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1、第三章 抽样分布,1 样本的联合概率密度函数,则总体的密度函数为,X1，X2，Xn是从总体中抽取的一个简单随机样本，满足X1，X2，Xn相互独立，且同正态分布,称为样本数据矩阵,为样本联合密度函数。,2 样本分布,一、维希特（Wishart）,1、定义随机矩阵的分布,矩阵中的每一个元素均为随机变量，则矩阵X的分布是其列 向量拉长，组成一个长向量,定义: 维希特（Wishart）分布的统计量,设 个随机向量,独立同分布于 ，则随机矩阵,服从自由度为 的非中心维斯特分布，记为 。,特别当 是 阶对称阵，则 的分布的下三角部分组成的长向量,在一元正态随机变量中，我们曾经讨论了 分布，在多元 正态随机
2、变量也有类似的样本分布。维希特分布（Wishart）相当 于一元统计中的 分布。,定理1：若 ，且 ， ，则 的分布密度为特别，当 和 时， 服从 分布。,维希特（ Wishart）分布的密度函数,二、维斯特(Wishart)分布有如下的性质：,（1）若A1和A2独立，其分布分别 和 ，则 的分布为 ，即维斯特(Wishart)分布有可加性。,（2） ，C为mp阶的矩阵，则 的分布为 分布。,三、 抽样分布,定理1：设X1,X2,Xn是来自多元正态总体Np(,)的简单随机样本，有,则有,证明：,当 ， 时，由卡方分布的定义可知,可见维希特分布是由卡方分布在多元下的推广。,服从自由度为 的卡方分
3、布。,定理2 设 独立同正态分布，则统计量,证：,由于样本均值,相互独立的标准正态分布的平方和为自由度为 的卡方分布。,在一元正态的情形下，我们有样本的统计量当总体的方差未知时，我们必须用样本的方差来代替总体的方差，则那么在多元正态的情形下，是否有相同的问题呢？回答时肯定的。,定义：,称T2服从参数为P和n的非中心霍特林（Hotelling)分布，当。,定理：,当 时， 服从自由度为n的中心霍特林分布，记为 。,定理：设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，有,定理：设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，,设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，,（1）Wilks分布,定义：设 和 ，且 相
4、互独立， 和 ， ，则称服从Wilks分布，记 。可以证明，当 和 时，Wilks分布可以用 分布近似。,四、基于维斯特(Wishart)分布的统计量,在一元方差分析中，常常遇到基于独立的 分布随机变量比值的 统计量。在多元统计分析中，起到相同作用的是统计量 和分布。,2、统计量和分布,设k个总体 ，它们服从 。分别抽出如下的样本：,W=E+B,当K个总体的均值相等时 ,服从Wilks 分布。,第四章 多元正态分布的统计推断,多元正态分布的性质,1 多元正态分布的参数估计,多元正态总体均值向量和协方差阵的假设检验,均值向量和协方差阵的假设检验时常用的统计分布 均值向量的假设检验 协方差阵已知时
5、的均值向量的假设检验 协方差阵未知时的均值向量的假设检验 协方差阵相等时，两个正态总体均值向量的检验 协方差阵不相等时，两个正态总体均值向量的检验 协方差阵检验 多个协差阵相等的检验,2 均值向量和协方差阵的假设检验时常用的统计分布,3 单个总体均值向量的假设检验,设 是取自多元正态总体的一个样本，这里，现欲检验,单个总体均值分量间结构关系的检验,是取自该总体的样本。检验：,一、问题引入,例 设,与上面的假设等价的是，寻找常数矩阵,注：矩阵C不是唯一的，,假定人类的体形有这样一个一般规律的身高、胸围和上臂围平均尺寸比例为6:4:1。检验比例是否符合这一规律。检验：,则上面的假设可以表达为,二、
6、统计量及方法,其中C为一已知的kp阶矩阵，k F Wilks Lambda 0.54561620 6.87 4 33 0.0004 Pillais Trace 0.45438380 6.87 4 33 0.0004 Hotelling-Lawley Trace 0.83279015 6.87 4 33 0.0004Roys Greatest Root 0.83279015 6.87 4 33 0.0004,思考：拒绝原假设是否说明两个总体的所有的变量之间 都是不相等的,Dependent Variable: x1Sum ofSource DF Squares Mean Square F Val
7、ue Pr FModel 1 0.87466791 0.87466791 16.90 0.0002Error 36 1.86300840 0.05175023Corrected Total 37 2.73767632两类企业间有无显著性差异?,Dependent Variable: x2Sum ofSource DF Squares Mean Square F Value Pr FModel 1 0.08312077 0.08312077 1.95 0.1710Error 36 1.53370028 0.04260279Corrected Total 37 1.61682105两类企业间有无显
8、著性差异?,Dependent Variable: x3Sum ofSource DF Squares Mean Square F Value Pr FModel 1 16.46958443 16.46958443 21.45 FModel 1 0.00112694 0.00112694 0.03 0.8643Error 36 1.36978095 0.03804947Corrected Total 37 1.37090789,协方差阵不相等时，两个正态总体均值向量的检验,二、成对试验的T2统计量,前面我们讨论的是两个独立样本的检验问题，但是不少的实际问题中，两个样本的数据是成对出现的。例如当
9、讨论男女职工的工资收入是否存在差异；一种新药的疗效等。,思考:两独立样本和成对样本的观测值有何不同?,设(xi,yi),i=1,2,3,n，是成对的试验数据，由于总体X和Y均服从p维正态分布，且协方差相等。,假设检验,检验的统计量为,其中,当原假设为真时,例1 一组学生共5人，采用两种不同的方式进行教学， 然后对5个学生进行测验，得如下得分数：,分析不同的教学方式是否有差异。,5 两个总体均值分量间结构关系的检验,一、问题提出,设从总体 ，中各自独立地抽取样本 和 ， 。他们的均值向量差为：,例 在爱情和婚姻的调查中，对一个由若干名丈夫和妻子组成的样本进行了问卷调查，请他们回答以下几个问题： (1)你对伴侣的爱情的“热度”感觉如何？ (2)伴侣对你的爱情的“热度”感觉如何？ (3)你对伴侣的爱情的“可结伴”水平感觉如何？ (4)伴侣对你的爱情的“可结伴”水平感觉如何？回答采用没有、很小、有些、很大和非常大5个等级，得到结果如表。,
