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1、第2章 线性电路的暂态过程,2.1 换路定律及电路初始条件的确定 2.2 一阶电路的零输入响应 2.3 一阶电路的零状态响应 2.4 三要素法,2.1换路定律及电路初始条件的确定,前面各章所研究的电路，无论是直流电路，还是周期性交流电路，所有的激励和响应，在一定的时间内都是恒定不变或按周期规律变动的，这种工作状态称为稳定状态，简称稳态。然而，实际电路经常可能发生开关的通断、元件参数的变化、连接方式的改变等情况，这些情况统称为换路。电路发生换路时，通常要引起电路稳定状态的改变，电路要从一个稳态进入另一个稳态。由于换路引起的稳定状态的改变，必然伴随着能量的改变。在含有电容、电感储能元件的电路中，这
2、些元件上能量的积累和释放需要一定的时间。如果储能的变化是即时完成的，这就意味着功率为无限大，这在实际上是不可能的。也就是说，储能不可能跃变，需要有一个过渡过程。这就是所谓的动态过程。实际电路中的过渡过程往往是短暂的，故又称为暂态过程，简称暂态。,返回,下一页,2.1换路定律及电路初始条件的确定,电路的暂态过程虽然比较短暂，但对它的研究却具有重要的实际意义，因为电路的暂态特性在很多技术领域中得到了应用，例如，在控制设备中常利用这些特性来提高控制速度和精度；在脉冲技术中利用这些特性来变换和获得各种脉冲波形等。另一方面，由于有些电路在暂态中会出现过电流或过电压，认识其规律有利于采取措施加以防范。2.
3、1.1换路定律换路时，由于储能元件的能量不会发生跃变，故形成了电路的过渡过程。对电容元件而言，储有电场能量，其大小为 ；对电感元件而言，储有磁场能量 。从另一角度理解，对电容元件，其充、放电电流 不能无限大，所以电容电压不能跃变；对电感元件，其两端电压 不能无限大，所以电感电流不能跃变。,返回,下一页,上一页,2.1换路定律及电路初始条件的确定,电路在换路时能量不能跃变具体表现为：换路瞬间，电容两端的电压不能跃变；通过电感的电流不能跃变。这一规律是分析暂态过程的很重要的定律，称为换路定律。用表示换路前的瞬间，表示换路后的瞬间，换路定律可表示为（2-1）式（2-1）是换路定律重要的表达式，它仅适
4、用于换路瞬间，即换路后的瞬间，电容电压和电感电流都应保持换路前的瞬间具有的数值而不能跃变。而其他的量，如电容上的电流 、电感上的电压、 电阻上的电压和电流都是可以跃变的，因此它们换路后一瞬间的值，通常都不等于换路前一瞬间的值。,返回,下一页,上一页,2.1换路定律及电路初始条件的确定,2.1.2初始状态的确定 电路的暂态过程是指换路后瞬间（ ）开始到电路达到新的稳定状态（ ）时结束。换路后电路中各电压及电流将由一个初始值逐渐变化到稳态值，因此，确定初始值 和稳态值 是暂态分析的非常关键的一步。式（2-1）是计算换路时初始值的根据，又称为初始条件。要计算电路在换路时各个电压和电流的初始值，首先根
5、据换路定律得到电感电流或电容电压的初始值，再根据基尔霍夫定律计算其他各个电压和电流的初始值，现将根据换路定律确定电路初始值的步骤归纳如下：（1）作出 时的等效电路，求 和 ；（2）根据换路定律确定 和 ；（3）作出 时的等效电路，对于电容元件，若 =0，,返回,下一页,上一页,2.1换路定律及电路初始条件的确定,则电容等效为短路，若 ，则把电容等效为电压源，其电压为；对于电感元件，若 =0，则电感等效为开路，若 ，则把电感等效为电流源，其电压为 。再用直流电路的分析方法计算各个量的初始值。例2-1 如图2-1（a）所示电路原已稳定。求开关刚闭合时各电压、电流的初始值。已知Us=12V，R100
6、 ，r100 。设电容、电感初始储能均为零。解 （1）如图2-1（b）所示，t时，开关未闭合，原电路已稳定且储能元件的初始储能为零，故 ， 。（2）t= 时，开关已闭合，根据换路定律,返回,上一页,下一页,2.1换路定律及电路初始条件的确定,（3）t= 时等效电路如图2-1（c）所示，其它各电压、电流的初始值可根据t 时的等效电路求得。此时，因为 ，所以在等效电路中电容相当于短路，电感相当于开路。故有,返回,上一页,下一页,2.1换路定律及电路初始条件的确定,例2-2 电路如图2-2（a）所示，开关S闭合前电路已稳定，已知US=10V，R130 ，R2=20 ，R3=40 。t=0时开关S闭合
7、，试求 及。解（1）首先 求 及S闭合前电路已处于直流稳态，故电容相当于开路，电感相当于短路，据此可画出 时的等效电路，如图2-2（b）所示。（2）根据换路定律，有,返回,上一页,下一页,2.1换路定律及电路初始条件的确定,（3）作出t 时刻的等效电路，将电感用0.2A电流源替代，电容用4V电压源替代，得t 时刻的等效电路，如图2-2（c）所示。故,返回,上一页,2.2 一阶电路的零输入响应,一阶电路中仅有一个储能元件（电感或电容），如果在换路瞬间储能元件原来就有能量储存，那么即使电路中并无外施电源存在，换路后电路中仍有电压、电流。这是因为储能元件所储存的能量要通过电路中的电阻以热能的形式放出
8、。2.2.1RC电路的零输入响应电路如图2-3所示，开关S在位置1时，电容C已被电源充电到U0，若在时把开关从位置1打到位置2，则电容C与电阻R相联接，独立电源US 不再作用于电路，此时根据换路定律，有，电容C将通过电阻R放电，电路中的响应完全由电容电压的初始值引起，故属于零输入响应。电压 和电流 都是随时间按指数规律不断衰减的，最后应趋于零。它们的波形分别如图2-4（a）、（b）所示。,返回,下一页,2.2 一阶电路的零输入响应,事实上，在 为定值时，电容 值越大，储能就越多，放电时间越长；电阻 越大，放电电流越小，放电时间也越长。反之， 越小，衰减就越快，暂态过程就越短。 对暂态过程的影响
9、如图2-5 所示。现将所对应的列于表2-1中。例2-3 电路如图2-6所示，设换路前电路已处于稳态,且R1=1k ，R2=2k ， R3=5k ，C=1 ，电流源的电流。 当t=0时，将开关S合向2端，求换路后 、 的时域响应。.2.2.2 RL电路的零输入响应在图2-7（a）所示的电路中，设开关S原先是断开的，电路已稳定，则L相当于短路，此时电感中的电流为 。在t=0时将开关闭合， ，此时，电感元件储有能量。它将通过 放电，从而产生电压和电流，如图2-7（b）所示。可见，电感电流和电感电压都是从初始值开始。随时间按同一,返回,下一页,上一页,2.2 一阶电路的零输入响应,指数规律衰减的，它们
10、随时间变化的曲线如图2-8所示。需要指出的是：在过渡过程中，由于电流在减小，这时线圈两端所产生的感应电压的极性与图中所示参考方向相反。例2-4 图2-9所示电路中， 时开关S断开，电路已处于稳态， 时开关S闭合，求开关S断开后的 和解 换路前，电感L相当于短路，得在换路后，时间常数为,返回,上一页,下一页,2.2 一阶电路的零输入响应,根据换路定律，有 据式（2-10）得,返回,上一页,2.3 一阶电路的零状态响应,所谓零状态响应，就是电路中储能元件上的初始储能为零，即 ， 换路后，仅由外施激励而引起的电路响应。外施激励可以是恒定的电压或电流，也可以是变化的电压或电流。2.3.1 RC电路的零
11、状态响应在图2-10所示的RC电路中，开关原处于断开状态，电容的初始值为零，即 ，和 随时间变化的曲线如图2-11所示。例2-5 电路如图2-12所示， US=9V，R1=6k ，R2=3k ,C=0.01uF,=0。求S接通后的电容电压 。解 由图可知，电容元件初始储能为0，即，故为零状态响应，下面求开关闭合后，电容电压的稳态值，稳态时电容相当于开路，则有,返回,下一页,2.3 一阶电路的零状态响应,计算电路的时间常数将所求参数代入式（2-15）得2.3.2 RL电路的零状态响应图2-13所示RL串联电路，在接通直流电源前，电路中没有储存能量，根据换路定律有 ，所以称电路处,返回,下一页,上
12、一页,2.3 一阶电路的零状态响应,于零状态。在 时，开关闭合。 电路换路后，根据KVL，列回路电压方程为 将 和 代入上式得(2-16) 式（2-16）为一阶线性常系数非齐次微分方程，解此方程可得 （ ） （2-17）其中 是电路的时间常数 电阻上的电压（ ） （2-18） 电感上的电压（ ） （2-19）,返回,上一页,下一页,2.3 一阶电路的零状态响应,的曲线如图2-14（a）、（b）所示例2-6在图2-15（a）中 电流源 。当开关闭合后( 求电流 (设线圈间无互感)。解 电感等效电路如图2-15（b）所示，电感电流的初始值为零，即 ，开关S闭合后，电感电流的稳态值为下面求电路的时间
13、常数。注意求电路时间常数时应将电路中的电源除去，即理想电压源短路，理想电流源开路，则时间常数为于是,返回,上一页,2.4 三要素法,从前面求解一阶电路的响应中可以归纳出，一阶电路中各处电压或电流的响应都是从初始值开始，按指数规律逐渐增加或衰减到新的稳态值，其从初始值过渡到稳态值的时间与电路的时间常数 有关。因此，一阶电路的响应都是从由初始值、稳态值及时间常数这三要素决定的。这样求解一阶电路响应的方法称为三要素法。设 为电路的响应（电压或电流）， 表示电压或电流的初始值， 表示电压或电流的稳态值，表示换路后电路的时间常数，则一阶电路的响应可表示为求解一阶电路动态响应的三要素法步骤如下：(1)确定
14、初始值1)先作 等效电路（电容视为开路，电感视为短路），确定换路前 、 。2)由换路定律得 ， 。3)作 等效电路,返回,下一页,2.4 三要素法,对于电容器，若 ，则 可用电压为 的电压源来代替；若 ，则 视为短路。对于电感器，若 ，则 L 可用电流为 的电流源来代替，若 ，则 L视为开路。4)在 等效电路中，求其他电压或电流的初始值（2）确定稳态值 。作 电路，暂态过程结束后，电路进入新的稳态，此时，C视为开路，L视为短路。在此电路中，求各电压或电流的稳态值。（3）求时间常数 。RC在电路中， ；RL在电路中， 。其中是将电路中所有独立源除去（即理想电压源短路，理想电流源开路）后，从C或L两端看进去的等效电阻（即戴维南等效电阻）。（4）由式（2-20）写出电路中电压或电流的响应表达式。,
