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1、第五章,一元函数定积分学(分割;近似;作和;取极限方法),多元函数积分学,二重积分,曲线积分,曲面积分,多元函数 积 分学,扩展,重点研究:二重积分,三重积分,第五章 多 元 函 数 积 分 学,5.1二重积分概念和性质,5.2二重积分计算,5.3二重积分简单应用,解法: 用定积分思想解决此问题:,5.1.1 二重积分的概念,例1 曲顶柱体的体积,曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“分割;近似代替; 求和, 取极限”,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 161电影网整理发布,1)“分割”,用任意曲
2、线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“近似代替”,在每个,3)“求和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4)“取极限”,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 非均匀平面薄片的质量,有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .,度为,设D 的面积为 ,则,若,非均匀 ,仍可用,其面密,“分割, 近似代替,求和, 求 极限”,解决.,1)“分割”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2)“近似代替”,中任取一点,3)“求和”,4)“取极限
3、”,则第 k 小块的质量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求两个问题结构形式相同,“分割,近似代替, 求和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义:,将 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,可积 ,在D上的二重积分.,和式极限,是定义在有界区域 D上连续函数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作乘积,并作和,n个小闭域最大直径,和式极限存在,曲顶柱体体积可写成:,平面薄板的质量可写成:,如果 在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D ,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记
4、作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分注意的问题:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3)几何上二重积分等于D上各部分区域上的柱体体积的代数和.,(4) 用二重积分的方法可扩展三重积分,即:,5.1.2 二重积分的性质,( k 为常数), 为D 的面积, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别, 由于,则,5. 若在D上,6. 设,D 的面积为 ,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.2 二重积分的计算,二重积分的计算的思想: 把二重积分计算转化成两个定积分的计算,二重积分计算问题就解决了.分别讨论直角坐标系下和极坐标系下的二重积
5、分的计算.,5.2.1、在直角坐标系下二重积分的计算,设曲顶柱体积分区域D为X型区域,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同样, 曲顶柱体积分区域D为Y型区域,则其体积可按如下两次积分计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,总结利用直角坐标下二重积分计算,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,矩形积分区域既是X型又是Y 型区域 :,例3 计算,解: 矩形区域既是X型区域又是Y 型区域,先对哪个,变量积分都可以.,例4 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y
6、积分,及直线,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,另一解法: 先对y 后对 x积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两种解法相当交换积分顺序,即,例5. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 由被积函数考虑交换积分顺序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6 更换下列积分 I 的次序,解 :,5.2.2 在极坐标下二重积分的计算,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,及射线 =常数, 分划区域D 为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以,机动 目录 上页 下页
7、返回 结束,又因为,设,则,特别, 对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8 计算二重积分,其中D 为圆周,所围成的闭区域.,原式,解: 利用极坐标,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用例9可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的广义积分公式,利用例9的结果,
8、得,故式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,事实上, 当D 中,二、空间立体的体积,一.平面图形的面积,二、平面薄板的重心 *,三、物体的转动惯量*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.3二重积分的简单应用,5.3.1 几何上的应用,5.3.2 物理及力学上的应用,一. 平面薄板的质量,一.平面图形的面积,例10 求抛物线,例10 求抛物线,例10 求抛物线,例10 求抛物线,例11. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解: 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、空间立体的体积,5.
9、3.2 物理及力学上的应用,一. 平面薄板的量,解 积分区域看成D-X区域,设平面有n个质点,其质量分别,由力学知, 该质点系的质心坐标,设物体占有平面区域D,有连续密度函数,则,公式 ,分别位于,为,为,即:,采用 “分割, 近视代替, 作和, 取极限” 可导出其质心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、平面薄板的重心 *,将D 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点,例如,令各小区域的最大直径,系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.,的质点,即得,此质点,在第 k 块上任取一点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13. 求位于两圆,和,的质心.,解: 利用对称性可知,而,之间均匀薄片,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、平面薄板的转动惯量*,例14 求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径,解: 建立坐标系如图,因半圆薄片的质量,的转动惯量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算二重积分,其中D 为圆周,所围成的闭区域.,解答: 利用极坐标,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课堂练习题:,课堂练习题： 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
