唯一作用点。由质心运动定理，质点C的运动由P点的力决定。P点力的两个分量，乃至质点C的加速度的两个分量满足关系：,当B点接触圆环时，杆绕圆环转过得角度满足：,因此：必须满
13、足：,本题结束,李长江：p47，2.3.3,解. 飞船转动惯量,初始时两质点的转动惯量,初始时系统角动量,末态时系统角动量,系统角动量守恒：,（1）,系统机械能守恒：,（2）,联立解出：,本题结束,李长江：p50，2.3.7,水平面上的细杆系列,思路：欲使小球穿出细杆系列，必须使小球与第一根细杆作用完毕后，恢复到初态，以原速与第二根细杆发生碰撞。-,小球M越过第一根杆后向第二根杆冲去，重复前述过程，穿出细杆阵列,小球M与一根杆先后两次碰撞的过程,小球与第1杆的第一次碰撞,小球与第1杆的第二次碰撞,(1),系统的合外力矩为零，系统对任意空间点角动量守恒，因而对第1杆质心的角动量守恒：,完全弹性碰
14、撞机械能守恒：,独立方程（1）（2）（3）联立解出3个未知量：VC, 和质量比M/m. 题目未要求VC, 两项，可先消去，直接求得M/m:,可见，小球与每一根细杆经历两次碰撞后，速度复原，再与下一细杆重复上述过程。因而可以穿出细杆阵列。每一根细杆经两次碰撞后停止运动。,本题结束,第24届（4）,（1）当柱体与斜面间没有摩擦时，柱体只受重力和斜面支承力的作用，合力沿斜面向下：,柱体此时相当于一个质点沿无摩擦斜面下滑，柱体不发生滚动，运动的动力学方程为：,t0时刻速度为：,x,（2）当柱体与斜面间有摩擦系数时，斜面对柱体增加一个沿斜面向上的摩擦力，质心运动的动力学方程变为：,柱体此时发生滚动，滚动
15、的角加速度满足转动定律：,由（1）可得t0时刻柱体质心速度为：,（1）,x,R,（2）,此时柱体质心速度较小，但增加了绕质心的滚动,（3）,把（2）得到的角加速度对时间积分得到柱体在t0时的角速度：,该角速度带来柱体与斜面接触点相对质心向后运动，其相对质心的速度为：,vr方向沿斜面向后，则接触点处柱体边缘相对斜面的速度为：,（4）,（5）,（6）,x,R,v随的增加而减小，当v=0时，柱体运动为纯滚动，令（6）中v=0，得临界值0满足：,把该值代回方程（3），得此情形下t0时质心的速度为：,（7）,x,R,第一空,第二空,本题结束,第二十一届大学生物理竞赛：,填空 : 2.,填空 : 2.,解：t0时小球在水平方向向右运动，半圆柱向左运动。,第二十一届大学生物理竞赛：,小球相对地面的运动速度,半圆柱相对地面的运动速度,小球在随半圆柱运动的参照系中沿圆形轨道运动：,小球竖直坐标,x 轴水平向右，体系在水平方向动量守恒：,（2）,把（1）带入（2）消去 X：,第一空结束,若半圆柱固定，小球下滑过程中机械能守恒：,小球下滑过程中向心力为由其重力的沿半径方向分量提供，脱离半圆柱时：,
