高考数学分类专题复习之二十四二十五空间角与距离

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1、O a b 600第二十四、二十五讲空间角与距离 高考在考什么【考题回放】1如图，直线 a、b 相交与点O且 a、b 成 600，过点 O 与a、b都成 600角的直线有 （ C ） A 1 条 B2 条 C3 条 D 4 条2（江苏 ?理）正三棱锥P-ABC高为 2，侧棱与底面所成角为45，则点A到侧面PBC的距离是（ B ） A 54B56 C 6 D643（全国 ?理）如图，正四棱柱1111DCBAABCD中，ABAA21，则异面直线11ADBA与所成角 的余弦值为（ D ）A51B52C53D544 已知正四棱锥的体积为12， 底面对角线的长为26 ， 则侧面与底面所成的二面角等于 3

2、5（四川 ?理）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则 BC1与侧面ACC1A1所成的角是6 6在棱长为a 的正方体ABCD A1B1C1D1， E、F分别为 BC与 A1D1的中点，(1) 求直线 A1C与 DE所成的角； (2) 求直线 AD与平面 B1EDF所成的角； (3) 求面 B1EDF 与 面 ABCD 所成的角。 【专家解答 】 (1) 如图，在平面ABCD 内，过 C作 CP/DE 交直 线 AD于 P ，则CPA1（或补角）为异面直线A1C与DE所成的角。在CPA1中，易得aPAaDECPaCA 213, 25,311，由余弦定理得 1

3、515 cos1CPA。故异面直线A1C与 DE所成的角为 1515arccos。（2）ADFADE， AD在面 B1EDF内的射影在 EDF 的平分线上。 而 B1EDF是菱形，DB1为EDF的平分线。故直线 AD与面 B1EDF所成的角为 ADB1在 RtB1AD中，,3,2,11aDBaABaAD则 33cos1ADB。故直线 AD与平面 B1EDF所成的角为 33arccos。（3）连结 EF、B1D，交于点 O ，显然 O为 B1D的中点，从而O为正方体ABCD A1B1C1D1的中心，作OH 平面 ABCD ，则 H为正方形ABCD的中心。再作HM DE ，垂足为M ，连结 OM

4、，则 OM DE （三垂线定理）， 故OMH为二面角B1-DE-A 的平面角。在 Rt DOE中, 23, 22aODaOEaDE 25，则由面积关系得a DEOEODOM 1030。在 Rt OHM 中 630sin OMOHOMH。O 故面 B1EDF 与 面 ABCD 所成的角为 630arcsin 高考考什么【考点透视 】异面直线所成角, 直线与平面所成角, 求二面角每年必考, 作为解答题可能性最大. 【热点透析 】1转化思想： 线 线 平 行线 面 平 行面 面 平 行 , 线线线面面面 将异面直线所成的角, 直线与平面所成的角转化为平面角, 然后解三角形 2求角的三个步骤：一猜,

5、二证 , 三算猜是关键, 在作线面角时, 利用空间图形的平行, 垂直 , 对称关系, 猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方, 然后再证 3二面角的平面角的主要作法：定义三垂线定义 垂面法距离 【考点透视 】判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。 【热点透析 】转化思想：线 线 平 行线 面 平 行面 面 平 行 , 线线线面面面； 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离， 平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。 2空间距离则主要是求点到面的距离主要方法：体积法；直接法 , 找出点在平面内的射影 高考将考什么【范例1】 如图，在RtAOB中，

6、6OAB ，斜边4ABRtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角动点D的斜边AB上（I ）求证：平面COD平面AOB；（II ）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小；（III）求CD与平面AOB所成角的最大值 解法一：（I ）由题意，COAO，BOAO，BOC是二面角BAOC是直二面角，又二面角BAOC是直二面角，COBO，又AOBOO，CO平面AOB，又CO平面COD平面COD平面AOB（II ）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则DEAO，CDE是异面直线AO与CD所成的角在RtCOE中，2COBO，11 2OEBO ，225CEC

7、OOE又13 2D EAO 在RtCDE中，515tan 33CECD E D EOCADBED1C1B1CDBAA1EF异面直线AO与CD所成角的大小为15arctan 3（III）由（ I ）知，CO平面AOB，CDO是CD与平面AOB所成的角，且2tanOCCD O ODOD当OD最小时，CDO最大，这时，ODAB，垂足为D，3OA OBOD AB，23tan 3C D O ，CD与平面AOB所成角的最大值为23 arctan 3 解法二：（I ）同解法一（II ） 建立空间直角坐标系Oxyz， 如图，则(0 0 0)O，(0 0 23)A，(2 0 0)C，(0 13 )D， ，(0

8、0 23)OA，(2 13)C D， ，cosOA CDOA CD OACD，66423 22异面直线AO与CD所成角的大小为6arccos 4（III）同解法一 【点晴】 本题源于课本，高于课本，不难不繁，体现了通过平移求线线、通过射影求线面角的基本方法。 【变式】 如右下图 , 在长方体ABCD A1B1C1D1中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2 E、F 分别是线段AB 、 BC上的点，且EB= FB=1(1) 求二面角CDE C1的正切值 ; (2) 求直线 EC1与 FD1所成的余弦值解：（ I ）以 A 为原点，1,AAADAB分别为x轴，y轴， z 轴的正向建立空间

9、直角坐标系，则有 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),故)2,2,4(),2,3,1(),0,3,3(11FDECDE设向量),(zyxn与平面 C1DE垂直，则有22 tan36400411220101|cos,)2,0,0(,),2,1,1(0),2,1,1( 2), 2, 2(21023033101011011001AAnAAnCDECAAnCDEAADECnnzz zzz nzyx zyxyxECnDEn的平面角为二面角所成的角与垂直与平面向量垂直的向量是一个与平面则取其中（II ）设 EC1与 FD1所成角为，则OCADB x

10、yz142122)4(2312223)4(1|cos 222222 1111FDECFDEC【点晴】 空间向量在解决含有三维直角的立体几何题中更能体现出它的优点，但必须注意其程序化的 过程及计算的公式，本题使用纯几何方法也不难，同学不妨一试。 【范例 2】如图，正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2，D为 CC1中点。 （）求证：AB1面 A1BD ；（）求二面角AA1D B的大小； 分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解答：解法一：（）取BC中点O，连结AOABC为正三角形，AOBC正三棱柱111ABCA

11、 B C中，平面ABC 平面11BCC B，AO 平面11BCC B连结1B O，在正方形11BB C C中，OD，分别为1BCCC，的中点，1B OBD，1ABBD在正方形11ABB A中，11ABA B，1AB 平面1A BD（）设1AB与1A B交于点G，在平面1A BD中，作1GFA D于F，连结AF，由（）得1AB 平面1A BD1AFA D，AFG为二面角1AA DB的平面角在1AA D中，由等面积法可求得455AF ，又112 2AGAB ，210 sin 4455AG AF G AF所以二面角1AA DB的大小为10arcsin 4（）1A BD中，1115226A BDBDA

12、 DA BS，1BCDS在正三棱柱中，1A到平面11BCC B的距离为3设点C到平面1A BD的距离为d由11ABC DCA BDVV得1113 33BC DA BDSSd ，1322BC DA BDS d S点C到平面1A BD的距离为22解法二：（）取BC中点O，连结AOABC为正三角形，AOBC在正三棱柱111ABCA B C中，平面ABC 平面11BCC B，AD 平面11BCC B取11B C中点1O，以O为原点，O B，1OO，O A的方向为xyz，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(1 0 0)B，(11 0)D， ，1(0 23)A，(0 03)A，1(1 2 0)B，A B C

13、 D 1A1C1BO F 1(1 23)AB，(2 1 0)BD， ，1(1 23)BA，12200ABBD，111430ABBA，1ABBD，11ABBA1AB 平面1A BD（）设平面1A AD的法向量为()xyz， ，n(113 )AD， ，1(0 2 0)AA，ADn，1AAn，100ADAA，nn3020xyzy，03yxz，令1z得(3 0 1)，n为平面1A AD的一个法向量由（）知1AB 平面1A BD，1AB为平面1A BD的法向量cosn，11133642 22ABAB ABnn二面角1AA DB的大小为6arccos 4 【点晴】 由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件

14、的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问 题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。【变式】 在梯形 ABCD 中，AB=BC=1 ，AD=2 ，90BADCBA， 沿对角线AC将折起，使点B在平面 ACD内的射影O恰在 AC上。 （1）求证： AB平面 BCD （2）求异面直线BC与 AD所成的角。解：(1) 在梯形 ABCD 中,2A CD C,AD=2，222ADDCAC，DCAC 又 BO平面 ACD ，故CDAB 又BCAB，且CCDBCAB平面 BCD （2）因为 BA=BC ，ACBO，O 为 AC中点，取 CD中点 E， AB中点

15、 F， 连结 OE 、 OF 、 EF， 则 OE/AD， OF/BC，所以 AD与 BC所成的角为EOF或其补角 . 作 FH/BO 交 AC于 H，连结 HE, 则 FH平面 ACD 472242342222222222ECHCFHEHFHEF在三角形EOF中，又 21FO，EO=1 由余弦定理知120, 21cosEOFEOF故异面直线BC与 AD所成的角为120 【点晴】 折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别，本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。 【范例 3】在四棱锥P-ABCD中， ABCD 为正方形， PA 面ABCD ，PA AB a，E为 BC中点 . （1）求平面PDE与平面 PAB所成二面角的大小；（2）求平面PBA与平面 PDC所成二面角的大小 解：（ 1）延长 AB 、DE交于点 F，则 PF为平面 PDE与平面 PAD所成二面角的棱， PA 平面ABCD ，AD PA 、AB, PAAB=A DA 平面BPA于 A, 过 A作 AO PF 于 O ，连结 OD, 则AOD即为平面PDE与平面 PAD所成二面角的平面角。x z A B C D 1A1C1BO F y 得 25tanAOD，故面 PDE与面 PAD所成二面角的大小为25t