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1、1 运用正难则反的补集思想解题例 1 已知 A=x|x2+(k+2)x+1=0 ，xR，若 AR+= ，求 k 的取值范围。解析：若从正面直接求k 的范围，则有三种情况，分别求出较繁，而通过补集来求解则极为简捷。因为方程x2+(k+2)x+1=0 的根不可能为零，且两根必定同号，故AR+ 的条件是=(k+2)2-40，x1+x2=-(k+2)0 ，解得 k-4 。所以，当 AR+= 时，k 的取值范围是 k-4。例 2. 若关于方程 a x2-4x+a+1=0 至多有一个非负实数根，求实数a 的取值范围。解析： (1) 先求问题的反面，再求其补集。(i)a=0时, 方程-4x+1=0,x=1/
2、4,符合题意 . (ii)a不=0时, 判别式 =16 -4a(a+1)=0, 得-1/2- 根号 17 /2=0, 得 a0 x1x2=(a+1)/a=0, 得 a0 或 a=0, 设为 A=a|a0 故: 至多有一个非负实数根 ,a 的取值范围是 : A在 U中的补集 =a|-1/2-根号 17/22qq点评：通过因式分解可得到若干个因式连乘积，有助于我们利用性质判断出符号 . 二、配方例2，已知,a bR，比较44ab与33a bab的大小. 解：443333()()()()aba baba abb ba332222223()()() ()() ()024bab ababaabbabab
3、当且仅当ab时等号成立 .4433aba bab点评：二次三项式往往很难看出与0 的大小，配方后转化成含有完全平方式的形式，有助于我们判断出符号. 三、判别式例 3，设,mR xR，比较21xx与222mmx的大小 . 解：2222(1)( 22)(21)(21)xxmmxxmxm二次三项式22(21)(21)xmxm的判别式10 为222(21)4(21)443mmmm二次三项式2443mm的判别式为2( 4)4( 4)( 3)320,22(21)(21)0xmxm，恒成立 . 22(1)( 22)0,xxmmx即21xx222mmx点评：判别式对于解决作差之后为二次三项式的符号的判别有独特
4、的作用 .如果变量有多个，可以以其中一个为主元然后判别。四、分类讨论例3，设xR，比较11x与1x的大小. 解：21(1) 11xx xx（1）当0x时，即2 01xx11x1x（2）当10x时，即1x时，2 01xx11x1x点评：对21xx分类讨论是必需的， 主要是对1x分类，分为10x，10x，可看分类是根据解题需要产生的标准，今后在解题中要认真学习，它是一种重要的数学思想方法. 五、有理化例 5，当120xx时，比较2 11x与2 21x的大小 . 解：2 11x2 21x22 1212122222 1212()()1111xxxxxxxxxx120xx12120,0xxxx且2 11
5、x+2 21x02 11x2 21x0 即2 11x2 21x. 11 点评：分子（母）有理化是常用的方法：化减为加，化无理为有理，从而找到了解决问题的突破口. 六、赋值法例 6，已知221110,1,1,211aAaBaCDaa试将,A B C D按从大到小的顺序排列 . 解：因为102a，不妨取14a，则171544,161635ABCD，由此猜想：DBAC.只需证明0,0,0CAABBD即可. 2 32 215()1124(1),0,10,1112a aaaaBDaaaaaa又221111151,()1,()0224224aaa215()240,.1a a BDBDa又2221(1)20
6、ABaaaAB2 213()21(1)24(1)111 13()2132410,0,()200241a aa aaCAaaaaa a aaaCAa综上可得,A B C D大小的顺序是：DBAC. 点评：赋值法是给问题中的字母以一个或一组特殊的数值，使问题简单化， 使抽象字母表示的数具体化，先得出结论， 但必须给出严格的证明；当比较的数或式较多时，一般先分组然后按组比较. 12 10.13 上传构造一次函数证明不等式一次函数是同学们非常熟悉的函数.由一次函数ykxb的图象可知 ,如果()0f m,( )0f n,则对一切(, )xm n均有( )0f x.我们将这一性质称为一次函数的保号性 .利
7、用一次函数的保号性可以证明一些不等式. 例 1 设 a、b、c都是绝对值小于 1 的实数 ,求证:1abbcca. 分析因为(),abbccabc abc故可考虑( )()f xbc x1bc.显然有(1)1(1)(1)0fbcbcbc( 1)()1(1)(1)0fbcbcbc根据保号性知 ,当11x时,( )0f x而11,a故( )0f a,即原不等式获证 . 例 2 a、b、c都是小于k的正数 , 求证:2()()()a kbb kcc kak . 分析 构造一次函数.令2 ()()()Aka kbb kcc ka.因变量较多 ,可用主元法 ,把 a当作主元 ,重新整理得 : 2()()
8、Abck abcbc kk , 将A看作关于 a 的一次函数 ,注意到0ak, 当0a时,2()()()0Akbc kbckb kc当ak时,2()()0Abck kbcbc kkbc这说明 ,当0a与ak时,函数图象上对应的两点P、Q(横坐标分别为0、k)都在 x轴上方 ,由一次函数的保号性可知,当0ak时,( )0Af a即2()()()a kbb kcc kak例 3 已知1a、1b、1c,求证:2abcabc. 分 析首 先 将 不 等 式 化 为20abcabc并 整 理 成 功 之 路(1)20bcabc可将其看成是关于 a 的一次式 . 13 证明:构造函数( )(1)2f xb
9、cxbc,这里1b、1c、1x,则1bc. 因为( 1)12(1)(1)(1)0fbcbcbcbc(1)12(1)(1)0fbcbcbc所以,一次函数( )(1)2f xbcxbc,当( 1,1)x时,图象在 x 轴的上方 .这就是说 ,当1a、1b、1c时,有(1)20bcabc,即2abcabc. 从上例的证明可以看出 ,构造一次函数证明不等式时,可按下列步骤进行 : 将不等式先移项使右边为零; 将不等号左边的式子整理成关于某一未知数x 的一次式( )0f x; 根据 x 的取值范围(, )m n, 确定()f m与( )f n的符号 , 确定当(, )xm n时( )f x的符号进而证得不等式 . 构造一次函数证明不等式 , 其实质是将一个不等式的证明问题转化为确定解析式某个变量在两个特殊值处的符号问题, 从而收到了以简驭繁的效果.
