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1、1 第 5 讲数形结合思想在解题中的应用一、知识整合1数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。2实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明
2、显的几何意义。如等式 ()()xy214223纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。4数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。二、例题分析例 1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于kkkxxx310322分析：0)(32)(2x
3、fxkkxxxf程轴交点的横坐标就是方，其图象与令( )13( 1)0yf xf的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f，()()02bffka10( 10)kk同时成立，解得，故，例 2. 解不等式xx2解：法一、常规解法：原不等式等价于或( )()IxxxxIIxx02020202解，得；解，得( )()IxIIx02202 综上可知，原不等式的解集为或 | |xxxxx200222法二、数形结合解法：令，则不等式的解，就是使的图象yxyxxxyx121222在的上方的那段对应的横坐标，yx2如下图，不等式的解集为 |x xxxAB而可由，解得，xxxxxBBA222故不等
4、式的解集为。 |xx22例 3. 已知，则方程的实根个数为01aaxx a| |log|()A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 1 个或 2 个或 3 个分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画yayxx a| |log|出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2 个实根，选（ B） 。例 4. 如果实数、 满足，则的最大值为xyxyyx()()2322ABCD1233323分析：等式有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，()xy2322圆心为，半径， 如图 ，而则表示圆上的点，与坐()()()20300ryxyxxy标原点，的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为
5、如下几何问题：动点()00A在以，为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由图()203OA可见，当在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最AOA大值为tg6033 例 5. 已知 ， 满足，求的最大值与最小值xyxyyx22162513分析：对于二元函数在限定条件下求最值问题，常采用yxxy31625122构造直线的截距的方法来求之。令，则，yxbyxb33原问题转化为：在椭圆上求一点，使过该点的直线斜率为，xy22162513且在 轴上的截距最大或最小，y由图形知，当直线与椭圆相切时，有最大截距与最小yxbxy31625122截距。yxbxyxbxb31625116
6、9961640002222由，得，故的最大值为，最小值为。01331313byx例 6. 若集合，集合，MxyxyNxyyxb()cossin()()|330且，则 的取值范围为。MNb分析：Mxy xyyM()|()，显然，表示以，为圆心，2290100以 3 为半径的圆在x 轴上方的部分， （如图），而 N 则表示一条直线，其斜率k=1，纵截距为 ，由图形易知，欲使，即是使直线与半圆有公共点，bMNyxb显然 的最小逼近值为，最大值为，即bb33 233 2例 7. 点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为，为MxyFN221251612MF1的中点， O 表示原点，则 |ON|=（）AB
7、CD322484 分析： 设椭圆另一焦点为F2， （如图），则，而| |MFMFaa1225|MFMF1228，又注意到N、O 各为 MF1、F1F2的中点，ON 是 MF1F2的中位线，|ONMF1212842若联想到第二定义，可以确定点M 的坐标，进而求MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出 |ON|，但这样就增加了计算量，方法较之显得有些复杂。例 8. 已知复数 满足，求 的模的最大值、最小值的范围。zziz|222分析：由于，有明显的几何意义，它表示复数对应的| |()|ziziz2222点到复数对应的点之间的距离，因此满足的复数 对应点2 + 2i|()|ziz222Zzz，
8、在以，为圆心，半径为的圆上， 如下图 ，而表示复数 对应的()()| |222点 到原点的距离，显然，当点、圆心、点三点共线时，取得最值，ZOZCOz | | | |minmaxzz23 2，的取值范围为，| |z23 2例 9. 求函数的值域。yxxsincos22解法一 （代数法）：则得yxxyxyxsincoscossin2222，s i nc o ss i n ()xyxyyxy221222，而sin()|sin()|xyyx2211 2，解不等式得|22114734732yyy函数的值域为，473473解法二 （几何法）：yxxyyyxxsincos222121的形式类似于斜率公式5
9、 yxxPPxxs i ncos()(cossin)22220表示过两点，的直线斜率221Pxy由于点在单位圆上，如图 ,显然， kykP AP B00设过的圆的切线方程为Pyk x022()则有，解得|22114732kkk即，kkP AP B00473473473473y函数值域为，473473例 10. 求函数的最值。utt246分析：由于等号右端根号内 同为 的一次式，故作简单换元，无法tttm24转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。解：设，则xtytuxy246且，xyxy22216
10、0402 2()所给函数化为以为参数的直线方程，它与椭圆在uyxuxy22216第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）um i n2 2相切于第一象限时，u 取最大值yxuxyxuxu2222 216342160解，得，取uu2 62 6um a x2 6三、总结提炼数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。四、强化训练见优化设计。6 【模拟试题】一、选择题：1. 方程lgsinxx的实根的个数为（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个2. 函数ya xy
11、xa| |与的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（）A. ()1，B. ()11，C. ( )，11D. ()()，113. 设命题甲：03x，命题乙：|x14，则甲是乙成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 不充分也不必要条件4. 适合|z11且argz4的复数 z 的个数为（）A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 4 个5. 若 不 等 式xaxa()0的 解 集 为 |x mxnmna，且，2则a 的 值 为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知复数zizzz121232，则|的最大值为（）A. 102B. 5C. 210D. 2
12、2 27. 若x()12，时，不等式()logxxa12恒成立，则a 的取值范围为（）A. （0， 1）B. （1， 2）C. （1，2 D. 1 ，2 8. 定义在 R 上的函数yf x( )()在，2上为增函数，且函数yf x()2的图象的对称轴为x0，则（）A. ff()( )13B. ff( )( )03C. ff()()13D. ff( )( )23二、填空题：9. 若复数 z 满足| | z2，则|zi1的最大值为 _。10. 若fxxbxc( )2对任意实数t，都有ftft()()22，则ff( )()13、f ( )4由小到大依次为_。11. 若 关 于x的 方 程xxm245
13、| |有 四 个 不 相 等 的 实 根 ， 则 实 数m 的 取 值 范 围 为_。12. 函数yxxxx2222613的最小值为 _。13. 若直线yxm与曲 线yx12有两个不同的交点，则实数m 的 取 值范围是_。7 三、解答题：14. 若方程lg()lg()xxmx23303在，上有唯一解，求 m 的取值范围。15. 若不等式412xxax()的解集为A，且Axx |02，求 a 的取值范围。16. 设aa01且 ，试求下述方程有解时k 的取值范围。l o g()l og ()aaxakxa2228 【试题答案】一、选择题1. C 提示：画出yxyxsinlg，在同一坐标系中的图象，
14、即可。2. D 提示：画出ya xyxa| |与的图象情形 1：aaa011情形 2：aaa0113. A 4. C 提示：|Z1|=1表示以 （1， 0） 为圆心，以 1为半径的圆， 显然点 Z 对应的复数满足条件argz4，另外，点 O 对应的复数O，因其辐角是多值，它也满足argz 4，故满足条件的z 有两个。9 5. B 提 示 ： 画 出yxayx的 图 象 ， 依 题 意 ，mana，从 而aaaa02或。6. C 提示：由|z22可知， z2对应的点在以（0，0）为圆心，以2 为半径的圆上，而| |()| |()|zzzzzi122123表示复数zi23与对应的点的距离，结合图形
15、，易知，此距离的最大值为：|POr()()30102102227. C 提示：令yxyxa12 21()log，若 a1，两函数图象如下图所示，显然当x()12，时，10 要使yy12，只需使log()aa22122，即，综上可知当12a时，不等式()logxxa12对x()12，恒成立。若01a，两函数图象如下图所示，显然当x()12，时，不等式()logxxa12恒不成立。可见应选C 8. A 提示： f(x+2) 的图象是由f(x) 的图象向左平移2 个单位而得到的，又知f(x+2) 的图象关于直线x=0（即 y 轴）对称，故可推知，f(x) 的图象关于直线x=2 对称，由 f(x) 在
16、（，2）上为增函数，可知， f(x) 在()2，上为减函数，依此易比较函数值的大小。二、填空题：9. 22提示： |Z|=2 表示以原点为原心，以2 为半径的圆，即满足|Z|=2 的复数 Z 对应的点在圆O 上运动，（如下图），而 |z+1i|=|z（ 1+i）|表示复数Z 与 1+i 对应的两点的距离。11 由图形，易知，该距离的最大值为22。10. fff( )( )()143提示：由ftft()()22知， f(x) 的图象关于直线x=2 对称，又fxxbxc( )2为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f(x) 的图象，易知fff( )()( )134、的大小。11. m()15，提示：设yxxym12 245| |，画出两函数图象示意图，要使方程x
