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1、高考数学复习的科学理念与方法,问题提出,意大利数学家卡当(1501-1576),他提出这样一个问题:掷一白一蓝两颗骰子,以两颗骰子的点数和打赌,你压几点最有利?卡当认为7最好?你认为呢?,考察两个试验,(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验 (2)掷一枚质地均匀的骰子的试验,正面向上 反面向上,六种随机事件,基本事件,(1)中有两个基本事件 (2)中有6个基本事件,特点,任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和,什么是基本事件?它有什么特点?,基础回顾,【问题1】字母a、b、c、d中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件?,解所求的基本事件共有6个:,
2、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等,具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型,概念辨析,【问题2】向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么?,解因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点,试验的所有可能结果数是无限的,虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”,但这个试验不满足古典概型的第一个条件。,【问题3】某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环、命中9环命中1环和不中环。你认为这是古典概型吗?为什么?,解不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有11个,而命中
3、10环、命中9环命中1环和不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件。,概念辨析,【问题4】在古典概型中,基本事件出现的概率是多少?随机事件出现的概率如何计算?,解(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验,P(“正面向上”)=P (“正面向下”),P(“正面向上”)+P (“正面向下”)=P (“必然事件”)=1,P(“正面向上”)=P (“正面向下”)=,(2)掷一枚质地均匀的骰子的试验,P(“1点”)= P(“2点”)= P(“3点”)= P(“4点”)= P(“5点”)= P(“6点”),P(“1点”)+P(“2点”)+P(“3点”)+P(“4点”)+P(“5点”)+P(“6点”)
4、=P(“必然事件”)=1,P(“1点”)= P(“2点”)= P(“3点”)= P(“4点”)= P(“5点”)= P(“6点”)=,P(“出现偶数点”)=P(“2点”)+P(“4点”)+P(“6点”) =,基础自测,1. 将一枚硬币先后抛掷两次,恰好出现一次正面的概率为_.2.甲、乙、丙、丁四人排成一行,甲不在两端的概率为 。3. 在50瓶饮料中,有3瓶已经过期了,从中任取一瓶,取得已过期的饮料的概率为 。,1/2,3/50,1/2,基础自测,4. 有数学、物理、化学、历史、政治五本课本,从中任取一本,取到理料课本的概率是 。5. 用2元钱购买一注6+1体育彩票,中特等奖的概率为 。6. 5
5、2张扑克牌中(除去大王和小王)任取4张,取到4个A的概率为 。,3/5,1/270725,1/10000000,复习1:什么是基本事件?什么是等可能基本事件?我们又是如何去定义古典概型?,在一次试验中可能出现的每一基本结果称为基本事件,若在一次试验中,每个基本事件发生的可能性都相同,则称这些基本事件为等可能基本事件,满足以下两个特点的随机试验的概率模型称为古典概型:所有的基本事件只有有限个每个基本事件的发生都是等可能的,(即试验结果的有限性和所有结果的等可能性。),复习2:求古典概型的步骤:,(1)判断是否为等可能性事件; (2)计算所有基本事件的总结果数n; (3)计算事件A所包含的结果数m
6、; (4)计算,例1.(摸球问题)一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球,从中一次摸出两个球。,求摸出的两个球一红一黄的概率。,问共有多少个基本事件;,求摸出两个球都是红球的概率;,求摸出的两个球都是黄球的概率;,典例剖析,例1.(摸球问题)一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球, 从中一次摸出两个球。,问共有多少个基本事件;,解:分别对红球编号为1、2、3、4、5号,对黄球编号6、7、8号,从中任取两球,有如下等可能基本事件,枚举如下:,(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(1,7)、(1,8),(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(2,7)、(2
7、,8),(3,4)、(3,5)、(3,6)、(3,7)、(3,8),(4,5)、(4,6)、(4,7)、(4,8),(5,6)、(5,7)、(5,8),(6,7)、(6,8),(7,8),7,6,5,4,3,2,1,共有28个等可能事件,28,例1.(摸球问题)一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球, 从中一次摸出两个球。,求摸出两个球都是红球的概率;,设“摸出两个球都是红球”为事件A,则A中包含的基本事件有10个,,因此,例1.(摸球问题)一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球, 从中一次摸出两个球。,求摸出的两个球都是黄球的概率;,设“摸出的两个球都是黄球” 为事件B,,故,则事件
8、B中包含的基本事件有3个,,例1(摸球问题)一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球, 从中一次摸出两个球。,求摸出的两个球一红一黄的概率。,设“摸出的两个球一红一黄” 为事件C,,故,则事件C包含的基本事件有15个,,摸出两个球都是红球的概率为,摸出的两个球都是黄球的概率为,摸出的两个球一红一黄的概率为,6 7 8 9 10 11,例2.(掷骰子问题)将一个骰子先后抛掷2次,观察向上的点数。问: (1)共有多少种不同的结果?(2)两数之和是3的倍数的结果有多少种?(3)两数之和是3的倍数的概率是多少?,第一次抛掷后向上的点数,1 2 3 4 5 6,第二次抛掷后向上的点数,6 5 4 3
9、2 1,解:(1)将骰子抛掷1次,它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6种结果,对于每一种结果,第二次抛时又都有6种可能的结果,于是共有66=36种不同的结果。,2 3 4 5 6 7,3 4 5 6 7 8,4 5 6 7 8 9,7 8 9 10 11 12,6 7 8 9 10,(2)记“两次向上点数之和是3的倍数”为事件A,,则事件A的结果有12种。,(3)两次向上点数之和是3的倍数的概率为:,解:记“两次向上点数之和不低于10”为事件B,,则事件B的结果有6种,,因此所求概率为:,变式1:两数之和不低于10的结果有多少种?两数之和不低于10的的概率是多少?,根据此表,我们还能得出那
10、些相关结论呢?,变式2:点数之和为质数的概率为多少?,变式3:点数之和为多少时,概率最大且概率是多少?,点数之和为7时,概率最大,,且概率为:,8 9 10 11 12 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7,变式4:如果抛掷三次,问抛掷三次的点数都是偶数的概率,以及抛掷三次得点数之和等于9的概率分别是多少?,分析:抛掷一次会出现6种不同结果,当连抛掷3次时,事件所含基本事件总数为6*6*6=216 种,且每种结果都是等可能的.,解:记事件E表示“抛掷三次的点数都是偶数”,而每次抛掷点数为偶数有3种结果:2、4、6
11、;,由于基本事件数目较多,已不宜采用枚举法,利用计数原理,可用分析法求n和m的值。,因此,事件E包含的不同结果有3*3*3=27 种,,故,记事件F表示“抛掷三次得点数之和为9”,,由于9126135144225234333,,记事件F表示“抛掷三次得点数之和为9”,,由于9126135144225234333,, 对于135来说,连抛三次可以有(1,3,5)、 (1,5,3)、(3,1,5)、(3,5,1)、(5,1,3)、(5,3,1)共有6种情况。【其中126、234同理也有各有6种情况】,对于225来说,连抛三次可以有 (2,2,5)、(2,5,2)、(5,2,2)共三种情况,【其中1
12、44同理也有3种情况】,对于333来说,只有1种情况。,因此,抛掷三次和为9的事件总数N3*63*2125种,故,基础训练,1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为_.,解析:因为三个人被选的可能性是相同的,而且基本事件是有限的,故是古典概型,基本事件为甲乙,甲丙,乙丙,故甲被选中有甲乙、甲丙,故p=2/3.,2. 袋中有2个白球,2个黑球,从中任意摸出2个,则至少摸出1个黑球的概率是_.,解析:该试验中会出现(白1,白2),(白1,黑1),(白1,黑2),(白2,黑1),(白2,黑2)和(黑1,黑2)共6种等可能的结果,所以属于古典概型,事件“至少摸出1个黑球”所含有的基本事件为
13、),(白1,黑1),(白1,黑2),(白2,黑1),(白2,黑2)和(黑1,黑2)共5种,据古典概型概率公式,得事件“至少摸出1个黑球”的概率是5/6.,基础训练,3. 一袋中装有大小相同,编号为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回的每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号之和不小于15的概率为_.,解析:基本事件为(1,1),(1,2), (1,8),(2,1),(2,2),(8,8),共64种。两球编号之和不小于15的情况有三种,分别为(7,8),(8,7),(8,8),所以p=3/64.,提高训练,4.有两颗正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投郑
14、这两颗正四面体玩具的试验:用(x,y)表示结果,其中x表示第一颗正四面体玩具出现的点数,y表示第二颗正四面体玩具出现的点数。试写出: (1)试验的基本事件; (2)事件“出现点数之和大于3”; (3)事件出现点数相同.,提高训练,解:(1)这个试验的基本事件的为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4) (2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件:(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3)
15、,(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)。 (3)事件“出现点数相等” 包含以下4个基本事件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),5.在连续两次掷一枚骰子的随机试验中,向上的点数之和是偶数的概率是多少?,(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6),分析1,提高训练,基本事件共有4个,即 (奇,奇)(奇,偶)(偶,奇)(偶,偶),分析2,6. 设集合A9,7,5,3,1,0,2,4,6,8,点 (,)的坐标,但,计算: (1)点(,)不在轴上的概率; (2)点(,)正好在第二象限的概率。,