《南京林业大学自动控制原理ppt2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南京林业大学自动控制原理ppt2（101页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2章 控制系统的数学模型,引言,控制系统数学模型的定义： 控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。 用途： 1）分析实际系统 2）预测物理量 3）设计控制系统,表达形式 时域：微分方程等 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性,许多表面上完全不同的系统，比如机械系统、电气系统其数学模型的形式完全相同。数学模型建立以后研究系统主要指得是研究系统所对应的数学模型，而不再牵涉到具体系统的物理性质了。,对于单输入和单输出的线性定常系统采用下列微分方程来描述：,2-1 控制系统微分方程式的建立,例1：如图所示的RLC电路，试建立以电容上电压uc(t)为输出变量，输入电压ur(t)
2、为输入变量的运动方程。,电气系统,基尔霍夫定理：,依据：电学中的基尔霍夫定律,由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t),（两边求导）,机械系统,（1）惯性力：,（3）弹性力：,（2）阻尼力：,例2 :机械位移系统,物体在外力F(t)作用下产生位移y(t)，写出运动方程。,输入F(t)，输出y(t)理论依据:牛顿第二定律,物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积.,m,F1(弹簧的拉力),F(t)外力,F2阻尼器的阻力,例3 :设电枢控制的它激直流电动机如图所示，若以电枢电压ua 为输入量，以电动机的转角m为输出量，试写出该电动机的微分方程。,图中，if为固定的激磁电流，端电压ua，电枢电流
3、ia，电磁转矩Mm，电枢反电势Eb 、 Ra、La 分别为电枢电阻和电感，f为电机上的粘性摩擦系数，ML为负载转矩。,机电系统,机械部分：电磁部分：机电耦合：,式中Kb为电动机反电势系数，Cm为电动机力矩系数，J为电动机转动惯量。,由输入端开始，按照信号传递顺序列写方程：,消去中间变量 Ia，Eb，Mm，可得到表示ua、m及ML之间关系的微分方程：,若以电机转速,为输出量,则上式可改写为,上式中各量纲是：La=亨，Ra=欧，Kb=伏/弧度/秒， =弧度/秒，Ua=伏，ia=安，ML公斤米， Cm=公斤米/安，f=公斤米/弧度/秒，J=公斤米秒以上二式分别是以转角和转速为输出量的电动机的动态方程
4、。,根据上述的例子，可以得到列写系统微分方程的一般步骤：,1）确定系统的输入、输出变量； 2）根据已知的物理或化学定律，写出运动过程的微分方程； 3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； 4）整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有关的放在等号左面，并按照降阶次进行排列。,许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样可以用一个运动方程来表示，称它们为结构相似系统,上例的机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。,2.2 传递函数,一 拉氏变换 1.拉氏变换定义,用微分方程来描述系统比较直观 ，但是一旦系统中某个参数发生变化或者结构发生
5、变化，就需要重新排列微分方程，不便于系统的分析与设计。为此提出传递函数的概念。,2.拉氏反变换3.典型函数的拉氏变换,4.拉氏变换性质,3）4）5）,二、传递函数的定义,以上一节例（1）RLC电路的微分方程为例：,1.传递函数定义 1）文字定义：在零初始条件下，对于线性,对微分方程进行拉氏变换(零初始条件）,系统微分方程,零初始条件拉式变换,整理传递函数得：,设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：,例1 RLC电路的传递函数,例2 弹簧-质量-阻尼系统,三、传递函数的性质 (1)传递函数是一种数学模型，是对微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得到的；零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量
6、拉氏变换的比值称为该系统的传递函数，用G(s)表示。(2) 传递函数不能反映系统或元件的学科属性或物理属性；具有相同形式的传递函数的研究结论可以应用于不同的物理系统。 (3)传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关；,（4）传递函数的形式：,上式为传递函数的零极点表达式，零点或极点是实数或共轭复数。k称为零极点增益或根轨迹增益。,（5）因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以G(s)的分母阶次大于等于分子阶次，即 ,是有理真分式，若 ,我们就说这是物理不可实现的系统。 (6),三、典型环节的传递函数,1）比例环节:其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示,
7、式中 环节的放大系数，为一常数。,传递函数为：,特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。,实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等。,2）惯性环节:其输出量和输入量的关系，由下面的常系数非齐次微分方程式来表示,特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即发现，输出无振荡。 实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。,3）积分环节:其输出量和输入量的关系，由下面的微分方程式来表示,传递函数为：,特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。 实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。,4）微分环节：是积分的逆运算，其输出
8、量和输入量的关系，由下式来表示,特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。 实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。,常见物理系统：RC电路,微分环节和惯性环节的串联组合,5）振荡环节：其输出量和输入量的关系，由下面的二阶微分方程式来表示。,传递函数为：,特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。 实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。,6）延迟环节：其输出量和输入量的关系，由下式来表示,特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。 实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。,以上6种是常
9、见的基本典型环节的数学模型,1）是按数学模型的共性建立的，与系统元件不是一一对应的； 2）同一元件，取不同的输入输出量，有不同的传递函数，有不同的传递函数； 3）环节是相对的，一定条件下可以转化； 4）基本环节适合线性定常系统数学模型描述。,电气网络的运算阻抗和传递函数 1）运算阻抗 电阻RR, 电感LLs, 电容C1/Cs 2)满足原先电路的电压电流关系 例：,这样在电气网络中的计算就相对简单。,2-3 动态结构图及等效变换,一、动态结构图的组成,1、信号线：有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。,2、引出点：信号引出或测量的位置。,从同一信号线上引出的信号，数值和性质完全相同,3、相加点：对
10、两个或两个以上的信号进行代数运算，“”表示相加，常省略，“”表示相减。,4、方框：表示典型环节或其组合，框内为对应的传递函数 ，两侧为输入、输出信号线。,二、动态结构图的建立,例：建立如图所示的双T网络的动态结构图。,1）建立各元件的微分方程,2）将各元件的微分方程进行拉氏变换，并 改写成以下相乘形式,3）绘出系统的动态结构图按照变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来,作用：1）直观形象的分析变量之间的关系2）方便求解传递函数,三、典型连接方式及等效变换,1、串联及等效,2、并联及等效,3、反馈及等效,四、等效移动规则,1、引出点的移动,在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框,在移动
11、支路中串入所越过的传递函数方框,2、综合点的移动,在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框,在移动支路中串入所越过的传递函数方框,相邻综合点之间可以随意调换位置,注意：相邻引出点和综合点之间不能互换!,例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。,例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。,例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。,作业,P44 2-5， 2-7，2-9,2-4 信号流图及梅逊公式,一、信流图的基本概念,信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。信号流图由节点和支路组成,信流图的基本术语,1、源节点：只有输出支路，没有输入支路的节点称为源点，它对应于系统的输入信号，或
12、称为输入节点。 2、汇节点：只有输入支路，没有输出支路的节点称为汇点，它对应于系统的输出信号，或称为输出节点。,3、混合节点：既有输入支点也有输出支点的节点称为混合节点。,信流图的基本术语,4、通道：从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径称为通道。 5、开通道：与任一节点相交不多于一次的通路称为开通道。 6、闭通道：如果通道的终点就是通道的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的称为闭通道或称为回环。 7、回环增益：回环中各支路传输的乘积称为回环增益。 8、前向通道：是指从源头开始并终止于汇点且与其他 节点相交不多于一次的通道，该通道的各传输乘积 称为前向
13、通道增益。 9、不接触回环：如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环 。,二、信流图的绘制,1、由结构图绘制信流图,2、由方程组绘制信流图,首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图。,信号流图与结构图的转换（1）,控制系统信号流图,信号流图与结构图的转换（2）,控制系统结构图,（2）结构图 信号流图,系统信号流图,三、梅逊（Mason）增益公式,例.设某系统的方框图如图所示，试求其传递函数,例 1 求传递函数 C(s)/R(s),控制系统结构图,例 1 求C(s)/R(s),M
14、ason 公式（2）,例 2 求传递函数 C(s)/R(s),控制系统结构图,例 2 求C(s)/R(s),Mason 公式（3）,例 3 求传递函数 C(s)/R(s),控制系统结构图,例 3 求C(s)/R(s),Mason 公式（4）,例 4 求传递函数 C(s)/R(s),控制系统结构图,例 4 求C(s)/R(s),Mason 公式（5）,例 5 求传递函数 C(s)/R(s),控制系统结构图,例 5 求C(s)/R(s),Mason 公式（6）,控制系统结构图,例 6 求传递函数 C(s)/R(s), C(s)/N(s),例6 求 C(s)/R(s), C(s)/N(s),25 控
15、制系统的传递函数,一、系统的开环传递函数,定义为把主反馈通道断开，得到的传递函数,前向通道：R(s)到C(s)的信号传递通路,反馈通道：C(s)到B(s)的信号传递通路,系统闭环传递函数：反馈回路接通后， 输出量与输入量的比值。,假设扰动量N(s)=0,参考输入量R(S)作用,假设R(s)=0,扰动的影响将被抑制!,干扰量N(S)作用,控制量与扰动量同时作用,以误差信号E(s)为输出量，以参考输入量R(s)或干扰量N(s)为输入量的闭环传递函数。,二、系统误差传递函数,假设扰动量N(s)=0,参考输入量R(S)作用,假设R(s)=0,干扰量N(S)作用,参考输入量与干扰量同时作用,G1(s)G2(s)H(s)为系统的开环传递函数。,系统的固有特性与输入、输出的形式、位置均无关；同一个外作用加在系统不同的位置上，系统的响应不同，但不会改变系统的固有特性。,闭环传递函数的极点相同。,二、输入作用下系统的闭环传递函数,三、扰动作用下系统的闭环传递函数,四、系统的总输出,五、误差传递函数,输入作用下的误差传递函数,扰动作用下的误差传递函数,六、系统的总误差,本章小结,作业,P44 2-10,
