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1、第二章 随机过程的概念与基本类型,随机过程的定义和统计描述 随机过程分布和数字特征 复随机过程 随机过程基本类型,概率论主要研究的对象是随机变量，即随机试验的结果，可用一个或有限个随机变量描述的随机现象。而有些随机现象仅用一个或有限个随机变量描述是不够的，必须用无穷多个随机变量来描述。,一、随机过程是随机变量的推广,随机变量在每次试验的结果中，以一定的概率取某个事先未知，但为确定的数值。,在实际应用中，我们经常要涉及到在试验过程中随时间t而改变的随机变量。,例如： 生物群体的增长问题， 记t时刻群体的个数； 电话交换机在一定时间段内的呼叫次数； 一定时期内的天气预报等等。,二、随机过程的定义,
2、对接收机的输出噪声电压，作一次“长时间的观察”，测量获得的噪声电压Xt是一个样本函数,1.通常我们可以根据随机变量X(t)在时间和状态上的类型区分随机过程的类型。,三、随机过程的分类,在时间和状态上都连续,连续型随机过程,在时间上连续， 状态上离散,离散型随机过程,在时间上离散， 状态上连续,连续型随机序列,在时间上离散， 状态上离散,离散参数链,2.按概率特性分：独立增量过程、马尔科 夫过程、平稳过程、二阶矩过程等,以其分 布函数为依据，有正态过程，泊松过程等。,2.2 随机过程的分布,一、有限维分布族对任一固定时刻，随机过程是一随机变量，这时可用研究随机变量的方法研究随机过程的统计特性，但
3、随机过程是一族随机变量，因此，对随机过程的描述，需用有限维分布函数族。,有限个随机变量,统计规律,联合分布函数,随机过程,统计规律,有限维分布函数族,有限维分布函数的性质,对称性,相容性,有限维分布函数族,对称性,相容性,Kolmogorov存在定理,设已给参数集T及满足对称性和相容性条件的分布函数族F，则必存在概率空间（,F,P）及定义在其上的随机过程X(t),tT，它的有限维分布函数族是F。,有限维特征函数族：,二、有限维联合分布数函数族,有限维联合分布函数族：,设X(t),tT是随机过程，如果对任意tT，EX(t)存在，则称函数,为X(t)的均值函数， 反映随机过程在时刻t的平均值。,一
4、、均值函数,2.3 随机过程的数字特征,我们把随机变量 （随机过程对应于某个固定t值）的二阶原点矩 记作,称为随机过程 的均方值函数。,（二）均方值函数与方差,称为随机过程 的方差函数。,而把 的二阶中心矩，,是t的确定函数，它描述了随机过程的诸 样本函数对数学期望 的偏离程度见图示。,是非负函数，它的平方根称 为随机过程的均方差函数。,即：,均值和方差刻划了随机过程在各个时刻的统计特性，但不能描述过程在不同时刻的相关关系，这点可从下图所示的两个随机过程 和 来说明，从直观上看，它们具有大致相同的均值和方差，但两者的内部结构却有非常明显的差别,（三）自相关函数,具有相同均值函数和方差函数的两个
5、不同的随机过程,因此，必须引入描述随机过程在不同时刻之间相关程度的数字特征。,自相关函数（简称相关函数）就是用来描述随机过程两个不同时刻，状态之间内在联系的重要数字特征。,称为随机过程X(t)的自相关函数，简称相关函数，,我们把随机过程 在任意两个不同时刻 的随机变量 与 的混合原点矩（若存在）,记作,若取 ，,称 与 的中心矩,为随机过程的自协方差函数，简称协方差函数。,则有,此时相关函数即为均方值 。,(1),(2),(3),随机过程数字特征之间的关系：,从这些关系式看出，均值函数 和相关函数 是最基本的两个数字特征，其它数字特征，协方差函数 方差 函数 都可以由它们确定。,四、互相关函数
6、,两个随机过程之间的关系,互协方差函数,互相关函数,注： 上式表面如果X， Y不相关，且各自的均值函数为0，则它们的互相关函数也为0。,求W(t)的均值函数和相关函数。,2.4 复随机过程,二、复随机过程的数字特征函数,均值函数,方差函数,相关函数,协方差函数,相互之间的关系,三、协方差函数的性质,二阶矩过程 正交增量过程 独立增量过程 马尔可夫过程 正态过程 维纳过程 平稳过程,2.5 随机过程的几种基本类型,二阶矩过程,定义：设已给定随机过程 ， 如果对于一切 均有 ， 则称 为二阶矩过程。,1、二阶矩过程必存在均值,2、由Schwartz不等式 知其相关函数和协方差都存在。,性质：,例题
7、：设X(t),tT是正交增量过程，T=a,b为有限区间，且规定X(a)=0，当astb时，求其协方差函数。,正交增量过程,2、特点：不相重叠的区间上状态的增量互不相关。,独立增量过程,2、特点：独立增量过程在任一个时间间隔上过程状态的改变，不影响任一个与它不相重叠的时间间隔上状态的改变。,正交增量过程,独立增量过程,定义依据：不相重叠的时间区间上增量的统计相依性,互不相关,相互独立,正交增量过程,独立增量过程,正交增量过程,独立增量过程,二阶矩存在， 均值函数恒为零,3、独立增量过程与正交增量过程的关系,4、独立增量过程，其有限维分布，可由 增量的分布所确定,即有限维分布可由增量分布来确定。,5.平稳独立增量,马尔可夫过程,2、马尔可夫性,系统在已知现在所处状态的条件下，它将来所处的状态与过去所处的状态无关。,例 证明独立增量过程是马尔可夫过程,条件分布函数具有马尔可夫性,所以是马尔可夫过程。,(正态过程的一种特殊情况),维纳过程,统计特征,例：证明维纳过程是正态过程。,
