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1、第四章 向量,4.1 定义及其背景,4.2 向量的线性相关性,4.3 向量组的极大线性无关组 与矩阵的秩,4.4 线性方程组解的结构,4.5 概要及小结,4.1、向量的定义及其背景,向量及向量空间是最基本的数学概念之一，它不仅是线性代数的核心，而且它的理论和方法已经渗透到自然科学、工程技术、经济管理的各个领域.借助向量及向量空间我们也将进一步加深对线性方程组和矩阵的理解.本章先讨论向量及向量间的线性关系.,回忆中学学过的几何知识，大家已经接触到过了向量的有关知识，值得说明的一点是我们在本章涉及到的向量它的背景是来源于平面和空间的几何向量，但是和以往的几何向量又有所区别.,a,b,X,Y,o,确
2、定小鸟或飞机的飞行 状态，需要以下若干个参数：,小鸟重心在空间的位置参数,小鸟身体的水平转角,小鸟身体的仰角,鸟翼的转角,所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组,（一）、引入,小鸟身体的质量,鸟翼的振动频率,还有,（二）、,数域P上个数 组成的有序数组,称为一个n元向量，其中 称为第 个分量. 向量含有分量的个数也叫向量的维数.,如：,n元向量写成一行，称为n元行向量.,如：,向量一般用希腊字母,等来表示.,元向量写成一列，称为列向量.,为方便，利用转置的记号n元列向量可记为,定义,、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；,3、元素全为零的向量称为零向量.,元素含复数的向量称为复向量
3、.,（三）、向量定义的几点说明以及向量的相等,2、元素是实数的向量称为实向量.,本教材基本上不涉及复向量,如：,4、向量,称为向量,的负向量，记为,我们规定向量的相等,设数域P上两个n元向量,则与相等,若与相等，则记为,可表示为AX=b,其中,若方程组有一组解为,这组解现在就可以表示成向量形式,并称为解向量.,向量相等的概念可以表示某种关系，线性方程组,有了向量相等的概念，我们就可以引入向量的运算:,定义,（四）、向量的运算,1、加法,规定：,2、数乘,规定：,称为数k与向量的数量积.,称为与的和向量.,称为与的差向量.,减法,规定：,3、运算规律,（1） （加法交换律）,（2） （加法结合律
4、）,（3）,（4）,（5） （减法）,(设,均是维向量,k,t为实数),（6）,（7）,（8）,（9）,特别,易见，向量的运算性质和矩阵的运算性质是一致的.所以也可以从矩阵的运算性质推出向量中的这些运算性质.,例 1,设向量,解,（五）、向量运算应用举例,，,.,计算,例2 若,则,由,知:,解,同样由,知:,解析几何中的向量,线性代数中的向量,既有大小又有方向的量, 可随意平行移动的有向线段,有次序的实数组成的数组,坐标系,(六)、几何和代数两种向量的比较,代数向量的数乘是用数乘每个分量，加法就是对应分量相加.,几何向量的数乘就是向量的拉申或压缩，加法用平行四边形法则求得.,只有2维或3维,
5、推广到n维,直观,运算方便,一、预备知识,二、线性关系的定义和判别法,三、相关结论以及应用举例,4.2 向量的线性相关性,任意s个n元的列向量(行向量)，所组成的集合称为向量组,例如,对于一个 矩阵有n个m元列向量.,记作：,向量组,称为矩阵A的列向量组,矩阵的按列分块，每一列就是一个向量.所有列组成一个向量组.,（一）矩阵与向量组的关系,一、预备知识,同样的，矩阵A有m个n维行向量.,向量组,称为矩阵A的行向量组,矩阵的按行分块，每一行就是一个向量.所有行组成一个向量组.,矩阵分块和向量的关系我看明白了吗？,反之，由若干个向量所组成的向量组也可以构成一个矩阵.,n个m维列向量所组成的向量组,
6、构成一个mn矩阵,m个n维行向量所组成的向量组,也构成一个mn矩阵,注意：矩阵与向量组之间的对应关系,（二）线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,即,或,其中A是系数矩阵，x是未知量矩阵，b是常数项矩阵.,1、基本概念,给定向量组,，对于某数域P中的一组数,，称向量,为向量组的,一个线性组合.,为某数域P中的常数.,设向量组,及向量满足关系式,则称为向量组的一个线性组合，或称可经向量组,线性表示.,是某数域P中的一组数.,二、线性关系的定义和判别方法,定义,定义,2、向量的线性组合和线性表示的平面显示,+,+,+,由上述定义，显然零向量可经任意一组向量,线性表示，这是因
7、为,任意n元向量,均可经向量组,线性表示.,那是因为,一般情况下，一个取定的向量未必能用某个确定的向量组,线性表示.下面假定向量的分量是已知的，,线性表示的条件.,设取定的,，确定的向量组,，则能（否）用,线性表示相当于能（否）找到数域P中的数,，使得,.,具体写出来就是,来讨论向量能(否)用,即,，这表明数域P中是否有数,使得该式成 立，,相当于线性方程组,在数域P中是否有解.,用系数矩阵,的列分块方法，上述线性方程组可以改写为,根据线性方程组,解的判别方法，可得下列性质,性质,向量能（否）经向量组,线性表示,有解（无解）,等于（不等于）秩,其中,线性方程组,秩,是怎么回事同学们有没有弄清楚
8、呢？,据此性质判断某个向量能否经某向量组线性表示，可归结为非齐次线性方程组是否有解，从而取决于该方程组系数矩阵和增广矩阵的秩是否相等，所以该问题最终是用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵来解决的.,同学们，前面所述的两个问题的结论都是一定能够线性表示的，为什么呢？,例1：零向量可经任意一组向量,线性表示，其缘由在于齐次线性方程组,必有解，至少零解是明显的解.,任意n元向量均可经向量组,线性表示，其缘由是,，所以线性方程组,必有解，,就是它的解.,例2：设向量组,（1）问,能否经向量组,线性表示？,（2）问,能否经向量组,线性表示？,（3）问a取何值时能经向量组,线性表示？问,a取何值时不能经向量
9、组,线性表示？,解 （1）据性质知，此问题归结为非齐次线性方程组,是否有解，故可用初等行变换化增广矩阵,为阶梯形矩阵.,若能线性表示，请写出线性表示式.,这表明,所以该方程组有解，且解唯一,所以,可经,线性表示，且表示式唯一：,（2）该问题归结为方程组,是否有解，此时增广矩阵通过初等行变换化为：,这表明,，而,故方程组无解，从而,不能经,线性表示.,（3）类似上面两个小题的做法，归结为方程组,是否有解，此时增广矩阵经初等行变换为 :,当,时，,这表明此时非齐次线性方程组,有解，所以,能经,线性表示.,时，,两者不相等.这表明此时非齐次线性方程组,无解，所以不能经,线性表示.,当,这里所描述的是
10、单个向量和一组向量之间的关系，一个向量能否经过一组向量来表示的关系.下面我们来讨论向量组的另外一种关系：向量组内部之间的一种关系，即是否至少有一个向量可以由其它向量来线性表示.,直观说法,如果向量组,可以由其余向量来线性表示，我们称向量组内部是有关系的， 把这种关系称为线性相关，反之，若向量组,中的某个向量,中的任意一个向量,都不能由其它向量来线性表示，,我们称向量组内部没有关系，把它称为线性无关.,定义,设,是,个,元向量，如果存在数域P,中不全为零的数,，使得,则称向量组,线性相关，,则只有在,时成立，那么就称向量组,线性无关.,否则就称线性无关.,其实线性无关也可以这样表达：,如果有,注
11、意：一个确定的向量组或者线性相关或者线性无关，两者只能居其一，而且必居其一.,典型例子,设向量组,证明：,（1）,是线性无关的.,是线性相关的.,（2）,证：（1）设有,，即,得,从而,所以,线性无关.,（2）因前面已知,，所以有,这表明有一组不全为零的数,使得,所以向量组,线性相关.,那么对于一组一般的已知向量组来说，我们是不是可以不限于定义，而有其它方法来判定这组向量的线性关系呢？,我们共同来探讨一下如何去判断一组向量的分量是已知的向量组的线性关系.,现在假定向量的分量是已知的，来讨论向量组,线性相关（线性无关）的判别法，据定义向量组,线性相关（线性无关），意指存在（不存在）一组不全为零的
12、P,中的数,，使得,写成矩阵的形式即,这相当于齐次线性方程组,有非零解（只有零解），此处和下述的,因此有,性质,设向量组,，则,（1）,线性相关,（2）,线性无关,look,根据这个性质判断某个向量组线性相关 （线性无关），可归结为齐次线性方程组 有非零解（只有零解），从而取决于 方程组系数矩阵的秩和未知量个数 （向量个数）的关系，所以该问题最终是用 初等行变换化系数矩阵为阶梯形矩阵来解决的.,性质,注意到,是一个,一定小于等于矩阵的行数，即秩(A) n,这样当向量组含有的向量个数s大于向量的维数n时,就有秩(A)ns,，所以下述结论成立.,矩阵，所以矩阵的秩,对于向量组,当sn时，向量组线性
13、相关.,这表明当sn时，任意s个n元向量必线性相关.特别地，,s=n+1个n元向量也线性相关.,推论,当sn时,；,所以下列结论当然也成立：,记,则,设n个n元向量,（1）,线性相关,（2）,线性无关,是一个nn矩阵，此时,计算行列式也可以用来判断向量组的线性关系，但注意条件.,也就是矩阵A的列数大于行数,例3 设向量组,（1）问向量组,线性相关，还是线性无关？为什么？,（2）问向量组,线性相关，还是线性无关？为什么？,（3）当a取何值时，向量组,线性线性相关？,当a取何值时，,线性无关？为什么？,请同学们结合例2自己完成！,例4 下述3组向量中哪一组是线性无关的？,（1）,（2）,k是任意实
14、数.,a,b是任意实数.,（3）,解 三个向量组均是3个3元向量，所以可以利用行列式来解答.,这表明（1）与（2）均线性相关，（3）线性无关.,例5,设,是3个线性无关的向量，若,求证：向量组,线性无关.,这个向量组的分量都不知道的，怎么去证明它是线性无关呀,线性方程组的理论不仅可有效地判别向量的分量具体给出的向量间的线性关系，即使向量的分量没有给出，有时也行之有效.,证 设有一组数,使,代入题设条件有,整理得,因,线性无关，,故,因系数行列式,得出,这表明要使得,成立的数,必全为0，故向量组,线性无关.,也就是说，这里的,满足下面的线性方程组,原来用定义来判断向量组的线性关系可以转化为判别齐
15、次线性方程组的解。这就容易了！实际上如果我们学习了向量空间关于基和坐标的知识以后，对这问题的理解就更清楚了,仅含单个向量的向量组线性相关当且仅当它是零向量,仅含单个向量的向量组线性无关当且仅当它是非零向量,一向量组中含有一个零向量，则该向量组一定线性相关, 一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关,对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关,在几何上的体现： 平面上两个向量线性相关平面上这两个向量共线；, 两个向量线性相关两个向量对应分量成比例.,空间上三个向量线性相关空间上这三个向量共面.,两个向量线性无关两个向量对应分量不对应成比例.,某 些 重 要 的 结 论,向量组线性无关任何一个向量都不能由其向量线性表示,向量组线性相关至少有一个向量可由其余向量线性表示,证,由向量组线性相关，,得证,至少有一个系数 不为零，,性质,还记得当初我们定义线性相关和线性无关时候的直观说法吗？原来这是一个定理呢，其实也可是线性关系的定义！,如果向量组()为,线性相关，则可由向量组()唯一线性表示.,线性无关，而向量组()为,
