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1、1,第三章,随机向量,2,到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布. 但有些 随机现象用一个随机变量来 描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时, 命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标）来确定的, 等等.,3,二维随机向量的分布,第一节,4,定义 一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1, X2, ，Xn)为n 维随机向量 .,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，为简单起见，我们重点讨论二维随机向量 .,请注意与一维情形的对照 .,5,一、二维随机向量的联合分布函数,二维随机向量（X,Y）,X 和Y 的联合分布
2、函数,X 的分布函数,一维随机变量 X,6,7,二维随机变量分布函数的基本性质,8,边缘分布,即,同理,边缘分布函数与联合分布函数的关系,二维随机向量 (X, Y ) 作为一个整体, 用联合分布来刻画. 而 X 和Y 都是一维随机变量, 各有自己的分布, 称为边缘分布.,9,设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为,例1,则边缘分布函数为,称该分布为二维指数分布,其中参数,10,说明：联合分布可以唯一确定边缘分布，但是边缘分布一般不能唯一确定联合分布. 也即，二维随机向量的性质一般不能由它的分量的个别性质来确定，还要考虑分量之间的联系，这也说明了研究多维随机向量的作用 .,边缘分布与参数无关
3、.,11,二、联合分布,则称二维表,为(X,Y)的联合分布律.,1.离散型,12,13,例2 袋中有两只白球 3只黑球，放回摸球两次，定义 X 为第一次摸得的白球数，Y 为第二次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律.,解,14,解,例2 袋中有两只白球 3只黑球，放回摸球两次，定义 X 为第一次摸得的白球数，Y 为第二次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律.,15,若改为不放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为,比较：有放回摸球：,16,例3,解,由于,所以,17,故(X,Y)的联合概率分布为,18,2.连续型,19,面上的一个区域.,20,设G是平面上的有界区域, 其面积为A. 若二维随机
4、向量( X,Y )具有概率密度,则称( X,Y )在G上服从均匀分布.,若( X,Y)服从区域G上的均匀分布, 则对于G中任一子区域 D, 有,二维均匀分布,21,于是( X,Y )落在G中任一子区域 D 的概率与 D 的面积成正比, 而与 D的形状和位置无关. 在这个意义上我们说,服从某区域上均匀分布的二维随机向量在该区域内是“等可能”的.,22,例4 设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为,解,(1) 由规范性,23,24,25,例5 设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为,解,(1) 由规范性,26,27,28,三、边缘分布,1.离散型,设( X,Y )是离散型二维随机变量，联合分布
5、律为,则边缘分布为,记作,29,袋中有两只白球3只黑球，有放回 摸 球 两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，则(X,Y)的联合分布律为,例6,Y的边缘分布,X的边缘分布,所以X 和Y 的边缘分布律分别为,30,边缘分布为,与放回的情况比较，,但边缘分布却完全相同.,两者的联合分布完全不同，,若改为不放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为,31,由联合分布可以确定边缘分布；,但由边缘分布一般不能确定联合分布.,再次说明联合分布和边缘分布的关系:,32,2.连续型,设( X,Y )是连续型二维随机变量，联合密度函数为,由于,所以 (X,Y) 关于 X 的边缘密度函数为,同理,
6、关于Y 的边缘密度函数为,33,求 (1) c 的值；(2) 两个边缘密度；,解 (1),设 (X, Y ) 的概率密度是,例7,34,(2),所以,35,(2),所以,36,37,例8,解,随机向量(X,Y)的密度概率为,其他,38,其他,二维均匀分布的边缘分布不一定是一维均匀分布.,例8,解,随机向量(X,Y)的密度概率为,39,即(X,Y)服从单位圆,上的均匀分布.,例9 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,求 X 及Y 的边缘密度.,解,边缘密度为,类似地,40,四、随机变量的独立性,随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.,两事件A, B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(
7、B) 则称事件A, B独立 .,设 X, Y是两个随机变量，若对任意的 x, y ,则称 X, Y 相互独立 .,41,上式用分布函数表示,即,情形1 ( X,Y )是离散型随机变量，则 X, Y 相互独立的定义等价于,42,例10 袋中有两只白球3只黑球，摸球两次，定义 X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，则有放回和不放回时(X,Y)的联合分布和边缘分布分别为,经验证，放回时，X与Y相互独立；不放回时，不独立.,43,例11 设(X,Y )的联合分布律为,且X与Y 相互独立，试求 和 .,又由分布律的性质, 有,解,由X与Y 相互独立，知,44,解,例12 假设随机变量 X 和
8、Y 相互独立，都服从参数为 p(0p1)的 0-1分布，随机变量,问 p 取何值时，X 和 Z 相互独立？,首先求出 Z 的概率分布：,因为X 和Y相互独立,45,令,所以 p 取0.5时，X 和 Z 相互独立.,46,情形2 ( X,Y )是连续型随机变量，则 X, Y 相互独立的定义等价于,在平面上几乎处处成立 .,解,例13 设(X,Y )的联合密度函数为,问X与Y是否相互独立？,X, Y 的边缘密度分别为,成立，所以X, Y相互独立.,47,解,例14 设(X,Y )的联合密度函数为,问 X与Y是否相互独立？,X, Y的边缘密度分别为,所以 X, Y 不相互独立.,48,上的均匀分布，
9、判断X与Y是否相互独立.,例15 设二维随机变量(X,Y)服从单位圆,解,X与Y 的边缘密度分别为,所以X, Y 不相互独立.,49,二维随机向量的函数的分布,1.离散型,设随机向量(X,Y )的联合分布律为,50,例16 设随机变量(X,Y )的联合分布律为,解,分别求X+Y、X 2+Y 2、min(X,Y )的分布律.,51,52,证,所以,例17,此性质称为泊松分布的可加性,53,2.连续型,主要讨论和的情况.,设 X 和Y 的联合密度为 f (x, y), 求 Z =X+Y 的密度.,Z =X+Y的分布函数是:,两边关于z 求导，则得 Z 的密度函数为,54,由 X 和Y 的对称性,
10、fZ (z)又可写成,特别，当 X 和Y 独立，设( X ,Y )关于X, Y 的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式, 记为 .,55,例18 设 X, Y 相互独立且均服从标准正态分布 , 求 Z =X+Y 的概率密度 .,由卷积公式,有,解,56,用类似的方法可以证明:,若X 和Y 独立,若 X 和 Y 独立, 具有相同的分布 N(0, 1) , 则 Z =X+Y 服从正态分布 N(0, 2) .,即有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,正态分布的可加性,57,解,例19 设X和Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分,由卷积公式 ,仅当,上述积分的被积函数才不等于0 ,因此,别为,58,59,即有,60,练习：,P114 习题三,61,证,补充练习：,可以证明：,62,证,由恒等式,即,所以,此即说明,
