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1、第3章 单相正弦交流电路,第3章 单相正弦交流电路,主要内容,第3章 单相正弦交流电路,重点：,2. 正弦量的相量表示,4. 电路定律的相量形式,1. 正弦量的表示、相位差,3. 独立元件伏安关系的相量形式,5. 阻抗及其串、并联,6. 交流电路的谐振,7. 交流电路的功率,返回,第3章 单相正弦交流电路,3.1 正弦交流电基本概念,下 页,上 页,返 回,1. 正弦量,(1)直流电：电压和电流的大小与极性（或电流的方向）是不随时间而变化的，称为直流电。,(2) 正弦交流电：电压和电流按照正弦规律周期性变化，称为正弦交流电或正弦量。,第3章 单相正弦交流电路,下 页,上 页,返 回,2. 正弦
2、量的三要素,正弦量的特征表现在大小、变化快慢和初始值三个方面，它们分别由幅值、频率和初相来确定，称为正弦量的三要素。,某一正弦电流的三角函数数学表达式（瞬时表达式）为：,式中，Im为幅值，为角频率，i为初相位。,正弦量在任一瞬时的值称为瞬时值，用小写字母i和u表示电流和电压。,第3章 单相正弦交流电路,下 页,上 页,返 回,正弦电流的波形如图所示。,(1)幅值（最大值）和有效值,波形,正弦量的最大瞬时值称为幅值，也称为最大值，表示交流电的强度，用带下标m的大写字母表示，如Im为幅值。,一个周期内与其热效率相同的直流电表示正弦量的有效值。用大写字母表示，如I。,第3章 单相正弦交流电路,下 页
3、,上 页,返 回,正弦交流电压的有效值与幅值之间的关系为：,(2)周期、频率和角频率,正弦量变化一次所需要的时间称为周期，用T表示，单位为秒(s)。,正弦量的幅值（最大值）是其有效值的 倍。有效值可以代替幅值作为正弦量的一个要素。通常所讲的正弦电压和电流的大小，都是指其有效值。,下 页,上 页,返 回,每秒内正弦量变化的次数称为频率，用f表示，单位为赫兹(Hz)。,第3章 单相正弦交流电路,正弦量在单位时间内变化的角度称为角频率，用表示，单位为弧度每秒(rad/s)。,周期、频率f和角频率三者之间的关系:,(3)初相位,正弦量随时间变化的角度称为相位角，简称相位。例如，正弦电流的相位为t+i
4、。,第3章 单相正弦交流电路,下 页,上 页,返 回,开始计时(t = 0)时的相位角称为初相位，简称初相，单位是弧度(rad)，也可用度()。例如，正弦电流的初相位为i 。,例3.1 已知 u(t)=Umsin(t+30) V，Um=311V，f=50Hz，试求有效值U、周期T、角频率 及 t=0.1s时的瞬时值u(0.1s)。,解：,第3章 单相正弦交流电路,下 页,上 页,返 回,3.同频率正弦量的比较,设两个同频率正弦电压u和电流i分别为：,两个同频率正弦量的相位角之差，称为相位差。用 表示。,同频率两正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与时间无关的常数。,第3章 单相正弦交流电路
5、,下 页,上 页,返 回,(1) 0， 则u超前i 一个角度,(3) =0，则u与i 同相位；=180，则u与i反相；=90，则u与i正交。,(2) 0， 则u滞后i 一个角度,在交流电路中，经常需要研究多个同频率正弦量之间的相位关系，为方便起见，可以选择其中某一个正弦量作为参考，取其初相角为0，称为参考正弦量。,第3章 单相正弦交流电路,下 页,上 页,返 回,例3.2 已知正弦电压和电流，,，试判断两个正弦量之间的,相位关系。,解：,相位差,则电压u超前电流i 60或电流i 滞后电压u 60 。,第3章 单相正弦交流电路,3.2 正弦量的相量表示,下 页,上 页,返 回,在分析正弦交流电路
6、时，经常遇到正弦量的运算。直接利用三角函数或波形图进行正弦交流电路的分析与计算将十分繁琐。因此，常用相量表示正弦量，这样就把三角函数运算简化成复数形式的代数运算，从而使计算得到大大简化。,1. 向量与复数,(1) 复数的代数形式(直角坐标形式),第3章 单相正弦交流电路,下 页,上 页,返 回,其a为实部，b为虚部；j为虚数单位，即,在复平面内表示为一点A。,(2) 复数的向量表示,复数A可以用一个从原点O到A点的向量OA来表示。,向量的长度r称为复数的模，向量与实轴正方向的夹角称为复数的辐角，且有,第3章 单相正弦交流电路,下 页,上 页,返 回,(3) 复数的三角形式、指数形式和极坐标形式
7、,根据欧拉公式,可得：,或简写为：,三角形式,指数形式,极坐标形式,(4) 复数的运算,复数在加减运算时，采用代数形式，只需实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。复数的加减也可以按平行四边形法则在复平面上用向量的相加和相减求得。,第3章 单相正弦交流电路,下 页,上 页,返 回,复数乘除运算采用极坐标形式或指数形式比较方便，只需模相乘(除) ，辐角相加(减)。,例3.3 已知,试计算,解：,第3章 单相正弦交流电路,下 页,上 页,返 回,2. 正弦量的相量表示,相量是用来表示正弦量的复数。,设有一正弦电压u，函数表达式如下,有一复数,，将其转化为三角形式为,比较可得：,由此可知，通过数学方法可
8、以把一个实数范围的正弦量与一个复数一一对应起来。,第3章 单相正弦交流电路,下 页,上 页,返 回,其中,它包含了正弦电压的有效值和初相两个要素。,注意：相量只是用来表征或代表特定频率的正弦量，而不等于正弦量。正弦量用相量表示后，正弦量的运算转化为复数运算。,是一个复数。,表征正弦电压u的复数 ，称为正弦电压u的有效值相量，简称相量。记做：,幅值相量：,下 页,上 页,返 回,例3.4 已知,试写出它们的相量。,解：,例3.5 已知,求：,解：,第3章 单相正弦交流电路,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,3. 相量图,相量也可以用复平面上的有向线段表示，这种用来表示相量的图形称
9、为相量图。,相量的模即正弦量的有效值，相量与正实轴的夹角即正弦量的初相角。在相量图上相量的加减运算符合平行四边形法则。,注意，只有同频率的正弦量才能画在同一个相量图上。,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,相量图如图所示。,例3.6 已知,求：,解：,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,3.3 单一参数交流电路,1. 电阻元件的交流电路,(1) 时域形式,(2) 相量形式,Um = RIm,U = RI,u = i,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,(3)波形图及相量图,例3.7 把一个100的电阻元件接到频率为50Hz、电压有效值为10V的正弦交流
10、电源上，问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为5000Hz，这时电流将为多少？,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,解：,接到50Hz电源上时，电流有效值为,因电阻元件的阻值与频率无关，所以电源频率改变为5000Hz时，电流有效值仍为：,2. 电感元件的交流电路,(1) 时域形式,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,(2) 相量形式,Um = LIm,U = LI,u = i + 90,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,(3) 感抗,在电感元件的交流电路中，电压和电流的幅值或有效值之比为L。L对交流电起阻碍作用，称为感抗。,感抗的单位为欧姆
11、()。,感抗XL与电感L和频率f成正比，频率越高，感抗越大；频率越低，感抗越小；频率为零，感抗为零。在直流电路中，电感元件相当于短路。,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,(4) 波形图及相量图,例3.8 有一电感线圈，可看成是0.1H的纯电感。将其接到频率为50Hz、10V的正弦交流电源上，问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为5000Hz，这时电流将为多少？,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,解：,当f = 50Hz时,可见，在电压值不变时，频率越高，通过电感电流的有效值越小。,当f = 5000Hz时,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电
12、路,3. 电容元件的交流电路,(1) 时域形式,(2) 相量形式,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,i = u + 90,(3) 容抗,在电容元件的交流电路中，电压和电流的幅值或有效值之比为1/C。 1/C 对交流电起阻碍作用，称为容抗。,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,(4) 波形图及相量图,容抗的单位为欧姆()。,容抗XC与电容C和频率f成反比，频率越高，容抗越小；频率越低，容抗越大；频率为零，容抗为无穷大。在直流电路中，电容元件相当于开路。,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,例3.9 有一25F的电容元件，将其接到频率为50Hz、10V的
13、正弦交流电源上，问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为5000Hz，这时电流将为多少？,解：,当f = 50Hz时,当f = 5000Hz时,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,当f = 5000Hz时,可见，在电压值不变时，频率越高，通过电容电流的有效值越大。,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,3.4 一般单相交流电路,1. 基尔霍夫定律的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：,KCL:,KVL:,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,例3.10 如图示电路
14、，已知,解：,求电流源电流is(t) 及其两端电压 u(t) 。,根据KCL，有,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,电流相量图如图所示。,根据KVL，有,电压相量图如图所示。,例3.11 图示正弦稳态电路中，电流表A1、A2的指数均为有效值，求电流表A的读数。,解：,设并联支路电压,如图所示，则有,第3章 单相正弦交流电路,下 页,上 页,返 回,故其有效值为,即电流表A的读数为14.1A。,另：直接用相量图求解。,第3章 单相正弦交流电路,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,2. 阻抗及其串、并联,(1) 阻抗,无源二端网络，端口电压相量
15、和电流相量之比称为复阻抗，简称阻抗。,阻抗用大写字母Z表示，即：,其中,为阻抗模，,为阻抗角。,阻抗的单位为欧姆（）。,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,阻抗在电路中的符号如图所示。,其中实部R称为等效电阻，虚部X称为电抗。,阻抗的代数形式为：,、R和X之间的转换关系为：,阻抗模|Z|与其电阻部分R、电抗部分X可以构成直角三角形关系，称为阻抗三角形。,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,阻抗角是电压与电流的相位差，反映了对应电路的性质。,如果 0，电压超前于电流 ，电路呈感性；,如果 0，电压滞后于电流 ，电路呈容性；,如果 =0，电压u与电流i 同相，电路呈纯
16、电阻性。,电压、电流相量图如图所示。,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,当n个阻抗串联时:,(2) 阻抗的串、并联,等效阻抗Z为：,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,当n个阻抗并联时，等效阻抗Z满足：,两个阻抗并联的等效阻抗为：,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,例3.12 如图所示电路，已知,，,，,试求电路中的电流，并画出向量图。,解：,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,相量图如图所示。,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,3. RLC串联交流电路,电阻、电感与电容组成的串联交流电路及其对应的相量模型如图所示。,下 页,上 页,返 回,第3章 单相正弦交流电路,设 为参考相量,根据相量形式的欧姆定律，则,根据基尔霍夫电压定律，有,下 页,上 页,返 回,
