数字逻辑基础

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1、数字逻辑基础,管庶安,第1章 逻辑代数基础,1.1 概述,1.2 逻辑代数的基本概念,1.3 逻辑函数,1.4 逻辑函数的标准形式,1.5 逻辑代数的重要定理,1.6 逻辑函数化简,1.1 概述,1.1.1 数字系统的基本概念数字系统：对数字信号进行加工、传输、和存储的实体。数字信号：一系列离散的数据 。,举例： 用计算机播放电影,计算机就是一个典型的数字系统。,数字量的表示形式： 用 “0” 和 “1” 两个基本逻辑量组成。例： 十进制数 9 用 1001 表示；字符 A 用1000001表示。逻辑运算：对两种基本逻辑量进行的逻辑意义上的运算。逻辑运算是对数字量进行处理的最基本运算 ，任何运

2、算归根到底是由大量的逻辑运算综合形成的 。逻辑电路：实现逻辑运算的电子电路。在逻辑电路中，一般用高电平表示逻辑 “1”，用低电平表示逻辑 “0”。逻辑电路的特点：抗干扰能力强 、运算精确 、速度高、集成度高。,1.1.2 数字逻辑技术的主要内容,逻辑代数对逻辑量进行运算的规律、法则和方法。逻辑电路分析逻辑电路设计就是根据给定的功能要求，设计出逻辑电路。逻辑电路设计对于一个给定的逻辑电路，分析其工作原理，获得该电路所具有的逻辑功能。,1.2 逻辑代数的基本概念,1.2.1 逻辑变量及基本运算逻辑常量仅有两个：“1” 和 “0” ，代表某命题为“真”或为“假”。 逻辑变量值可以变化的逻辑量，取值只

3、能是 0 或 1 。 逻辑变量用英文字母表示，如A、B、C、F 等。 基本逻辑运算与运算，用符号 “ ” 表示，例如 AB或运算，用符号 “ + ” 表示，例如 A+B非运算，用符号 “ ” 表示。例如,三种基本逻辑运算的法则,1.2.2 逻辑表达式,由逻辑变量、常量及基本逻辑运算符所构成的式子。 例：“与”运算符号 “”可以省略：逻辑运算的优先顺序：括号可以改变优先顺序。例：,1.2.3 逻辑代数的公理,逻辑代数的公理：从逻辑代数的基本运算法则出发，经推导得出的、具有普遍使用意义的逻辑运算规律。,对偶： 将基本式中的“”换成“ ”，“ ”换成“”，0换成1，1换成0，便得到对偶式。,先列出前

4、5条公理：,15的证明： 用枚举法。例：证明重叠律。已知变量A 的取值仅有1或0两种。将A=0代入 A+A=A 有：0+0=0，等式成立；将A=1代入 A+A=A 有：1+1=1，等式成立；即无论A为0还是A为1等式均成立，重叠律得证。,用推理法可证明67式。例：证明吸收律。吸收律得证。,公理（续）,用推理法可证明911式。例：证明消去律。消去律得证。,公理（续）,1.3 逻辑函数,1.3.1 逻辑函数的定义,若逻辑变量F 的值由逻辑变量A1、A2、An的值所决定，则称 F 为 A1、A2、An的函数，记为F 值也只能为 0 或 1 。,用逻辑电路实现逻辑函数,输 入,输 出,1.3.2 逻辑

5、函数的表示法,用逻辑表达式表达此逻辑命题：,逻辑命题：A、B 两人对某问题发表的意见，否定记为0，肯定记为1；F 为结果，意见不同时F 的值为0，相同时F 的值为1。,用真值表表达此逻辑命题：,特点：简洁、便于运用公理计算。但不够直观。,特点： 直观。但当变量多时规模大。,用卡诺图表达此逻辑命题：,F,注意：卡诺图在分析和设计逻辑电路中具有重要地位。,例如：A=0 的行和 B=0 的列相交的小方格的值为1，表示：当A=0、B=0时F的值为1,1.3.3 复合逻辑, 用三种基本逻辑运算组成的特殊逻辑运算,与非逻辑,例：,与非逻辑可以表达任何复杂的逻辑。,或非逻辑,例：,或非逻辑可以表达任何复杂的

6、逻辑。,异或逻辑,例：,简记为,同或逻辑,例：,简记为,注意,1. 4 逻辑函数的标准形式,1.4.1 最小项,什么是最小项？n 个逻辑变量组成的“与”项中，所有变量以原变量或反变量的形式出现一次。,例：对于2个逻辑变量，共可写出4个最小项：,用 mi 最小项,例：,用二进制数0表示反变量,1表示原变量;,改用十进制数表示;,此十进制数就是mi 的下标.,最小项的性质,性质1 任取一组值,仅有一个最小项的值为1。性质2 任意两个最小项相与,结果为0。性质3 全部最小项相或,结果为1 。即：,用最小项表达逻辑函数,例：,1.4.2 最大项,什么是最大项？n 个逻辑变量组成的“或”项中，所有变量以

7、原变量或反变量的形式出现一次。,例：对于2个逻辑变量，共可写出4个最大项：,用 Mi 最大项,例：,用二进制数1表示反变量,0表示原变量;,改用十进制数表示;,此十进制数就是Mi 的下标.,最大项的性质,性质1 任取一组值,仅有一个最大项的值为0。性质2 任意两个最小项相或,结果1。性质3 全部最大项相与,结果为0 。即：,用最大项表达逻辑函数,例：,互补律，0-1律,分配律,重叠律,1.4.3 逻辑函数表达式的转换,例：,F=1时的最小项,F=0时的最大项,注意：最小项与最大项的下标相互错开,1. 真值表法,2. 卡诺图法,卡诺图的结构 （以2变量卡诺图为例）,排列原则：任何两个上下或左右相

8、邻的小方格对应的两个 最小项中，有且仅有一个变量发生变化。,3变量卡诺图的结构：,注意： （1）应遵守排列原则； （2）四个角上的小方格也相邻，也应遵守排列原则； （3）为了满足（2），BC的取值顺序并非由小到大，见图中的红色数字。,4 变量卡诺图的结构：,注意： （1）应遵守排列原则； （2）上下两行上的小方格对应相邻，如m1和m9相邻； （3）左右两列上的小方格对应相邻，如m4和m6相邻； （4）为了满足（2）和（3），AB、CD的取值顺序并非由小到大。,5 变量及以上的卡诺图为多层立体结构，较复杂，操作不便。,用卡诺图表达逻辑函数,例：用卡诺图表达,（1） 计算出与F 对应的各最小项的值

9、：,m0=0、m1=0、 m2=0、m3=1、m4=0、m5=1、 m6=1、m7=1,（2） 将各最小项的值填入3变量卡诺图中：,3变量卡诺图,（3） 由卡诺图得到F的最小项表达式：,1.4.4 逻辑函数的相等,如果两个逻辑函数 F 、G具有相同的逻辑变量，且对任何一组变量取值，F和G的值都相等，则F = G。,例：下面的两个函数相等：,1.5 逻辑代数的重要定理,摩根定理,例：运用摩根定理可得,香农定理,如果将一个函数表达式中的原变量换成反变量，反变量换成原变量；将“”运算换成“”运算，“”运算换成“”运算；将常量“1”换成“0”，“0”换成“1”，则得到的新函数是原来函数的反函数。,例：

10、运用香农定理，有：,对偶定理,如果将一个函数 f 中的“”运算换成“”运算，“”运算换成“”运算；将常量“1”换成“0”，“0”换成“1”，但变量保持不变，则得到的新函数称为原来函数的对偶函数，记为 f 。,例：,对偶函数为：,推论：,1.,2. 若,，则,。,若有 ，则 f 称为自对偶函数 。,例：,是自对偶函数,1.6 逻辑函数化简,若“与-或”表达式满足： （1）表达式中的“与”项个数最少； （2）每个乘积项中变量个数最少。 则称为最简“与-或”式。,1.6.1 代数化简法,例：,例：,包含律,吸收律,包含律,。,例：,1.6.2 卡诺图化简法,1 基本原理,上下或左右相邻的两个“1”小

11、方格可以合并为一个与项，并且消去一个变量。,例：化简,F 的卡诺图中，为1的小方格上下相邻。上面的小方格代表的最小项中A以反变量出现；下面的小方格代表的最小项中A以原变量出现。因此，两个最小项相“或”可消去A。,操作：将相邻小方格圈在一起。此圈称为卡诺圈。一个卡诺圈对应一个与项，此卡诺圈为 。,因只有1个卡诺圈，故化简结果为：,例：化简函数,注意：红色小方格也是相邻格,结果：,例：化简函数,注意：绿色小方格与其他小方格均不相邻,结果：,若四个相邻最小项排成一个矩形，则可合并为一个与项， 并消去2个变量。合并后的结果中只包含最小项的公共因子。,例：化简函数,左下角的四个小方格相邻，在垂直方向上变

12、量B发生了变化，A保持为1；在水平方向上变量D发生了变化，C保持为0。因此，化简结果中消去了变量B、D，保留了公共因式 。,操作：1. 将四个相邻小方格圈在一起，得与项 。2. 将二个相邻小方格圈在一起，得与项 ABD 。注：这里重复利用了一个小方格。,结果：,例：化简函数,注意：红色小方格也是相邻格,结果：,注意：应尽可能圈出最大的圈，否则结果将不是最简的。,例：上例若按下面的圈法：,结果虽然正确，但未达到最简。,结果：,若八个相邻最小项排成一个矩形，则可合并为一个与项，并消去3个变量。合并后的结果中只包含最小项的公共因子。,例：化简函数,结果：,卡诺图化简逻辑函数的一般步骤：,画卡诺圈。构

13、成卡诺圈的小方格必须满足：对应的函数值全部为1。总数为2n个。拼成尽可能大的矩形。2 按2的要求圈出全部可能的卡诺圈，即：直到为1的所有小方格圈完为止。小方格可以重复利用，但每一卡诺圈中至少应含有一个未被其它卡诺圈使用的小方格。3 一一写出每个卡诺圈表示的“与”项。该“与”项由这样的变量乘积组成：沿垂直方向保持不变的斜线下方的变量。沿水平方向保持不变的斜线上方的变量。保持为0的采用反变量形式，保持为1的采用原变量形式。4 将各卡诺圈表示的“与”项累加起来，得到化简结果。,2.1 逻辑门,2.2 组合逻辑电路分析,2.3 组合逻辑设计的基本方法,2.4 设计方法的灵活运用,2.5 组合逻辑电路的

14、险象,2.6 常用组合逻辑电路的设计,2.7 组合逻辑电路的计算机仿真,第2章 逻辑门与组合逻辑,2.1 逻辑门,TTL （Transistor-Transistor-Logic）门 ：用晶体管制作。特点：速度快、负载能力强，功耗较大、集成度低。MOS（Metal-Oxide- Semiconductor）门 ：用“金属氧化物半导体”绝缘栅场效管制作。特点：集成度高、功耗低，速度较慢、负载能力较弱。,实现基本逻辑运算和复合逻辑运算的单元电路称为逻辑门。按制作材料分为：,目前，MOS门电路的性能得到极大的提高，大规模、超大规模集成电路一般采用MOS工艺制造。,TTL门,CMOS门,超大规模MOS

15、 集成电路,2.1.1 简单逻辑门电路,简单逻辑门电路指或门、与门及非门电路，也称基本逻辑门。,逻辑门由两种MOS管构成：NMOS管、PMOS管。,NMOS管：,NMOS管的符号G 栅极D 漏极S 源极BN 衬底,栅极加高电平，漏极与源极间导通，D-S相当于接通的开关,栅极加低电平，漏极与源极间截止，D-S相当于断开的开关,PMOS管：,PMOS管的符号G 栅极S 源极D 漏极BN 衬底,栅极加低电平，源极与漏极间导通，D-S相当于接通的开关,栅极加高电平，源极与漏极间截止，D-S相当于断开的开关,1. 非门电路,用NMOS管和PMOS管互补组成的CMOS非门电路。A为输入端，F为输出端。,输入为高电平时的等效电路。T6截止，T5导通。结果输出端经T5接“地”，F为低电平。,输入为低电平时的等效电路。T5截止，T6导通。结果电源经T6传到输出端，F为高电平 。,非门的真值表,非门的逻辑表达式,非门的逻辑符号,2. 或门电路,CMOS或门电路,A=1、B =0时的等效电路,或门的真值表,或门的逻辑表达式,或门的逻辑符号,3. 与门电路,与门的逻辑符号,与门的真值表,与门的逻辑表达式,F = A B,2.1.2 复合逻辑门电路,将常用的复合运算制成集成门电路，称为复合逻辑门电路。,1. 与非门电路,与非门的逻辑符号,与非门的 逻辑表达式,