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1、,动力学,研究物体的机械运动与作用力之间的关系,动力学,动力学的主要内容,1. 动力学第一类问题 已知系统的运动,求作用在系统上的力。,2. 动力学第二类问题 已知作用在系统上的力,求系统的运动。,动力学所涉及的研究内容包括:,动力学,动力学普遍定理,动力学, 动量定理, 动量矩定理, 动能定理,动力学普遍定理,1、物理量,(2)冲量,(1)动量,(3)动量矩,1、物理量,(4)转动惯量,回转半径, 定义,动力学普遍定理,1、物理量, 简单形体的转动惯量, 均质细圆环, 均质薄圆盘, 均质细长杆,m,m,m,动力学普遍定理,1、物理量, 平行移轴定理,m,动力学普遍定理,1、物理量,(5)力的
2、功, 常力的功, 变力的功, 重力的功, 弹性力的功,动力学普遍定理,1、物理量,(6)动能, 质点, 平移刚体, 定轴转动刚体, 平面运动刚体,(7)势能,M0作为基准位置,势能为零,称为零势能点。,动力学普遍定理,2定理,(2)质心运动定理,(1)动量定理,(3)动量定理、质心运动定理守恒,若,则,若,则,动力学普遍定理,2定理,(5)定轴转动微分方程,(4)动量矩定理,(6)平面运动微分方程,动力学普遍定理,2定理,(8)机械能守恒,(7)动能定理,常数,动力学普遍定理,( ),A、a、b都正确; B、a、b都不正确。 C、a正确,b不正确;D、a不正确,b正确。,(2)重量为G的汽车,
3、以匀速v驶过凹形路面。试问汽车过路面最低点时,对路面的压力如何 ? ( ),A、压力大小等于G; B、压力大小大于G。 C、压力大小小于G; D、已知条件没给够,无法判断。,【思考题】,1选择题,(1)如图所示,质量为m的质点受力F作用,沿平面曲线运动,速度为v。试问下列各式是否正确?,A,B,1.选择题,D,(1)设刚体的动量为 ,其质心的速度为 ,质量为M,则式 。( ),A、只有在刚体作平动时才成立;,B、只有在刚体作直线运动时才成立;,C、只有在刚体作圆周运动时才成立;,D、刚体作任意运动时均成立;,C,(2)质点作匀速圆周运动,其动量。( ),A、无变化;,B、动量大小有变化,但方向
4、不变,C、动量大小无变化,但方向有变化,D、动量大小、方向都有变化,【思考题】,C,(3)一均质杆长为 ,重为P,以角速度 绕O轴转动。试确定在图示位置时杆的动量。( ),A、杆的动量大小 ,方向朝左,B、杆的动量大小 ,方向朝右,C、杆的动量大小 ,方向朝左,D、杆的动量等于零,例 基本量计算 (动量,动量矩,动能),质量为m长为l的均质细长杆,杆端B端置于水平面,A端铰接于质量为m,半径为r的轮O边缘点A,已知轮沿水平面以大小为w的角速度作纯滚动,系统的动量大小为( ),对点P的动量矩大小为 ( ),系统动能为( )。,图示行星齿轮机构,已知系杆OA长为2r,质量为m,行星齿轮可视为均质轮
5、,质量为m,半径为r,系杆绕轴O转动的角速度为w。则该系统动量主矢的大小为( ),对轴O的动量矩大小为( ), 系统动能为( )。,【解】因为按图示机构,系统可分成3个刚块:OA、AB、和轮B。首先需找出每个刚块的质心速度:,(1)OA作定轴转动,其质心速度在图示瞬时只有水平分量 ,方向水平向左。,(2)AB作瞬时平动,在图示瞬时其质心速度也只有水平分量 ,方向水平向左。,(3)轮B作平面运动,其质心B的运动轨迹为水平直线,所以B点的速度方向恒为水平,在图示瞬时 ,方向水平向左。,所以,所以,方向水平向左,例 题,图示均质细直杆OA长为l,质量为m,质心C处连接一刚度系数为k 的弹簧,若杆运动
6、到水平位置时角速度为零,则初始铅垂位置(此时弹簧为原长)时,杆端A的速度vA为 多少?,动力学普遍定理,【解】,(1)用动能定理求角速度。,例11-5 如图所示,质量为m,半径为r的均质圆盘,可绕通过O 点且垂直于盘平面的水平轴转动。设盘从最高位置无初速度地开始绕O轴转动。求当圆盘中心C和轴O点的连线经过水平位置时圆盘的角速度、角加速度及O处的反力。,(2)当OC在同一水平位置时,由动量矩定理有:,代入JO,有,(3)求O处约束反力,作圆盘的受力分析和运动分析,有,由质心运动定理,得,法二:用动能定理求角速度及角加速度。,两边对(*)式求导,【思考与讨论】,1选择题,(1)如图所示,半径为R,
7、质量为m的均质圆轮,在水平地面上只滚不滑,轮与地面之间的摩擦系数为f。试求轮心向前移动距离s的过程中摩擦力的功WF。 ( ),A WF=fmgs B WFfmgs C WF=Fs D WF=0,D,(2)如图所示,楔块A向右移动速度为v1,质量为m的物块B沿斜面下滑,它相对于楔块的速度为v2,求物块B的动能TB。( ),D,(3)如图所示,质量可以忽略的弹簧原长为2L,刚度系数为 k,两端固定并处于水平位置,在弹簧中点挂一重物,则重物 下降x路程中弹性力所作的功 。( ),C,(4)如图所示,平板A以匀速v沿水平直线向右运动,质量为 m,半径为r的均质圆轮B在平板上以匀角速度朝顺时针方向 滚动
8、而不滑动,则轮的动能为( ),B,【解】取杆OA为研究对象,受力如(b)图所示。,方向如图所示。则:,建立坐标系oxy,杆OA质心加速度为:,由质心运动定理计算约束反力,例12-1 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆从与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。,(法1)选杆AB为研究对象,虚加惯性力系:,解:,根据动静法,有,注意定轴转动刚体的惯性力虚加于转轴上。,法2:用动量矩定理+质心运动定理再求解此题:,解:选AB为研究对象,,由动量矩定理,得:,由质心运动定理:,如图所示,均质杆AB质量为m,长为l,由图示位置( )无初速度地倒下,求该瞬时A端所受到
9、地面的约束反力。,A,B,12-3. 匀质轮重为G,半径为 r ,在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度 ,角加速度为,求轮对质心C 的转动惯量,轮的动量、动能,对质心C和水平面上O点的动量矩,向质心C和水平面上O点简化的惯性力系主矢与主矩。,解:,思考题,例12-4 质量为m1和m2的两均质重物,分别挂在两条绳子上,绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上,已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J,系统在重力作用下发生运动,求鼓轮的角加速度(轴O 处摩擦不计,绳与轮无相对滑动)。,由动静法:,列补充方程:,取系统为研究对象,虚加惯性力和惯性力偶:,解:,方法1 用达朗贝尔原理求解,代入上式,方
10、法2 用动量矩定理求解,根据动量矩定理:,取系统为研究对象,取系统为研究对象,任一瞬时系统的,两边对时间t求导数,得,方法3 用动能定理求解,任意假定一个初始值,例11-6 图示系统中,均质圆盘A、B各重P,半径均为R,两盘中心线为水平线,盘B作纯滚动,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶;重物D重Q。问重物由静止下落距离h时重物的速度与加速度以及AD段、AB段绳拉力。(绳重不计,绳不可伸长,盘B作纯滚动。),解:取整个系统为研究对象,(1)整个系统所受力的功:,(2)系统的动能:,这里,上式求导得:,(3)对系统应用动能定理:,AD段绳拉力,AB段绳拉力,解法二:也可分别取研究对象,D:,这里,
11、A:,B:,例 题,在图示机构中,鼓轮B质量为m,内、外半径分别为r和R,对转轴O的回转半径为r,其上绕有细绳,一端吊一质量为m的物块A,另一端与质量为M、半径为r的均质圆轮C相连,斜面倾角为j,绳的倾斜段与斜面平行。试求:(1)鼓轮的角加速度a;(2)斜面的摩擦力及连接C的绳子的张力(表示为a的函数)。,动力学普遍定理,例 题,图示滚轮C 由半径为r1的轴和半径为r2的圆盘固结而成,其重力为FP3,对质心C的回转半径为,轴沿AB作无滑动滚动;均质滑轮O的重力为FP2,半径为r;物块D的重力FP1。求:(1)物块D的加速度;(2)EF段绳的张力;(3)O1处摩擦力。,动力学普遍定理,例题 用长
12、 l 的两根绳子 AO 和 BO 把长 l ,质量是 m 的匀质细杆悬在点 O (图 a )。当杆静止时,突然剪断绳子 BO ,试求刚剪断瞬时另一绳子 AO 的拉力。,O,l,l,l,B,A,C,(a),动静法应用举例,例题 5-6,绳子BO剪断后,杆AB将开始在铅直面内作平面运动。由于受到绳OA的约束,点A将在铅直平面内作圆周运动。在绳子BO刚剪断的瞬时,杆AB上的实际力只有绳子AO的拉力F和杆的重力mg。,解:,在引入杆的惯性力之前,须对杆作加速度分析。取坐标系Axyz 如图(c)所示。,aA = anA + atA= aCx + aCy + atAC + anAC,O,l,l,B,A,C
13、,mg,F,(b),利用刚体作平面运动的加速度合成定理,以质心C作基点,则点A的加速度为,动静法应用举例,在绳BO刚剪断的瞬时,杆的角速度 = 0 ,角加速度 0。因此,又 anA= 0,加速度各分量的方向如图(c)所示。把 aA 投影到点A轨迹的法线 AO上,就得到,anAC = AC 2 = 0,atAC = l2,这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件。,即,(1),5-3 动静法应用举例,杆的惯性力合成为一个作用在质心的力 F*C 和一个力偶M*C ,两者都在运动平面内, F*C的两个分量大小分别是,F*Cx = maCx , F*Cy = maCy,力偶矩 M*C 的大小是,M*
14、C = JCz,旋向与相反( 如图b)。,5-3 动静法应用举例,由动静法写出杆的动态平衡方程,有,且对于细杆 , JCz = ml 212 。,联立求解方程(1)(4),就可求出,(2),(3),(4),5-3 动静法应用举例,例题 5-6,例12-7,均质棒AB得质量为m=4kg,其两端悬挂在两条平行绳 上,棒处在水平位置,如图(a)所示。其中一绳BD 突然断了,求此瞬时AC绳得张力F。,(b),【解】,当BD绳断了以后,棒开始作平面运动,则惯性力系的简化中心在质心C上。因瞬时系统的速度特征量均为零,则点加速度为 。以A为基点,有,其中 ,l为棒长。,虚加惯性力系,如图(b)所示,有,则,因 ,得,又,得,例:已知: , 求水平绳切断后的瞬时,板质心加速度和两个绳索的拉力。,解:受力分析与运动分析,建立“平衡方程”,并求解,预祝同学们期末取得好成绩,