线性系统的数学模型

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1、第2章 线性系统的数学模型,物理模型：理想化的物理系统 数学模型：物理模型的数学描述。是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。 动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。 建模：建立起比较简单又能反映实际物理过程的模型。 建模方法机理分析法和实验辨识法。 机理分析法：对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理或化学规律分别列写相应的运动方程。,实验辨识法：人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近。 系统的输入输出描述：是一种外部描述，目的在于通过该数学模型确定被控制量与给定量或扰动量之间的关系。 时域数学模型：微分方程、差分方程和状态

2、方程等。 复域数学模型：传递函数、结构图等。 频域：频率特性等。,本章重点 线性系统微分方程的建立； 运用拉氏变换法求解线性微分方程； 传递函数的概念和性质； 传递函数和微分方程之间的关系； 结构图的绘制及其等效变换； 结构图和信号流图的关系； 梅逊公式。,本章难点,运用综合的基础知识(如电子、机械、物理等知识)建立正确的微分方程； 建立系统的结构图或信号流图； 结构图和信号流图等效变换的灵活运用； 建立系统的动态方程。,例2-1 弹簧阻尼系统,f 粘滞摩擦系数,k 弹簧系数,v 物体相对的移动速度,1.线性元件的微分方程,2-1 控制系统的时域数学模型,例2-2 电阻、电感、电容串联网络,（

3、1）确定输入量、输出量和扰动量，并根据需要引进一些中间变量。 （2）根据物理或化学定律，列出微分方程。 （3）消去中间变量后得到描述输出量与输入量(包括扰动量)关系的微分方程（标准形式即输出量在方程左边，输入量在方程右边，并按照变量导数的降阶次序排列）。,线性元件的微分方程步骤：,2.线性系统的微分方程的建立,（1）确定系统的输入量和输出量 （2）将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。 （3）消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。例2-4 速度控制系统微分方程（p24）,3.线性系统的基本特性,线性系统的重

4、要性质可叠加性和均匀性（叠加原理）。 内容：两个外作用同时加于系统产生的总输出，等于各个外作用单独作用时产生的输出之和，且外作用的数值增大若干倍时，输出亦增大若干倍。已知：r(t)=r1(t)时，方程的解为c1(t)； r(t)=r2(t)时，方程的解为c2(t)； 当r(t)=r1(t)+ r2(t)时，则方程的解为c(t)=c1(t)+c2(t) 当r(t)=Ar1(t)时，则方程的解为c(t)=Ac1(t),4.非线性方程的线性化,非线性方程难于求解，用线性数学模型近似表示非线性数学模型。在一定工作范围内，将非线性特性用一段直线来替代。,将非线性函数在平衡点附近展成泰勒级数，并忽略高次项

5、。,例：直流发电机,X轴表示励磁电流,Y轴表示输出电势,由于存在磁路饱和，y和x呈非线性关系,y=f(x),可以在(x0,y0)附近泰勒级数,忽略高次项，然后用增量表示,是比例常数。,经上述处理后，就变成了线性方程。,对于具有两个自变量的非线性函数,在静态工作点y0=(x10,x20)附近展成泰勒级数。,用增量表示,及,是比例常数。,上述方法称为小偏差线性化方法。它是基于这样一种假设：输入量和输出量只是在静态工作点附近作微小变化 。,几点注意：,(1)只适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数是可以利用泰勒级数展开的。 (2)实际运行情况是在某个平衡点(即静态工作点)附近，且变量只能在小范围内

6、变化。 (3)不同静态工作点得到的方程是不同的。 (4)对于严重的非线性，例如继电特性，因为处处不满足泰勒级数展开的条件，故不能做线性化处理。 (5)线性化后得到的是增量微分方程。,2-2 运用拉氏变换法求解线性微分方程,1.典型外作用典型外作用的条件：这种函数在现场或实验中容易得到；控制系统在这种函数作用下的性能应代表在实际工作条件下的性能；这种函数的数学表达式简单，便于理论计算。,（1）阶跃函数数学表达式为 0，t0R，t0 表示一个在t=0时出现的幅值为R的阶跃变化函数。在任意时刻t0处出现的阶跃函数可表示为f(t-t0)=R1(t-t0) 阶跃函数是自动控制系统中在实际工作条件下常遇到

7、的一种外作用。例如：电源电压突然跳动，负载的突然增大和减小，飞机飞行中遇到的常值振风扰动等。 在控制系统中一般将阶跃函数作用下系统的响应特性作为评价系统动态性能指标的依据。,（2）斜坡函数数学表达式 0，t0Rt，t0 表示一个在t=0时刻开始，以恒定速率R随时间变化的函数。在任意时刻t0处出现的斜坡函数可表示为f(t-t0)=Rt1(t-t0) 自动控制系统中某些随动系统常常工作于这种外作用下。例如：雷达跟踪系统等。,（3）脉冲函数脉冲函数定义为 脉冲函数在现实生活中不存在，只是数学上的定义。任意形式的外作用可以分解为不同时刻的一系列脉冲函数之和。,（4）正弦函数数学表达式 A为振幅， 为正

8、弦函数的角频率， 为初始相角。自动控制系统中某些随动系统常常工作于这种外作用下。例如：舰船的消摆系统等。 重要的是系统在正弦函数输入作用的响应即频率响应，是自动控制理论中研究控制系统性能的重要依据。,（1）拉氏变换的定义,t0时f(t)=0,（2）几个简单的函数的拉氏变换,单位阶跃,2.拉氏变换（Laplace transform）,单位脉冲,单位斜坡函数,指数函数,（3）拉氏变换的一些性质,微分定理,线性性质,位移性质,例：已知,例：,象函数（复域）的微分,终值定理：,有存在的条件f(t)及其导数是可拉氏变换的，且要sF(s)在虚轴（除原点）和右半平面上没有极点。,初值定理：,卷积定理：,已

9、知函数f(t)和g(t)，其卷积定义为,(4) 拉氏反变换,求函数f(t),部分分式法,条件： 分母多项式能分解成因式,已知,求原函数f(t),复习内容. 拉氏反变换,定义式,通常用部分分式法将复杂函数展成简单函数之和,1. A(s)=0无重根,其中待定系数,2、 A(s)=0有重根 设s1为m阶重根,重根待定系数,复习内容. 用拉氏变换法求解微分方程,步骤: (1)方程两边取拉氏变换,并代入初始条件; (2)写出输出量的拉氏变换C(s); (3)取拉氏反变换求出 c(t)。,例2-5：用拉氏变换法求y(t),解（1）方程两边取拉氏变换,（2）写出输出量的拉氏变换,（3） y(t)= L-1

10、Y1(s) + Y2(s) = y1(t) + y2(t) =零初始(条件)响应 + 零输入响应 研究系统动态特性一般只研究零初始响应。 y=y1(t)=稳态解（强迫解）+暂态解（自由解）,考虑初始条件，对微分方程的每一项进行拉氏变换，将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,(5)用拉氏变换求解线性微分方程换,注：如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替 得到。 例2-6（p26）,例：设初始条件均为零，并用拉氏变换的方法求解。微分方程。 （1）（2）（3）,2-3 控制系统的复数域

11、数学模型,时域数学模型微分方程：当系统的结构和参数发生变化时，需重新列写微分方程并求解。线性常微分方程经过拉氏变换，即可得到系统在复数域中的数学模型，称之为传递函数。 （1）传递函数的定义传递函数初始条件为零（输入和输出量及其各阶导数在t=0时的值均为零）的线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。,1.传递函数,一般情况，系统时域数学模型微分方程：,零初始条件下，对上式两边进行拉氏变换：,控制系统传递函数的一般表达形式：,例：RLC网络,传递函数：,拉氏变换：,微分方程：,（2）传递函数的性质 1）传递函数是复变量s的有理真分式，即mn，且所有系数均为实数。2）传递函数只取决于系统的结

12、构和参数，与输入量的形式无关。3）传递函数与微分方程具有相通性。,G(s),R(s),C(s),(惯性元件和功率的限制)一个物理系统的输出不能完全复现输入信号，只有经过一定的时间过程后，输出量才能达到输入量所要求的数值。,4）传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。5）传递函数可以表示成有理分式，也可以表示成零极点表示的形式。K*值具有量纲也称为传递系数,二. G(s)的两种标准形式, 零、极点表达式, 时间常数表达式, 不同形式间的变换 Ti = -1/pi , j = -1/zj,已知系统传递函数，给出一定初始条件，求输入作用下的输出响应。 步骤： 1）利用传递函数和微分方程的相通

13、性，用d/dt代替s，得到微分方程； 2）考虑初始条件，用拉氏变换方法解微方。p31：例2-10,用复数阻抗法求电网络的传递函数,电阻,用复数阻抗法求RLC网络的传递函数,a）,b）,例：分别写出下图中无源网络的微分方程，并用拉氏变换的方法求解（设 , ,初始条件均为零）。,2.典型环节及其数学模型,典型环节：运动规律相同，具有相同的数学模型。,(1)比例环节（又叫放大环节）,K称为比例系数或放大系数，通常都是有量纲的。 特点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。,例1：电位器 输入：(t)角度 E恒定电压 输出：u(t)电压,运动方程： 其中 传递函数：K比例系数，量纲为伏/弧度。

14、,例2：,传递函数：,B点为虚地,例3：比例控制器,传递函数：,理想运放： 虚断：i+=i-=0 虚短：u+=u-,（2）微分环节,特点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。 运动方程：传递函数：,微分环节举例,例1：RC电路 设：输入ur(t)输出uc(t) 消去i(t)，得到： 运动方程： 传递函数： （Tc=RC） 当Tc1时，又可表示成：,简单地讲就是需能(电)源的器件叫有源器件， 无需能(电)源的器件就是无源器件。 有源器件一般用来信号放大、变换； 无源器件用来进行信号传输，或者通过方向性进行“信号放大”。 容、阻、感都是无源器件，IC、模块等都是有源器件。 (通俗的说就是需要电源才能显示其特性的就是有源元件， 如三极管。而不用电源就能显示其特性的就叫无源元件),例1：RC电路 设：输入ur(t)输出uc(t) 消去i(t)，得到： 运动方程： 传递函数： （Tc=RC） 当Tc1时，又可表示成：,（3）积分环节,特点：输出量的变化速度和输入量成正比。运动方程：传递函数：,例1：积分控制器,运动方程：传递函数： （T=R1C）,