《22同构与等价的范数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《22同构与等价的范数（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2 同构与等价的范数在高等代数上关于有限维线性空间，有一个重要的结论定理数域 K 上的两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数这里的同构就是在两个有限维线性空间存在保持加法和数乘的一一映射：12VV满足1,V,kK有()()(),()()kkR 上的所有 n维线性空间 V 同构nR2.2.1 同构问题设 X为一线性赋范空间，如果X 作为线性空间时它的维数为n，则称 X 为 n维线性赋范空间X 是 R 上的 n 维线性空间是指：在X 中存在n 个线性无关的向量12,ne ee，使得xX ，有唯一的表达式1122nnxk ek ek e，ikR(1,2,in) 其中称12(,)nk
2、kk为 x 关于12,ne ee的坐标若 X为 n 维线性赋范空间，自然存在从X 到nR上的一一映射T ： XnR，xX ，不妨设1122nnxk ek ek e，可令12 1( )()(,)n n iin iT xTk ek kkR易证()( )( )TxyT xT y，其中,R，,x yX，即 T 保持了 X 与nR的线性结构不变定理2.2.1 设 X 是实数域R 上的 n维线性赋范空间， 则 X 与nR线性等距同构证明设 T 是从 X 到nR上的一一映射，且xX ，12 1( )()(,)n n iin iT xTk ek kkR ，显然 T 是线性同构映射下面仅需证明T 的保距性，即对
3、于X 上的范数X，在nR上设置一种范数nR，使得( )nXT xxRxX ， x 在 X 上的范数为Xx，定义( )nXT xxR，下证nR是nR上的范数为了书写的方面记( )xT x，( )yT y(1) 正定性显然，0nXxxR，而且0nxR0Xx0x12(,)0nxk kk0x(2) 齐次性R，( )xT xnR，有( )()nnnnXXxT xTxxxxRRRR(3) 三角不等式( ),( )xT xyT ynR，有( )( )()nnnnnXXXxyT xT yT xyxyxyxyRRRRR反之，对于nR上的一种范数nR，也可定义X 上的范数， 例如( )nXxT xR因此， T 是
4、从 X到nR上的线性保距同构一一映射，从而定理成立注 1：上述定理说明，对于任何有限维空间X ，都可以把nR看作 X 的模型，还可以得到任何 n维线性赋范空间都是完备的(即为 Banach 空间 )注 2：在上述定理证明中，其实质是根据空间X 上的范数，构造了nR上的范数，或者逆向构造范数，自然想到：在同一n维线性赋范空间上的这些范数有何关系？2.2.2 范数的等价问题在同一空间上引入不同的范数，例如在nR上可定义下面不同的范数12(,)n nxx xxR，定义1 1ni ixx；1 22 2 1()ni ixx；11() (1)npp ip ixxp； 1maxi i nxx那么这些范数定义
5、的收敛性是否相同？定义 2.2.1 等价的范数设1和2是同一线性赋范空间X 上的两个范数， 如果由1200nnxx， 则称1比2更强如果1比2更强，且2比1更强，称范数1和2等价例 2.2.1利用定义直接证明nR上的范数11 222222 122 1()()nin ixxxxx，12 1maxmax,in i nxxxxx是等价的，其中12(,)n nxxxxR证明设12(,)n nxx xxR，显然2xx ，而对于 1in，有2222212max(,)inxxxxx于是222xn x，即2xn x，因此2xxn x可见2和等价定理 2.2.2 范数等价的充要条件线性赋范空间X 上的两个范数1
6、和2等价当且仅当存在正实数a 和b，使得xX ，有212a xxb x证明充分性显然成立必要性：假设对任何正实数a和b，式子212a xxb x不能对一切xX 成立不失一般性， 不妨设12xb x不能对一切xX 成立那么nN ，nxX， 使得12nnxn x，即211nnxxn令1n nnxxx，则22 11210nn nnnxxxxxn，但11 1111nn n nnxxxxx，这与1和2等价相矛盾，故必要性成立注 3：利用定理2.1 可证明范数的 等价关系 满足 (1)自反性； (2)对称性； (3)传递性定理 2.2.3设 X 是有限维线性赋范空间，那么X 上的任何范数都等价分析：在 X
7、 上定义一种范数0，再证明其它任何范数均与它等价，根据个、等价关系的传递性可知X 上的任何两个范数都等价证明(1) 定义 X 上的范数0设12,ne ee是 n 维 线 性 赋 范 空 间 X 的 一 组 基 ， 则xX ， x 可 唯 一 的 表 达 为1122nnxk ek ek e，可令0 1ni ixk，易验证0是 X 上的范数(2) 设也是 X 上的范数，下证与0等价首先可证0比强：011111maxnnnniiiiiiiii niiiixk ek ekeekb x，其中 1maxii nbe其次可证比0强：显然点集12 1(,)1n n ni iSk kkkR是nR上的有界闭集(闭
8、球体减去开球) ，对于xX ，记12 1(,)niin ixk ef kkk，那么12(,)nf k kk在范数0意义下是nR上的非负连续函数，即当mnyR且00()myym时，有()( )mfyf y根据下式可知此结论成立：()( )mmf yf yxxmxx0mb xx0mb yy其中12(,)mmmm nyyyy， 1n mm ii ixy e ，12(,)nyyyy，1nii ixye 于是f在nR的有界闭集 S上存在最小值a ， 因为S0， 所以0a xX ， 这里1122nnxk ek ek e， 令0xxx，显然0xxx以及1201(,)nk kkSx，从而12 10000011
9、111(,)niin ixxk efkkka xxxxx，可得0xa x注 4：由上述定理2.2 可知，在有限维线性赋范空间中讨论极限问题时，可以任意选取不同的范数，它们的收敛效果是相同的( 复习 ) 定理设nAR，nR是 n维殴氏空间，那么(1) A是列紧集当且仅当A是有界集；(2) A 是紧集当且仅当A是有界闭集定理2.2.4设 X 是线性赋范空间，那么X 的维数有限X 中的每一个有界集必是列紧集证明(1) 必要性当 X 是有限维线性赋范空间，可将nR看成它的模型，因为nR中的有界集是列紧集，易证X 中的有界集也是列紧集(2) 充分性设 S是 X 的单位球面， 即1,SxxxX ， 于是根
10、据条件知有界集S是列紧集， 由豪斯道夫 (Hausdorff) 定理知度量空间中的列紧集必是全有界集(设 AX ，如果对于任给的0，A总存在有限的网, 则称 A是 X 中的全有界集)， 可见对于1 2， 存在 S的网12,NAx xxX，令12 1,NNiiii iFspan x xxxxAK， 显 然 F 是X 的 有 限 维 闭 子 空 间()Dim FN)，下证 FX 假设 FX ，由于F 是 X 的有限维闭子空间，所以F 是完备的子空间，于是存在0xXF，有00(,)inf0yFd xFxya由确界定义知0yF，满足001322axyaaa 显然0000xyS xy，于是0ixA ，使
11、得00000(, )ixyO x xy，即0000012ixyxxy由于0yF及0ixF ，所以向量0000izyyxxF ，故有0azx00000iyyxxx000 0000iyxyxxyx3122a34a产生矛盾，可见FX ，即 X 是有限维空间上述定理2.2.4 的等价命题如下：定理 2.2.5设 X 是无穷维线性赋范空间，那么至少有一个有界集A 不是列紧集注 5：可见无穷维线性赋范空间中的列紧性与有限维不同，对于紧集而言，无穷维线性赋范空间中的紧集就更少引理2.2.1设 A是线性赋范空间X 的闭子空间，且AX ，则存在xX ，使1x，1( ,)2d x A证明设yXA，由于 A 为闭子
12、空间，可知( ,)0d y A，选取 aA，使得2ya令yaxya，则得1x，故( ,)(,)yad x AdAyainfzAyazyainfzAyaz yaya1inf() zAyaz yaya1inf zAyz ya1( ,)d y A ya122定理2.2.6设 X 是无穷维线性赋范空间，那么X 中的闭单位球不是紧集证明由于 X 是无穷维空间，所以存在线性无关的无限序列nx，令12,nnXspan xxx则知nX是 X 的 n维闭子空间，且1nnXX，1nnXX(1,2,n)由上述引理2.1 知存在1nnnyXX，使得1ny，1(,)2nnd yX(1,2,n)，于是当 mn 时，有12nmyy可见点列(0,1)nyB没有收敛子列，因此X 中的闭单位球(0,1)B不是紧集注 6：由上述定理2.2.6 可知，无穷维线性赋范空间中闭单位球是非紧集，由于平移、相似变换不改变紧性，于是无穷维空间的任何闭球都是非紧集也可以证明无穷维空间中包含内点的集合是非紧集由此可见， 在无穷维线性赋范空间中紧集甚为稀少，这正是无穷维空间中处理数学问题的困难所在线性与非线性泛函- 49 -
